专题09 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题09 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数混合运算易错问题 1.运算顺序混乱：未遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，如忽略括号优先级，或对同级运算从左到右的规则执行错误（例：误将3 - 5 × 2先算减法）。 2.符号处理失误：乘除运算中忽略负数符号，如(-3)÷(-2)误算为-1.5；加减运算中去括号时符号错误，如3 - (2 - 5)误得3 - 2 - 5。 3.分数与小数转换错误：混合运算中分数与小数运算时未统一形式，导致计算出错（如0.5 × 1/3误算为0.5÷3）。 知识点02 化简绝对值相关知识点 1.绝对值代数意义：若a>0，则|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判断绝对值内数的正负性。 2.化简步骤：先分析绝对值内式子的符号，再根据定义去绝对值符号，如化简|3 - π|时，因3 - π<0，故|3 - π|=π - 3。 3.含字母绝对值化简：需分类讨论字母取值范围，如|a|化简时，分a≥0和a<0两种情况，避免直接去掉绝对值符号。 【题型1 有理数中乘除混合运算易错】 例题：（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： ． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）计算： ． 【题型2 含乘方的有理数混合运算】 例题：（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）计算： 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 5．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）计算： (1) (2) 【题型3 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义一种新运算：． 如：． (1)_____； (2)求的值． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·云南红河·期中）【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)计算： ①； ②； ③； (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【题型4 根据点在数轴的位置化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示． (1)试判断式子的符号； (2)化简：． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小：① ；② ；③ ； (2)化简式子：． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【题型5 利用分类讨论数学思想化简绝对值】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·分类讨论已知，则的值是多少？ 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【题型6 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】 例题：（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 一、单选题 1．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 2．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 6．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 7．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 三、解答题 9．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2) 11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 13．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 14．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，； (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时， 则 ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 有理数混合运算易错问题与化简绝对值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数混合运算易错问题 1.运算顺序混乱：未遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，如忽略括号优先级，或对同级运算从左到右的规则执行错误（例：误将3 - 5 × 2先算减法）。 2.符号处理失误：乘除运算中忽略负数符号，如(-3)÷(-2)误算为-1.5；加减运算中去括号时符号错误，如3 - (2 - 5)误得3 - 2 - 5。 3.分数与小数转换错误：混合运算中分数与小数运算时未统一形式，导致计算出错（如0.5 × 1/3误算为0.5÷3）。 知识点02 化简绝对值相关知识点 1.绝对值代数意义：若a>0，则|a|=a；若a=0，|a|=0；若a<0，|a|=-a，需先判断绝对值内数的正负性。 2.化简步骤：先分析绝对值内式子的符号，再根据定义去绝对值符号，如化简|3 - π|时，因3 - π<0，故|3 - π|=π - 3。 3.含字母绝对值化简：需分类讨论字母取值范围，如|a|化简时，分a≥0和a<0两种情况，避免直接去掉绝对值符号。 【题型1 有理数中乘除混合运算易错】 例题：（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数乘除法，原式先把除法转换为乘法，进行乘法计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算，先把除法转化为乘法，然后约分解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解答本题的关键．先计算有理数除法，再计算有理数乘法，即得答案． 【详解】 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先变除法为乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型2 含乘方的有理数混合运算】 例题：（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 【答案】5 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式分别计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后进行加法运算即可得到答案． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算． 先算乘方，化简绝对值，括号内的运算，再算乘除法，最后算加减． 【详解】 ， ， ． 5．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)14 (2)26 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可 （2）先计算乘方与求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型3 有理数的混合运算中的新定义型问题】 例题：（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）定义一种新运算：． 如：． (1)_____； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义，以及含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，代入数值计算，即可作答． （2）先算出，再计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：3； （2）解：依题意，， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 2．（24-25七年级上·云南红河·期中）【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据除方的概念的运算法则进行计算； （2）根据除方内容结合有理数的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ． 3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)计算： ①； ②； ③； (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①29；②101；③，； (2)存在，或． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，新定义运算；理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）判断，异号，根据题意求出的值为1或5，即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ② ； ③当时，； 当时，， ； （2）解：存在，理由如下： ，算出来的答案为负数， 故，异号， m，n是整数， 或， 解得：或， 或， 综上，的值为1或5， ， ． 【题型4 根据点在数轴的位置化简绝对值】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负和化简绝对值，解题关键是得到式子的正负，两数相乘，同号得正异号得负，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号． （1）根据和即可判断正负； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值进行化简即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； 故答案分别为：；； （2）解：∵且， ∴，， ∴． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示． (1)试判断式子的符号； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）由a，b，c三个数在数轴上的位置得出，，得出，，即可得出结果； （2）由绝对值的意义求出各个绝对值，再合并即可． 【详解】（1）根据a，b，c三个数在数轴上的位置得： ，， ∴，， ∴； （2） ． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的关系、绝对值的意义、整式的加减；熟练掌握数轴和有理数的关系、绝对值的意义，并能进行推理计算是解决问题的关键． 2．（23-24七年级上·四川泸州·期末）在数轴上对应点的位置如图所示， (1)判断下列各式与的大小：① ；② ；③ ； (2)化简式子：． 【答案】(1) ①；②；③ (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（）根据数轴可得，，，再根据有理数的运算法则即可求解； （）由，，判断出的符号，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并即可得到结果； 本题考查了绝对值、数轴及有理数的运算，通过数轴判断出绝对值符号里面式子的符号是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式， ， ． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数四则混合运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）由（1）可知，，据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：；；；； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 【题型5 利用分类讨论数学思想化简绝对值】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·分类讨论已知，则的值是多少？ 【答案】3或或1或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的加减法及绝对值的性质的应用，熟练掌握绝对值的性质和分类讨论的思想是解题的关键． 根据题意得到，，，再根据题意分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：∵，故，，， ①当，，都大于0时，原式； ②当，，都小于0时，原式； ③当，，中有一个大于0，两个小于0时，原式； ④当，，中有一个小于0，两个大于0时，原式． ∴的值是3或或1或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 3．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 【题型6 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值】 例题：（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 最小值为：， 所以，当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)有最小值，最小值为4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）将改写成规定形式：，再根据绝对值的几何意义求解； （2）将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴，分类讨论求解； （3）的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴分析求解即可． 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下： 就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现： 当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4， 所以有最小值，最小值为4． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)有最小值，6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质； （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 数轴上表示x和2的两点之间的距离是， 故答案为：4，； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 故答案为：或． （3）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到及到4的距离之和， ∴当，即表示有理数x的点在和4之间时，它的最小值为6． 3．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 2．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东济南·期中）已知非零实数，，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查绝对值的性质，对已知条件进行分析，借助有理数的加法法则，假设，，之间的关系，是本题解题关键．对已知条件进行分析，由，，的对称性，不妨设，则，由此即可求解 【详解】解∶∵，且， ∴，，中有一个为， 不妨设，则， ∴， 不妨设，则， ∴ 故选∶． 4．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算： . 【答案】/ 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 6．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 7．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【知识点】绝对值的几何意义、有理数除法的应用、绝对值非负性 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质，绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． ①根据a为有理数得，由此可对该结论进行判断； ②根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； ③根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； ④根据得：（Ⅰ）当a、b、c中有两正一负时，不妨假设a、b为正，c为负，则一，(Ⅱ)当a、b、c都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①为有理数， ， 故结论①不正确； ②，， 又， ，， ， 故结论②正确； ③， ， 当时，， 当时，没有意义， 故结论③不正确； ④， 有以下两种情况： （I）当a、b、c中有两正一负时，不妨假设a、b为正，c为负， ，，， ； (II）当a、b、c都是负数时，则，，， ， 故结论④不正确； 综上所述：正确的结论是②， 故答案为：②． 三、解答题 9．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)11 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)30 (2)4 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再运用乘法分配律进行计算即可； （2）原式先计算乘方和化简绝对值，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 11．（24-25七年级上·山东聊城·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的计算，包括有理数的乘方、绝对值、乘除法和加减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 12．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算： （1）根据新定义得到，据此代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数四则混合运算、带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义新运算：当时，；当时，；当其中，是实数，如．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（）根据新定义列出算式，然后根据运算法则即可求解； （）根据新定义列出算式，然后根据运算法则即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ， 则 ． 15．（24-25七年级上·福建漳州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号． （1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离； （2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值； （3）根据a的取值范围结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 综上所述或． 16．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，； (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 【答案】(1)① (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时， 则 ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2)1 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法与除法中的符号问题； （1）由，可得，，中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得，，中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则 综上所述，值为或1． （2）∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【答案】（）；（）；（）或；（），；（）；（）或；（），，，；（）或． 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值代数意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； 本题主要考查了数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 【详解】解：（）解决问题，的值是， 故答案为：； （）的最小值是， 故答案为：； （）若的最小值是，则的值为或， 故答案为：或；    拓展提升： （）的最小值是，最大值是，理由如下： 令， 当时，； 当时，， ∴， 当时，， 综上可知：， 故答案为：，； （）由可知：的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离， 则当与重合时，有最小值， 故答案为：； （）若的最小值是， 则当时，有最小值， 所以，则； 当时，有最小值， 所以，则； 则的值是或， 故答案为：或； （）∵，且为整数， ∴， 则的值为，，，， 故答案为：，，，； （）∵， ∴时，，则； 时，，则； 所以的值为或， 故答案为：或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 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