51 多元函数的最值重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 51 多元函数的最值重难点专题 常考结论及公式 结论一：均值不等式 对于 0ix  ( 1,2, , )i n= ，恒有 1 2 1 1 n n i n i x x x x n =  成立，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时，取等号； 结论二：柯西不等式 柯西不等式的高维离散形式为 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = =          ， ( 1,2, , )i n= 当且仅当 1 2 0na a a= = = = 或 1 2 0nb b b= = = = 或 1 2 1 2 n n aa a b b b = = = 时，等号成立； 结论三：权方和不等式 权方和不等式形式为 ( ) 1 1 1 1 1 , , 0, 1,2, m n imn ii i imm n i i i i x x x y m i n y y + + = = =        =          当且仅当 i ix y= 时取等号，特别当 1m = 时有 ( ) 222 2 1 21 2 1 2 1 2 nn n n x x xxx x y y y y y y + + + + + + + + + ； 结论四：琴生不等式 琴生不等式：若 ( )f x 是区间 ,a b 上的下凸函数，则对任意的  1 2, , , ,n a b    ， 有不等式： ( )1 1 1 n n i i i i i f x f x  = =         ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成立； 结论五：拉格朗日乘数法 方法介绍：首先设定二元函数 ( , )Z f x y= 和题目中条件 ( , ) 0x y = ，探究 ( , )Z f x y= 的最值，先构造拉格朗日函数 ( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y = + ，其中为 参数.分别对 ( , , )F x y  关于 ,x y求一阶偏导数 ', 'x yF F ，构建方程 ' 0 ' 0 x y F F =  = ，解出 ,x y和，此时得到的解可能就是极值点，也是最值点. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型一 消元法 【例 1】已知正实数 x，y满足 ln e lnxx y y= + ，则 e xy −− 的最大值为 . 【跟踪训练 1】已知实数 ,m n满足： e ( 1) ln( 1) ( 0)mm n n t t = − − =  ，则 ln ( 1) t m n − 的最大 值为 . 题型二 根的判别式法 【例 2】已知 4 2 2 24 3 2 5 4 1, , Ry m m n m mn n n m n= − + − + − +  ，则 y的最小值为（ ） A．1 B． 17 C． 10 D．0 【跟踪训练 2】在 ABC中，2cos 3cos 6cosA B C+ = ，则cosC的最大值 为 ． 题型三 三角换元法 【例 3】已知实数 ,x y满足 2 23 3 3x xy y+ + = ，则2x y+ 最大值为（ ） A．2 B．3 C． 3 D． 2 【跟踪训练 3】 2 22 1x xy y+ + = ，则 2 22x xy y+ + 的最小值为 . 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型四 均值不等式法 【例 4】若曲线 ( )ln 2y x a= + 的一条切线为 e 2y x b= − （ e为自然对数的底数），其中 ,a b为正实数，则 1 1 ea b + 的取值范围是（ ） A． )2,e B． ( e,4 C． )4,+ D． )e,+ 【跟踪训练 4】已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球 的体积最小时，求正六棱柱底面边长． 题型五 权方和不等式法 【例 5】已知 x>0，y>0，且 1 1 1 2 1x y y + = + + ，则 x+2y的最小值为 . 【跟踪训练 5】已知 1 2 2 , 0, 1x y x y  + = ，则 2 2x y+ 的最小值是 ． 题型六 构造齐次式法 【例 6】已知 0x  ， 0y  ，则 2 2 2 2 2 8 2 xy xy x y x y + + + 的最大值是 . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 【跟踪训练 6】已知正实数 a，b，c满足 2 22 9 0a ab b c− + − = ，则 ab c 的最大值 为 ． 题型七 向量法 【例 7】17 世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问 题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证 明：在 ABC中，若三个内角均小于120，则当点 P满足 120APB APC BPC 时，点 P到三角形三个顶点的距离之和最小，点 P被人 们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c是平面内两个互 相垂直的向量，且 | | 2,| | 3b c= = ，则 | | | | | |− + + + −a b a b a c 的最小值是 ． 【跟踪训练 7】已知向量 a，b满足 ( ) 0a b b+  = ， 4 4a b+ = ，则 a b b+ + 的最大值 为 ． 题型八 琴生不等式法 【例 8】若2 3 πA B C+ + = ，则有 (1) 2sin sin 3sin 3A B C+ +  ； (2) 2 3 27cos cos cos 64 A B C  ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 8】若 1 2, , , nx x x 为 ( , )a b 上任意 n个实数，满足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成 立，则称函数 ( )f x 在 ( , )a b 上为“凸函数”.也可设可导函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的导函数为 ( ), ( )f x f x  在 ( , )a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的为“凸 函数”.若 1 2, , , nx x x 为 ( , )a b 上任意n个实数，满足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成 立，则称函数 ( )f x 在 ( , )a b 上为“凹函数”.也可设可导函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的导函数为 ( ), ( )f x f x  在 ( , )a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的为“凹 函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数 1 π ( ) , 0, tan 2 f x x x   =     的凹凸性； (2)在锐角 ABC中，求 1 1 1 tan tan tanA B C + + 的最小值； (3)若 n个正数 ( )*1 2, , na a a n N 满足 1 2 1na a a+ + + = ，证明: 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n a a a n a a a n       + + +  +            . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 题型九 柯西不等式法 【例 9】已知  , 0,   ．则 ( )sin sin sin   + +   的最大值为 ． 【跟踪训练 9】柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命 名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一 般形式为：设 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,n na a a a b b b b  R ，则 ( )( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b a b a b a b+ ++ + ++  + ++ 当且仅当 ( )0 1,2, ,ib i n= =  或存在一个数 k，使得 ( )1,2, ,i ia kb i n= =  时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设 P是棱长为 2 的正四面体 ABCD内的任意一点，点 P到四个面的距离分别为 1d 、 2d 、 3d 、 4d ，求 2 2 2 2 1 2 3 4d d d d+ + + 的最小值； (3)已知无穷正数数列 na 满足：①存在mR，使得 ( )1,2,ia m i =  ；②对任意正 整数 ( )i j i j、 ，均有 1 i ja a i j −  + .求证：对任意 4n  ， *nN ，恒有 1m  . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 题型十 拉格朗日乘数法 【例 10】设正数 , ,a b c满足2 2 1, 3a b c ab bc ac+ + = + +则 的最大值是 . 【跟踪训练 10】设 0x  ， 0y  ， 4 1 3 2 10x y x y + + + = ，求 x y− 的最小值． 课后突破训练 1．若不等式 1 cos cos3 0 8 m x x− − ≤ 对任意 0, 2 x       恒成立，则实数m的取值范围是 （ ） A． 9 , 4   −  −    B． ( , 2− − C． 9 , 4   −    D． 9 , 8   −    2．已知 , Ra b ， 4a b+ = ，则 2 2 1 1 1 1a b + + + 的最大值为（ ） A． 5 1 2 + B． 5 2 2 + C． 5 1 4 + D． 5 2 4 + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 3．设函数 ( ) ( ) ( )2 lnf x a x x b= − + ，若 ( ) 0f x  ，则 2 2a b+ 的最小值为（ ） A． 1 5 B． 5 5 C． 1 2 D． 2 2 4．设 a，b，c为正数，且 2 2 2 1a b c+ + = ，则 ( )a a b c+ + 的最大值为（ ） A． 3 1 2 + B． 2 1 2 + C． 3 2 D． 2 2 5．在𝛥𝐴𝐵𝐶中， AB AC= ，D为 AC的中点，且 1BD = ，则𝛥𝐴𝐵𝐶周长的最大值为 （ ） A．2 3 B．3 3 C．3 2 D．6 2 6．如果实数 m、n、x、y 满足 2 2m n a+ = ， 2 2x y b+ = ，其中，a、b为常数，那么， mx ny+ 的最大值为（ ）. A． 2 a b+ B． ab C． 2 2 2 a b+ D． 2 2 2 a b− 7．（多选）过抛物线 2: 2E y px= 上一点 (1,2)M 作两条相互垂直的直线，与 E的另外两 个交点分别为 A，B，则（ ） A．E的准线方程为 2x = − B．过点M与 E相切的直线方程为 1y x= + C．直线 AB过定点 (5, 3)− D． 2 2 1 1 | | | |MA MB + 的最小值为 1 32 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 8．已知实数 x，y满足 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = ，则 x y− 的最小值是 ． 9．设正实数 x y、 满足 2 2 1 1 27 4 x y x y + + + = ，则 15 3 4 P x y = − 的最小值为 . 10．求 ( ) 2 23 2 2 3f x x x x x= − + + + − 的最大值为 11．已知 , ,a b c都是正数，且 2 2 2 1a b c+ + = ，用max{ , , }a b c 表示 , ,a b c的最大值， 1 1 1 max , ,M a b c b c a   = + + +    . （1）证明 2 2 2 1 1 1 9 a b c + +  ； （2）求 M的最小值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 12．丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性 与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 1x ， 2x ， ， nx 为 ( ),a b 上任意n个实数，满 足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成 立，则称函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为“凸函数”.也可设可导函数 ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ， ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为 “凸函数”.若 1x ， 2x ， ， nx 为 ( ),a b 上任意 n个实数，满足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，则称函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为“凹函数” 当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成立.也可设可导函数 ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ， ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为 “凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数 1 sin y x = ， π 0, 2 x       的凹凸性； (2)在 ABC中，求证： 1 1 1 6 sin sin sin 2 2 2 A B C + +  ； (3)若 n个正实数 ( )1 2 ,ix i n= ，， 满足 1 1 n n i x = = ，求证： 1 21 2 1 nxx x nx x x n   . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 51 多元函数的最值重难点专题 常考结论及公式 结论一：均值不等式 对于 0ix  ( 1,2, , )i n= ，恒有 1 2 1 1 n n i n i x x x x n =  成立，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时，取等号； 结论二：柯西不等式 柯西不等式的高维离散形式为 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = =          ， ( 1,2, , )i n= 当且仅当 1 2 0na a a= = = = 或 1 2 0nb b b= = = = 或 1 2 1 2 n n aa a b b b = = = 时，等号成立； 结论三：权方和不等式 权方和不等式形式为 ( ) 1 1 1 1 1 , , 0, 1,2, m n imn ii i imm n i i i i x x x y m i n y y + + = = =        =          当且仅当 i ix y= 时取等号，特别当 1m = 时有 ( ) 222 2 1 21 2 1 2 1 2 nn n n x x xxx x y y y y y y + + + + + + + + + ； 结论四：琴生不等式 琴生不等式：若 ( )f x 是区间 ,a b 上的下凸函数，则对任意的  1 2, , , ,n a b    ， 有不等式： ( )1 1 1 n n i i i i i f x f x  = =         ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成立； 结论五：拉格朗日乘数法 方法介绍：首先设定二元函数 ( , )Z f x y= 和题目中条件 ( , ) 0x y = ，探究 ( , )Z f x y= 的最值，先构造拉格朗日函数 ( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y = + ，其中为 参数.分别对 ( , , )F x y  关于 ,x y求一阶偏导数 ', 'x yF F ，构建方程 ' 0 ' 0 x y F F =  = ，解出 ,x y和，此时得到的解可能就是极值点，也是最值点. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 题型一 消元法 【例 1】已知正实数 x，y满足 ln e lnxx y y= + ，则 e xy −− 的最大值为 . 【答案】 2 1 e 【分析】把已知等式变形为 ln e ln e x x yxx y =  ，利用函数 ( )0( ) exf x x x=  的单调性得 ,x y 的关系，从而将 e xy −− 转化为 x 的函数，再利用导数求得其最大值即可． 【详解】由 ln e lnxx y y= + 得 ln e xx y y = ，所以 ln e xx x x y y = ，则 ln e ln e x x yxx y =  ， 因为 0x  ，e 0x  ， ln e 0 x y  ，所以 ln 0 x y  ， 令 ( )0( ) exf x x x=  ，则 ( ) e ( 1) 0xf x x = +  ，所以 ( )f x 在 ( )0, + 上单调递增， 所以由 ln e ln e x x yxx y =  ，即 ( ) ln x f x f y   =     ，得 ln x x y = ，所以 ex x y = ， 所以 1 1 e e e e x x x x x x y − − − = − = ， 令 ( ) 1 ( ) 0 ex x g x x − =  ，则 2 ( ) ex x g x −  = ， 令 ( ) 0g x  ，得0 2x  ；令 ( ) 0g x  ，得 2x  ， 所以 ( )g x 在 ( )0,2 上单调递增，在 ( )2,+ 上单调递减， 所以 max 2 1 ( ) (2) e g x g= = ，即 e xy −− 的最大值为 2 1 e ． 故答案为： 2 1 e ． 【跟踪训练 1】已知实数 ,m n满足： e ( 1) ln( 1) ( 0)mm n n t t = − − =  ，则 ln ( 1) t m n − 的最大 值为 . 【答案】 1 e 【分析】构造函数 ( ) e ( 0)xf x x x=  ，利用导数可得 ( )f x 在 ( )0, + 上单调递增，由题 意可得 ( ) ( )( )ln 1 ,f m f n= − 所以有 ( )ln 1m n= − ，由此可得 ( ) ln ln 1 t t m n t = − ，再构造函数 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 ( ) ln ( 0), t g t t t =  求导，利用导数的正负确定 ( )g t 单调区间，从而即可求得答案. 【详解】解：由已知得， ( )0, 1 0,ln 1 0m n n −  −  ， 令 ( ) e ( 0)xf x x x=  ，则 ( ) ( )' e1 0xf x x= +  ， ( )f x 在 ( )0, + 上单调递增， 又因为 e ( 1) ln( 1)mm n n = − − ， 所以 ( ) ( )( )ln 1 ,f m f n= − ( )ln 1m n = − ， ( ) ( )1 ( 1) ln 1 ,m n n n t − = −  − = ( ) ln ln 1 t t m n t  = − ， 令 ( ) ln ( 0), t g t t t =  所以 ( )' 2 1 lnt g t t − = ， 则当 (0,e)t 时， ' ( ) 0g t  ， ( )g t 单调递增；当 (e, )t + 时， ' ( ) 0g t  ， ( )g t 单调递 减；所以 max 1 ( ) (e) e g t g= = . 故答案为： 1 e . 题型二 根的判别式法 【例 2】已知 4 2 2 24 3 2 5 4 1, , Ry m m n m mn n n m n= − + − + − +  ，则 y 的最小值为（ ） A．1 B． 17 C． 10 D．0 【答案】D 【分析】将已知转化为关于 n 的二次方程，根据 0  ，可求得最值. 【详解】根据题意 ( )2 2 4 25 4 2 4 3 1 0n m m n m m y+ − − − + + + − = ， 若方程有解，则 ( ) ( ) 2 2 4 2Δ 4 2 2 20 3 1 0m m m m y= + + − + + −  ， 即 4 2 3 2 4 24 4 4 4 8 5 15 5 5 0m m m m m m m y+ + + + + − − − +  ， 所以 ( ) 44 3 25 4 6 4 1 1 0y m m m m m − + − + = −  ， 当 1m = 时， 0y = ，此时 25 10 5 0n n− + = ，即 1n = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 也就是说当且仅当 1m n= = 时， min 0y = . 故选：D 【跟踪训练 2】在 ABC中，2cos 3cos 6cosA B C+ = ，则cosC 的最大值 为 ． 【答案】 14 1 6 − 【详解】令cos ,cos ,cosA x B y C z= = = ，则2 3 6x y z+ = ，即 2 2 3 y z x= − ． 因为 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C+ + + = ， 所以 2 2 22 22 1 2 2 3 3 x z x z x z x z     + − + = − −        ， 整理得 2 2 213 4 84 5 1 0 9 3 3 z x z z x z     − + − + − =        ， ( ) 2 2 28 13 4Δ 4 4 5 1 0 3 9 3 z z z z     = − − − −         ， 化简得 2 4 13( 1)( 1) 4 0 3 9 z z z z   + − + −     ， 于是 2 4 134 0 3 9 z z + −  ，得 14 1 6 z −  ， 所以cosC 的最大值为 14 1 6 − ． 故答案为： 14 1 6 − . 题型三 三角换元法 【例 3】已知实数 ,x y满足 2 23 3 3x xy y+ + = ，则2x y+ 最大值为（ ） A．2 B．3 C． 3 D． 2 【答案】A 【分析】解法（1）采用三角换元，令 cos , 3sin 2 2 y y x  + = = ，再结合余弦函数的值 域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可； 【详解】解法（1）：由 2 2 2 213 3 3 3 3 2 4 y x xy y x y   + + =  + + =    ， 令 cos , 3sin 2 2 y y x  + = = ，即 cos 3 sinx ， 2 3 siny = ， 2 2cos 2x y  + =  ，即2x y+ 最大值为 2； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 解法（2）： 2 2 2 2 2 (2 )(2 ) 4 4 3 3 3 , 4 x y x y x xy y x xy x x y 当且仅当 x x y= + ，即 20, 1y x= = 时取等号， 2(2 ) 4, 2 2 2x y x y +  −  +  ，即2x y+ 最大值为 2， 故选：A. 【跟踪训练 3】 2 22 1x xy y+ + = ，则 2 22x xy y+ + 的最小值为 . 【答案】 4 2 9 7 − + 【解析】根据条件等式可设 2cos cos , sin 7 7 x y   = = − ，代入所求式子，利用二倍角公 式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值. 【详解】 2 22 1x xy y+ + = ，则 2 2 27 1 4 4 x x xy y+ + + = ，即 2 2 7 1 2 2 x x y     + + =        ， 设 7 cos , sin 2 2 x x y = + = ，则 2cos cos , sin 7 7 x y   = = − ，  2 2 2 2 2cos 2cos cos cos2 sin 2 sin 7 7 7 7 x xy y             + + = +  − + −            2 24cos 2sin cos 2sin 7 7    = − + 4 1 cos2 sin 2 1 cos2 7 2 7    +  = − + −    1 5 9 sin 2 cos 2 7 77  = − − + ( ) 4 2 9 sin 2 7 7  = + + ，其中 是辅助角，且 35 tan 7  = ， 当 ( )sin 2 1 + = − 时，原式取得最小值为 4 2 9 7 − + . 故答案为： 4 2 9 7 − + . 题型四 均值不等式法 【例 4】若曲线 ( )ln 2y x a= + 的一条切线为 e 2y x b= − （ e为自然对数的底数），其中 ,a b为正实数，则 1 1 ea b + 的取值范围是（ ） A． )2,e B． ( e,4 C． )4,+ D． )e,+ 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义计算可得 e 1a b+ = ，结合基本不等式中“1”的活用计算即 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 可得. 【详解】 1 2 y x a  = + ，令 1 e 2x a = + ，则 1 2 e x a= − ，有 1 ln 2 2 1 e y a a   = − + = −    ， 即 1 e 2 2 1 e a b   − − = −    ，即 e 1a b+ = ， 又 ,a b为正实数，则 ( ) 1 1 1 1 e e e 1 1 2 2 4 e e e e b a b a a b a b a b a b a b   + = + + = + + +  +  =    ， 当且仅当 e e b a a b = ，即 1 e 2 b a= = 时，等号成立.， 故 1 1 ea b + 的取值范围是 )4,+ . 故选：C. 【跟踪训练 4】已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球 的体积最小时，求正六棱柱底面边长． 【答案】 6 3 【分析】设正六棱柱底面边长为 x，表达出正六棱柱的高为 2 4 3 9 h x = ，表达出其外接球 的半径为 2 2 4 1 1 4 2 2 27 r x x x = + + ，由三元基本不等式求出最小值，得到体积最小值和 此时正六棱柱的底面边长.. 【详解】设正六棱柱底面边长为 x，那么底面积为 6 2 2 3 3 3 4 2 x x = ， 因为该六棱柱的体积为2，故正六棱柱的高为 2 2 2 4 3 93 3 2 h x x = = ， 其外接球的半径为 ( ) 2 2 2 2 2 4 4 1 1 16 1 1 4 2 4 2 2 27 2 2 27 r x h x x x x x = + = + = + + ， 其中 2 2 2 23 4 4 1 1 4 1 1 4 1 3 3 1 2 2 27 2 2 27 3 x x x x x x + +  =  = ， 故 1r  ，当且仅当 2 4 1 4 2 27 x x = ，即 6 3 x = 时等号成立， 故球的体积最小时，正六棱柱底面边长为 6 3 ． 故答案为： 6 3 题型五 权方和不等式法 【例 5】已知 x>0，y>0，且 1 1 1 2 1x y y + = + + ，则 x+2y的最小值为 . 【答案】 1 3 2 + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【详解】解法一：设 1 22 (2 ) ( 1)x y x y y t + = + + + + ， 可解得 1 2 1 3 3 , , 2 2 2 t = = = − ， 从而 1 3 3 2 (2 ) ( 1) 2 2 2 x y x y y+ = + + + − 1 3 1 1 3 (2 ) ( 1) 2 2 2 1 2 x y y x y y    = + + + + −   + +    1 3 2 + ， 当且仅当 1 3 3 , 2 3 3 x y= + = 时取等号. 故答案为： 1 3 2 + ． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式： 2 2 2( )a b a b x y x y + + + ， 21 3 (1 3) 1 2 4 3 4 2 3 2 3 3 2 4 3 x y x y y x y + = +  + + + + + + + ， 所以 1 2 3 2 x y+ + ，当且仅当 1 3 3 , 2 3 3 x y= + = 时取等号. 故答案为： 1 3 2 + ． 【跟踪训练 5】已知 1 2 2 , 0, 1x y x y  + = ，则 2 2x y+ 的最小值是 ． 【答案】3 3 【详解】由题意得， ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2 1 21 2 2 1 2 3 3 1 x y x yx y x y + = + = +  = ++ ． （权方和的一般形式为： ( ) ( ) 11 11 1 1 2 331 2 1 2 3 1 2 3 mm mm m nn mm m m m n n a a a aa aa a b b b b b b b b ++ ++ + + + ++ + + ++  + + ++ , 0, 0i ia b  ,当且仅当 i ia b= 时等号成立） 当 2 2 1 2 1 2 2 1 x y x y  =    + =  ，即 3, 3 2x y= = 时， 2 2x y+ 取得最小值3 3． 故答案为：3 3 题型六 构造齐次式法 【例 6】已知 0x  ， 0y  ，则 2 2 2 2 2 8 2 xy xy x y x y + + + 的最大值是 . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 【详解】由题意， 3 3 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 3( ) 2 3 12 8 2 10 16 ( ) 16( ) 10 x y xy xy x y xy y x x yx y x y x x y y y x + + + = = + + + + + + 2 4 4 3( ) 3( ) 4 4 2 ( ) 2 ( ) 4 x y x y y x y x x y x y x yy x y x y x + + = = + + + + + ， 设 4x y t y x = + ，则 4 4 2 4 x y x y t y x y x = +   = ，当且仅当 4x y y x = ，即 2x y= 取等号， 又由 2 y t t = + 在[4, )+ 上单调递增， 所以 2 y t t = + 的最小值为 9 2 ，即 2 9 2 t t +  ， 所以 4 3( ) 3 2 4 2 2 3 ( ) 4 x y y x x y t x yy x t y x +  = + + + + ， 所以 2 2 2 2 2 4 2 xy xy x y x y + + + 的最大值是 2 3 . 故答案为： 2 3 . 【跟踪训练 6】已知正实数 a，b，c满足 2 22 9 0a ab b c− + − = ，则 ab c 的最大值 为 ． 【答案】 1 4 【分析】由已知表示出 c，代入根据基本不等式求解. 【详解】由 2 22 9 0a ab b c− + − = ，得 2 22 9c a ab b= − + ， ∵正实数 a，b，c ∴则 2 2 1 92 9 2 ab ab a bc a ab b b a = = − + + − 则 9 9 2 6 a b a b b a b a +   = ， 当且仅当 9a b b a = ，且 a，b>0，即 a=3b时，等号成立 9 2 4 0 a b b a + −   则 1 1 9 4 2 a b b a  + − 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 所以， ab c 的最大值为 1 4 . 故答案为： 1 4 . 题型七 向量法 【例 7】17 世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问 题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证 明：在 ABC中，若三个内角均小于120，则当点 P满足 120APB APC BPC 时，点 P到三角形三个顶点的距离之和最小，点 P被人 们称为费马点．根据以上知识，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互 相垂直的向量，且 | | 2,| | 3b c= = ，则 | | | | | |− + + + −a b a b a c 的最小值是 ． 【答案】3 2 3+ 【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题. 【详解】以b 为 x轴， c 为 y轴，建立直角坐标系如下图，设 ( ),a x y= ，则 ( ) ( )2,0 , 0,3b c= = ， ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 23 , 2 , 2a c x y a b x y a b x y− = + − − = − + + = + + ， a c a b a b − + − + + 即为平面内一点 ( ),x y 到 ( ) ( ) ( )0,3 , 2,0 , 2,0− 三点的距离之和， 由费马点知：当点 ( ),P x y 与三顶点 ( ) ( ) ( )0,3 , 2,0 , 2,0A B C− 构成的三角形 ABC为费 马点时 a c a b a b− + − + + 最小， 将三角形 ABC放在坐标系中如下图： 现在先证明 ABC 的三个内角均小于120 ： 2 22 3 13, 4AB BC BC= = + = = ， 2 2 2 11 cos 0 2 13 AB AC BC BAC AB AC + −  = =  ， 2 2 2 1 cos cos 0 2 13 AB BC AC ABC ACB AB BC + −  =  = =  ， ABC 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 ABC 是等腰三角形， 点 P必定在底边 BC的对称轴上，即 y轴上， 120 , 30BPC PCB  =  = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 3 2 3 tan 2 3 3 PO OC PCB=  =  = ，即 2 3 0, 3        P ， 现在验证 120BPA  = ： 2 2 2 3 4 2 32 , 3 3 33 BP AP   = + = = −     ， 2 2 2 1 cos 2 2 BP AP AB BPA BP AP + −  = = − ， 120BPA  = ，同理可证得 120CPA  = ， 即此时点 2 3 0, 3        P 是费马点，到三个顶点 A，B，C的距离之和为 4 2 3 2 3 3 2 3 33 BP CP AP+ + =  + − = + ，即 a c a b a b− + − + + 的最小值为 3 2 3+ ； 故答案为：3 2 3+ . 【跟踪训练 7】已知向量 a ，b 满足 ( ) 0a b b+  = ， 4 4a b+ = ，则 a b b+ + 的最大值 为 ． 【答案】 4 10 3 【分析】利用向量的运算建立平面直角坐标系即可得 ( ) ( ), , ,0a OA m n b OB m= = − = = ，由 4 4a b+ = 得 2 29 16m n+ = ，则 a b b n m+ + = + ，结合三角函数设 π 3 4sin , 4cos , 0, 2 m n     = =     ，利用三角函数的 性质即可求得最值. 【详解】取平行四边形OACB，连接OC 设 ,OA a OB b= = ，则 = +OC a b， 因为向量a ，b 满足 ( ) 0a b b+  = ，所以 ( )a b b+ ⊥ ，即 OC OB， 设 ,OB m OC n= = ， , 0m n  ，如图以O为原点， ,OB OC所在直线为 ,x y轴建立平面直 角坐标系， 则 ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , ,0 , 0, , ,O B m C n A m n− 所以 ( ) ( ), , ,0a OA m n b OB m= = − = = ，则 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 ( ) ( ) ( ) 2 24 , 4 ,0 3 , 9 4a b m n m m n m n+ = − + = = + = ，故 2 29 16m n+ = ， 所以 ( ) ( )0, ,0a b b n m n m+ + = + = + 因为 2 29 16m n+ = ，又 2 2sin cos 1 + = ，可设 π 3 4sin , 4cos , 0, 2 m n     = =     即 4 sin , 4cos 3 m n = = ，所以 ( ) ( ) 2 24 4 4 10sin 4cos 4 sin sin 3 3 3 m n         + = + = + + = +    ，其中 4 π tan 3, 0, 4 2 3     = =    ，所以 ( )0,π +  ，所以 ( ) ( sin 0,1 +  ， 故m n+ 的最大值为 4 10 3 ，即 a b b+ + 的最大值为 4 10 3 . 故选： 4 10 3 . 题型八 琴生不等式法 【例 8】若2 3 πA B C+ + = ，则有 (1) 2sin sin 3sin 3A B C+ +  ； (2) 2 3 27cos cos cos 64 A B C  ． 【分析】用函数的凹凸性以及琴生不等式进行运算从而得证. 【详解】（1）由sin x 是凹函数，应用琴生不等式可得： 2sin sin 3sin 2 3 π sin sin 6 6 6 A B C A B C+ + + +  = 即2sin sin 3sin 3A B C+ +  ,得证. （2）应用琴生不等式可得： 2 3cos cos cos cos cos cos cos cos cosA B C A A B C C C=      , 而 6 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 6 A A B C C C A A B C C C + + + + +            ， 则 6 6cos cos cos cos cos cos cos 6 6 A A B C C C A A B C C C+ + + + + + + + + +            6 62 3 π 27cos cos 6 6 64 A B C+ +    = = =        . 即 2 3 27cos cos cos 64 A B C  ,得证. 【点睛】本题考查的是琴生不等式的应用，以及理解函数凹凸性，熟练运用琴生不等 式是关键，属于较难题. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 【跟踪训练 8】若 1 2, , , nx x x 为 ( , )a b 上任意 n 个实数，满足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成 立，则称函数 ( )f x 在 ( , )a b 上为“凸函数”.也可设可导函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的导函数为 ( ), ( )f x f x  在 ( , )a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的为“凸 函数”.若 1 2, , , nx x x 为 ( , )a b 上任意n 个实数，满足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成 立，则称函数 ( )f x 在 ( , )a b 上为“凹函数”.也可设可导函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的导函数为 ( ), ( )f x f x  在 ( , )a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( , )a b 上的为“凹 函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数 1 π ( ) , 0, tan 2 f x x x   =     的凹凸性； (2)在锐角 ABC 中，求 1 1 1 tan tan tanA B C + + 的最小值； (3)若 n 个正数 ( )*1 2, , na a a n N 满足 1 2 1na a a+ + + = ，证明: 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n a a a n a a a n       + + +  +            . 【详解】（1） 1 πcos ( ) , ( , ), 2an sin 0 t x x x x f x = =  所以 2 1 ( ) (sin ) f x x  = − ， 3 2cos ( ) 0 (sin ) x f x x  =  ， 所以函数 ( )f x 在 π 0, 2       上为凹函数. （2）由 1）知，函数 ( )f x 在 0, 2       上为凹函数， 由琴生不等式得， ( ) ( ) ( ) 3 3 f A f B f C A B C f + + + +       ， 即 1 1 1 3 3 tan tan tan tan 3 A B C  + +  = （当且仅当 A B C= = 时等号成立）. 因此在锐角 ABC 中， 1 1 1 tan tan tanA B C + + 的最小值 3 . （3）构造函数 1 ( ) ln (0 1)g x x x x   = +      ， 因为 ( ) 2 2 1 ( ) 1 x g x x x −  = + ， ( ) ( ) ( ) 2 24 2 2 2 2 2 2 2 4 14 1 ( ) 0 1 1 x xx x g x x x x x − +− + + = =  + +  ， 所以函数 ( )g x 在(0,1)上为凹函数. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 因为正数 ( )*1 2, , , na a a n N 满足 1 2 1na a a+ + + = ， 所以 1 2, , , (0,1)na a a  由琴生不等式得， ( ) ( ) ( )1 2 1 2n ng a g a g a a a ag n n + ++ + ++       （当且仅当 1 2 na a a= = = 时等号成立）， 所以 ( ) ( ) ( )1 2 1 ng a g a g a ng n   + ++      所以 1 2 1 2 1 1 1 1 ln ln ln ln ,n n a a a n n a a a n        + + + + + +  +              所以 1 2 1 2 1 1 1 1 . n n n a a a n a a a n       + + +  +            题型九 柯西不等式法 【例 9】已知  , 0,   ．则 ( )sin sin sin   + +   的最大值为 ． 【答案】 8 3 9 【详解】由柯西不等式得 ( ) ( ) 2 2 · ·sina sin a sina sina cos cosa sin   + + = + +  ( ) 2 1 ?sina cos cosa sin  = + +  ( ) ( ) 22 2 2 21 ? 2 2 4 2 sin a cos a cos sin cos cos      + + + = + =   由  0, , 0, 2 2 得            ，从而， ( ) sin sin sina    + +  2 2 2 21 12 ? 4sin ? 8 sin ? · 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos cos cos        = = 3 2 2 21 1sin ? · 8 32 2 2 2 28 3 9 cos cos        =      . 以上两式中，等号分别当且仅当 2 2sin cos 1, sin 1 sin 2 2 2 a a cos cos     = = + 且 时，成立，此时， 2 2arctan , arctan 2 2 a = = . 因此，所求的最大值为 8 3 9 . 【跟踪训练 9】柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命 名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一 般形式为：设 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,n na a a a b b b b  R ，则 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 ( )( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2n n n na a a b b b a b a b a b+ ++ + ++  + ++ 当且仅当 ( )0 1,2, ,ib i n= =  或存在一个数 k ，使得 ( )1,2, ,i ia kb i n= =  时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设 P是棱长为 2 的正四面体 ABCD内的任意一点，点 P 到四个面的距离分别为 1d 、 2d 、 3d 、 4d ，求 2 2 2 2 1 2 3 4d d d d+ + + 的最小值； (3)已知无穷正数数列 na 满足：①存在mR，使得 ( )1,2,ia m i =  ；②对任意正 整数 ( )i j i j、 ，均有 1 i ja a i j −  + .求证：对任意 4n  ， *nN ，恒有 1m  . 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为： 设 1 2 1 2, , , Ra a b b  ，则 ( )( ) ( ) 22 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2a a b b a b a b+ +  + ， 当且仅当 1 2 2 1a b a b= 时等号成立. （2）由正四面体 ABCD的体积 P ABC P DBC P CDA P DABV V V V V− − − −= + + + ， 得 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 3 4 2 1 3 2 2 12 3 4 d d d d=  + + + ，所以 1 2 3 4 2 3 3 d d d d+ + + = ， 又由柯西不等式得 ( )( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 431 1 1 1 1 1 1 1d d d d d d d d d d d d+ + + + + +   + + +  = + +  + ， 所以 ( ) 2 1 2 3 42 2 2 2 1 2 3 4 1 4 3 d d d d d d d d + + + + + +  = ， 当且仅当 1 2 3 4 3 6 d d d d= = = = 时等号成立. （3）对 4n  ，记 1 2, , , nk k k 是1,2, ,n的一个排列， 且满足 1 2 0 nk k k a a a m     . 由条件②得： ( ) 1 1 1 2,3, , i i i k k i a a i n k k− − −  = + . 于是，对任意的 4n  ， 都有 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1n n n n n nk k k k k k k k k m a a a a a a a a a − − −   − = − + − + + − 1 21 2 1 1 1 1 n n nnk k k k k k−− −  + + + + + + 由柯西不等式得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1n n n n n n n n k k k k k k n k k k k k k − − − − − −    + + + + + + + + +  −   + + +  武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 2 2 12 11 1 1 n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k− − − − − − − + + +  + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 3 4 1 2 3 3n n n n n n n k k k k k n n k k n n n n − − − − = =  = − + + + − − + − − + − + − 从而，对任意的 4n  ，都有 2 3 4 1 3 n m n n −  − + − ， 故对任意 *4, Nn n  ， 2 3 4 0 3 n n n −  + − ，恒有 1m  . 题型十 拉格朗日乘数法 【例 10】设正数 , ,a b c满足2 2 1, 3a b c ab bc ac+ + = + +则 的最大值是 . 【分析】构造 Lagrange 函数： ( , , , ) 3 (2 2 1)L a b c ab bc ac a b c = + + + + + − ，分别对 , ,a b c求导，并令其为 0，解得 , ,a b c的值，即可得到最大值. 【详解】构造 Lagrange 函数： ( , , , ) 3 (2 2 1)L a b c ab bc ac a b c = + + + + + − ( , , , ) 3 2 0 ( , , , ) 3 2 0 1 ( , , , ) 0 5 ( , , , ) 2 2 1 0 a b c L a b c b c L a b c a c a b c L a b c b a L a b c a b c        = + + =  = + + =  = = = = + + =  = + =  + −    . 故3ab bc ac+ + 的最大值为 1 5 . 故答案为： 1 5 【跟踪训练 10】设 0x  ， 0y  ， 4 1 3 2 10x y x y + + + = ，求 x y− 的最小值． 【答案】0 【分析】利用拉格朗日数乘法，由导数得到三个关系式，求出相应的 ,x y，求出最小 值. 【详解】 ( )2 2( ) 3 2 4 10F x y x y x y y x y x xy = − + + + + −、 、 ， ( )21 6 2 1 10 0xF xy y y = + + + − = ①； ( )21 3 4 4 10 0yF x yx x = − + + + − = ②， 2 23 2 4 10 0F x y y x y x xy = + + + − = ③， 由①②，消去可得 2 23 2 10 10 10 5 0x y xy x y+ + − − + = ④， ③④结合可得 2 22 2 03 39 5 22 6x y yx y x y x+ − − + + + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 整理得 ( ) ( )22 223 03 26 6 2 9 29 0x y y xx y y x+ + +− +− − =− ， 即 ( )( ) ( )( )2 23 2 1 2 9 1 20 0x y y x− + + − + + = ， 因为 0x  ， 0y  ，所以 1 1, 1 1x y+  +  ， 观察到 1x = ， 1y = 满足上式，又极值点唯一，故 x y− 的最小值为 0. 课后突破训练 1．若不等式 1 cos cos3 0 8 m x x− − ≤ 对任意 0, 2 x       恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A． 9 , 4   −  −    B． ( , 2− − C． 9 , 4   −    D． 9 , 8   −    【答案】A 【分析】先利用三角恒等变换化简cos3x ，然后将问题转化为 3 1cos 4cos 3cos 0 8 m x x x− + − 对 (0, ) 2 x   恒成立，由换元法，令 cost x= ，将问题进一步 转化为 2 13 4 8 m t t + + 对0 1t  恒成立，然后利用柯西不等式求解最值即可． 【详解】解：因为 2 2 3cos3 cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin cos (2cos 1) (2 2cos )cos 4cos 3cosx x x x x x x x x x x x x= + = − = − − − = − ， 所以 1 cos cos3 0 8 m x x− − 对任意 (0, ) 2 x   恒成立，转化为 3 1cos 4cos 3cos 0 8 m x x x− + − 对 (0, ) 2 x   恒成立， 令 cost x= ，则0 1t  ，所以 3 1( 3) 4 8 t m t+ + 对0 1t  恒成立，即 2 13 4 8 m t t + + 对 0 1t  恒成立， 因为 2 2 23 1 1 1 1 1 3 4 4 3 4 8 16 16 16 16 4 t t t t t t t t + = + +   = ，当且仅当 1 4 t = 时取等号， 所以 3 3 4 m + ，即 9 4 m − ， 所以实数m 的取值范围为 9 ( , ] 4 − − ． 故选：A． 2．已知 , Ra b ， 4a b+ = ，则 2 2 1 1 1 1a b + + + 的最大值为（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 A． 5 1 2 + B． 5 2 2 + C． 5 1 4 + D． 5 2 4 + 【答案】D 【分析】由题意首先得 4ab  ，且 ( ) 22 2 1 1 18 2 1 1 2 17 ab a b ab ab − + = + + − + ，进一步通过换元法 以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为 4a b+ = ，所以 2 2 2 16 4a b ab ab+ + =  ，所以 4ab  ，等号成立当且仅当 2a b= = ， 从而 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 18 2 1 1 1 1 1 2 17 a b a b ab a b a ab a b ab abb + + + + + − + = = = + + + + + + + − + ， 令 4t ab=  ，设 ( ) 2 2 18 2 18 2 2 172 17 ab t y t tab ab − − = = − +− + ，显然 0y  ， 则 ( )2 2 1 17 18 0yt y t y+ − + − = ， 因为关于 t 的一元二次方程有实数根，所以 ( ) ( ) 2 4 1 4 17 18 0y y y = − − −  ， 整理得 264 64 4 0y y− + +  ，即 216 16 1 0y y− −  ， 解得 2 5 2 5 4 4 y − +   ，注意到 0y  ，从而 2 5 0 4 y +   ， 等号成立当且仅当 0 = ，即 ( ) ( ) 2 21 41 1 4 5 2 9 4 5 5 2 2 4 5 2 y t y − = = − = − − = − = −  = + ， 所以经检验 y 的最大值，即 2 2 1 1 1 1a b + + + 的最大值为 5 2 4 + . 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得 4ab  ，且 ( ) 22 2 1 1 18 2 1 1 2 17 ab a b ab ab − + = + + − + ，由此即可 顺利得解. 3．设函数 ( ) ( ) ( )2 lnf x a x x b= − + ，若 ( ) 0f x  ，则 2 2a b+ 的最小值为（ ） A． 1 5 B． 5 5 C． 1 2 D． 2 2 【答案】A 【分析】由 ( ) 0f x  结合对数的运算性质与不等式解集运算可得2 1a b+ = ，代入消元 后求解二次函数最值即可. 【详解】 ( )f x 的定义域为 ( , )b− + ， 令 ( )ln 0x b+ = ，得 1x b= − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 ①当 1x b= − 时， ( ) 0f x = 满足题意，2aR； ②当 1b x b−   − 时， ln( ) 0x b+  ，由 ( ) 0f x  ，得 2x a≤ ， 要使任意 ( ,1 )x b b − − ， ( ) 0f x  恒成立，则 ( ( ,1 ) ,2b b a− −  − ， 所以2 1a b − ； ③当 1x b − 时， ln( ) 0x b+  ，由 ( ) 0f x  ，得 2x a ， 要使任意 (1 , )x b − + ， ( ) 0f x  恒成立，则  )(1 , ) 2 ,b a − +  + ， 所以2 1a b − ； 综上，2 1a b= − ，即2 1a b+ = . 又 2 2 2 2 2 2 2 1(1 2 ) 5 4 1 5 5 5 a b a a a a a   + = + − = − + = − +    ，aR ， 当且仅当 2 5 1 5 a b  =   =  时，取最小值 1 5 . 所以 2 2a b+ 的最小值为 1 5 . 故选：A. 4．设 a，b，c为正数，且 2 2 2 1a b c+ + = ，则 ( )a a b c+ + 的最大值为（ ） A． 3 1 2 + B． 2 1 2 + C． 3 2 D． 2 2 【答案】A 【分析】利用待定系数法法结合基本不等式可求 ( )a a b c+ + 的最大值，也可以利用三 角换元结合辅助角公式、正弦函数的性质可求最大值.我们也可以利用基本不等式把 b c+ 转化为关于a 的代数式，从而可求最大值. 【详解】解法一 根据题意，有 2 22 2 2 11 ( ) 2 2 a ca b a a b c a   ++ + +  + + 2 2 21 11 2 2 2 2 a b c       = + + + +    ， 其中 , 0   ，令 1 1 1 2 2 2 2     + + = = ， 解得 3 1 2   − = = ， 于是 ( )2 2 2 1 3 1 ( ) 2 2 a a b c a b c  + + +  + + = ， 等号当 : : ( 3 1) : 2 : 2a b c = + 时取得，因此所求最大值为 3 1 2 + ． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 解法二 令 cos , sin sin , sin cosa b c    = = = ，其中0 ,0 2       ，则 2( ) cos sin cos (sin cos )a a b c     + + = + + 2cos 2 sin cos   + 2 1 1 sin 2 cos 2 2 2 2  = + + 3 1 2 +  ， 等号当 : : ( 3 1) : 2 : 2a b c = + 时取得，因此所求最大值为 3 1 2 + ． 解法三 根据题意，有 ( )2 2( ) 2a a b c a a b c + +  + +   ( )2 2 22 1a a a= + − 2 2 2 21 1 1 12 2 4 2 2 a a     = − +  − − +        3 1 2 +  ， 等号当 2 2b c= ，且 2 2 2 21 1 12 4 2 2 a a     − = −        即 : : ( 3 1) : 2 : 2a b c = + 时取得， 因此所求最大值为 3 1 2 + ． 故选：A. 5．在𝛥𝐴𝐵𝐶中， AB AC= ，D为 AC 的中点，且 1BD = ，则𝛥𝐴𝐵𝐶周长的最大值为 （ ） A．2 3 B．3 3 C．3 2 D．6 2 【答案】C 【分析】设 2AB AC x= = ， BC a= ，由D为 AC 的中点，且 1BD = ，分别在 ,ABD BCD中用余弦定理可得 2 22 2a x+ = ，而三角形的周长为 4l x a= + ，利用柯西 不等式可求得周长的最大值. 【详解】设 2AB AC x= = , BC a= ,由D为 AC 的中点，且 1BD = ， 分别在 ,ABD BCD中用余弦定理可得: 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + −   即 2 24 1 2 cosx x x ADB= + −  (1) 2 2 2 2 cosBC CD BD CD BD CDB= + −   即 2 21 2 cosa x x CDB= + −  (2) 又cos ADB = cos CDB−  由(1)+ (2)得： 2 22 2a x+ = ， 而三角形的周长为 4l x a= + ， 由 2 2 2 2 2 2( 2 )[1 (2 2) ] (1 2 2 2) ( 4 )a x a x a x+ +   +  = + 即 2( 4 ) 2 9 18a x+   = ，即 4 3 2a x+  ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 当且仅当 2 1 2 2 a x = 即 2 3 2 2 3 a x  =    =  时，取得等号. 所以三角形的周长的最大值为3 2 . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理和三角形的周长的最值，考查利用柯西不等式求最值,属于 难题. 6．如果实数 m、n、x、y 满足 2 2m n a+ = ， 2 2x y b+ = ，其中，a 、b 为常数，那么， mx ny+ 的最大值为（ ）. A． 2 a b+ B． ab C． 2 2 2 a b+ D． 2 2 2 a b− 【答案】B 【详解】解法 1：由柯西不等式得 ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2mx ny m n x y ab mx ny ab+  + + =  +  ， 当且仅当 2 a m n= = ，即 2 b x y= = 时，mx ny ab+ = . 解法 2：令 cosm a = ， sinn a = ， cosx b = ， siny b = ， 则 ( )cosmx ny ab ab + = −  . 7．（多选）过抛物线 2: 2E y px= 上一点 (1,2)M 作两条相互垂直的直线，与 E的另外两 个交点分别为 A，B，则（ ） A．E的准线方程为 2x = − B．过点M与 E相切的直线方程为 1y x= + C．直线 AB过定点 (5, 3)− D． 2 2 1 1 | | | |MA MB + 的最小值为 1 32 【答案】BD 【分析】对于 A，根据点在抛物线上，求得抛物线方程即可求解；对于 B,联立直线方 程和抛物线方程，考查关系即可；对于 C,设出 AB的方程，联立后利用 0MA MB = ， 得到参数之间的关系式，进一步考查即可；对于 D,设直线MA的方程，联立后求得弦 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 |𝑀𝐴|的长，利用垂直关系可求得 MB 的长，利用权方和不等式求得最小值即可. 【详解】对于 A,因为点 (1,2)M 在抛物线 2: 2E y px= 上， 所以4 2 p= ，则 2p = ， 抛物线方程为 2 4y x= ， 则其准线方程为 1x = − ，故 A 错误； 对于 B,联立 2 4 1 y x y x  =  = + ，消元得 2 2 1 0x x− + = ， 则 ( ) 2 Δ 2 4 0= − − = ，故直线 1y x= + 与抛物线相切， 又点 (1,2)M 在直线上， 则过点M与 E相切的直线方程为 1y x= + ， 故 B 正确； 对于 C,依题知，直线 AB的斜率存在且不为零， 设直线 AB的方程为 y kx b= + ， 联立 2 4y x y kx b  =  = + ，消元得 ( )2 2 22 4 0k x kb x b+ − + = ， 设𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)， 则 2 1 2 1 22 2 4 2 , kb b x x x x k k − + = = ， ( )1 2 1 2 4 2y y k x x b k + = + + = ， ( )( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 2 4b y y kx b kx b k x x bk x x b k = + + = + + + = ， 又MA MB⊥ , 则 ( ) ( )1 1 2 21, 2 1, 2MA MB x y x y = − −  − − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 4x x x x y y y y= − + + + − + + 2 2 2 4 2 4 8 5 b kb b k k k k − = − + − + ( )2 2 2 5 6 8 4 0 k b k b k + − + − = ， 则 ( )2 25 6 8 4 0k b k b+ − + − = ， 即 ( )( )5 2 2 0k b k b+ + + − = ， 所以 2 5 b k + = − ，或者 2k b= − ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 当 2 5 b k + = − 时，直线方程为 2 5 b y x b + = − + ， 化为 2 1 0 5 5 x x b y   − − − =    ，则过定点 ( )5, 2− ， 当 2k b= − 时，直线方程为 ( )2y b x b= − + ， 即 ( )1 2 0b x x y− + − = ，过定点 ( )1,2 ，此时不符合题意， 故 C 错误； 对于 D,设直线 ( ): 2 1MA x t y= − + ， 联立 ( ) 2 4 2 1 y x x t y  =  = − + ，消元得 ( )2 4 4 2 1 0y ty t− + − = ， 设𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2)， 则 12 4y t+ = ，则 1 4 2y t= − ， 所以 2 2 11 2 4 1 1MA t y t t= + − = + − ， 因为MA MB⊥ , 用 1 t − 替换 t 得， 2 1 1 4 1 1MB t t = + + ， 所以 ( )( ) ( )( ) 4 2 22 2 2 2 1 1 1 | | | | 16 1 1 16 1 1 t MA MB t t t t + = + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 24 2 2 2 22 2 11 1 1 1 3216 1 16 11 1 1 1 tt t tt t t t   + = +   =  + +− + − + +   （利用了权方和不等式: ( ) ( ) 22 2 , , , , 0, a ba b a b x y x y x y  + +   + + ，当且仅当 a b x y = 时，等号 成立）， 当且仅当 ( ) ( ) 2 2 2 1 , 1 1 t t t = − + 即 2 2 1 0t t− − = ， 1 2t =  时等号成立， 故 D 正确， 故选：BD. 8．已知实数 x，y满足 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = ，则 x y− 的最小值是 ． 【答案】1 3 2− / 3 2 1− + 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 【分析】思路一：引入参数 x y k− = ，得 x k y= + ，代入已知等式，结合方程有解即 得判别式非负，由此即可得解；思路二：采用三角换元法，将所求式子最值转换为三 角函数最值来做；思路三：引入参数 x y k− = ，由圆心到直线的距离小于半径即可得 解. 【详解】(解法 1)令 x y k− = ，则 x k y= + ，代入原式化简得 ( )2 22 2 6 4 4 0y k y k k+ − + − − = . 因为存在实数 y，则 0 ，即 ( ) ( ) 2 22 6 4 2 4 4 0k k k− −  − −  ，化简得 2 2 17 0k k− −  ， 解得1 3 2 1 3 2k−   + ，故 x y− 的最小值是1 3 2− . (解法 2) 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = ，整理得 ( ) ( ) 2 2 2 1 9x y− + − = . 令 3cos 2, 3sin 1x y = + = + ，其中  0,2π  ， 则 π 3cos 3sin 1 3 2 cos 1 4 x y      − = − + = + +    . 因为  0,2π  ，所以 π π 9π , 4 4 4    +     ，则当 π π 4  + = ，即 3 π 4  = 时， 故 x y− 的最小值是1 3 2− . (解法 3)由 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = ，可得 ( ) ( ) 2 2 2 1 9x y− + − = . 设 x y k− = ， 则圆心到直线 x y k− = 的距离 | 2 1 | 3 2 k d − − =  ，解得1 3 2 1 3 2k−   + ， 故 x y− 的最小值是1 3 2− . 故答案为：1 3 2− . 9．设正实数 x y、 满足 2 2 1 1 27 4 x y x y + + + = ，则 15 3 4 P x y = − 的最小值为 . 【答案】6 【详解】由三元均值不等式，可得 2 21 8 8 15x x x x x x   + = + + −    2 3 8 8 15 15 3 12 ,x x x x x    − = − ① 2 21 1 1 3 8 8 4 y y y y y y   + = + + +    2 3 1 1 3 3 3 8 8 4 4 y y y y    = + . ② 当且仅当𝑥 = 2时，①中等号成立；当且仅当 1 2 y = 时，②中等号成立. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 ①+②，得 2 2 1 1 51 3 15 4 4 x y x y y x   + + +  + −    . 又已知 2 2 1 1 27 4 x y x y + + + = ，故 51 3 15 27 4 4 4y x   + −     ，整理得 15 3 6 4x y −  .当且仅当 1 2, 2 x y= = 时等号成立.所以， 15 3 4 P x y = − 的最小值为 6. 10．求 ( ) 2 23 2 2 3f x x x x x= − + + + − 的最大值为 【答案】2 2 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 ( ) 3 2 2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 1 1 x x x x f x x x x x x x x x − − − − + + − = − + + + − = + − + + + −  = + 当且仅当 2 23 2 2 3x x x x− + = + − ，即 0x = 或 3x = 时取等号 故答案为：2 2 . 11．已知 , ,a b c都是正数，且 2 2 2 1a b c+ + = ，用max{ , , }a b c 表示 , ,a b c的最大值， 1 1 1 max , ,M a b c b c a   = + + +    . （1）证明 2 2 2 1 1 1 9 a b c + +  ； （2）求 M的最小值. 【答案】(1)见解析；（2） 4 3 3 . 【分析】(1)由已知 2 2 2 1a b c+ + = ，利用“1 的代换”结合基本不等式证明 2 2 2 1 1 1 9 a b c + +  ； (2)由题意， 1 M a b  + ， 1 M b c  + ， 1 M c a  + ，把三个式子平方作和，再由均值不等 式求最值． 【详解】(1)证明： 2 2 2 1a b c+ + = ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c a b c a b c a b c + + + + + +  + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c a c b a b a c b c = + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 9 b a c a c b a b a c b c  +  +  +  = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 25 页 当且仅当a b c= = 时等号成立， 故 2 2 2 1 1 1 9 a b c + +  ； (2)解：由题意， 1 M a b  + ， 1 M b c  + ， 1 M c a  + ， 2 2 2 21 1 13 ( ) ( ) ( )M a b c b c a   + + + + + ( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c a     = + + + + + + + +        31 9 2 3 16 a b c b c a  + +    = ， 当且仅当 3 3 a b c= = = 时上式等号成立． 4 3 3 M  ，即M的最小值为 4 3 3 ． 【点睛】本题考查不等式的证明和利用基本不等式求最值，是中档题．关键难点是第 （2）问中的转化，并注意取等号的条件. 12．丹麦数学家琴生是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性 与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 1x ， 2x ， ， nx 为 ( ),a b 上任意n 个实数，满 足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成 立，则称函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为“凸函数”.也可设可导函数 ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ， ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为 “凸函数”.若 1x ， 2x ， ， nx 为 ( ),a b 上任意 n 个实数，满足 ( ) ( ) ( )1 21 2 nn f x f x f xx x xf n n + + ++ + +      ，则称函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为“凹函数” 当且仅当 1 2 nx x x= = = 时等号成立.也可设可导函数 ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ， ( )f x 在 ( ),a b 上的导函数为 ( )f x ，当 ( ) 0f x  时，函数 ( )f x 在 ( ),a b 上为 “凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数 1 sin y x = ， π 0, 2 x       的凹凸性； (2)在 ABC 中，求证： 1 1 1 6 sin sin sin 2 2 2 A B C + +  ； (3)若 n 个正实数 ( )1 2 ,ix i n= ，， 满足 1 1 n n i x = = ，求证： 1 21 2 1 nxx x nx x x n   . 【答案】(1)凹函数； (2)证明见解析； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 26 页 (3)证明见解析． 【分析】（1）对 y再求导得 y，由 y的正负得凹凸性； （2）利用凹凸性的性质证明； （3）构造新函数 ( ) lnf x x x= ，确定凹凸性后，利用凹凸性证明． 【详解】（1） 1 sin y x = ，则 2 cos sin x y x  = − ， 3 2 2 2 2 4 3 3 sin 2sin cos sin 2cos 1 cos sin sin sin x x x x x x y x x x − − + +  = − = = ， 当 π (0, ) 2 x 时， 0y  ， 所以 1 sin y x = 是凹函数； （2）由（1）知 1 1 1 3 6 sin sin sin 2 2 2 2 2 2sin 3 A B C A B C + +  = + + ，当且仅当 π 3 A B C= = = 时 等号成立； （3）设 ( ) lnf x x x= ，则 ( ) ln 1f x x = + ， 1 ( ) 0f x x  =  在 (0, )+ 上恒成立，所以 ( ) lnf x x x= 在 (0, )+ 上是凹函数， n 个正实数 ( )1 2 ,ix i n= ，， 满足 1 1 n n i x = = ，则 1 2, , , (0,1)nx x x  ， 所以 1 1 2 2 1 2 1 2 ln ln ln 1 1 ln lnn n n n x x x x x x x x x x x x n n n n n + + + + + + + + +   = ， 即 1 1 2 2 1 2 1 2 ln ln ln 1 1 ln lnn n n n x x x x x x x x x x x x n n n n n + + + + + + + + +   = 1 1 2 2 1 ln ln ln lnn nx x x x x x n + + +  ， 所以 1 21 2 1 nxx x nx x x n  ． 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新应用能力，由题意考察函数的凹凸性，只要 对函数的导函数再一次求导，然后判断这个导数的正负，得了结论.第（3）小题我们 必须从要证明的不等式出发取对数后，引入新函数 ( ) lnf x x x= ，然后利用它们凹凸性 证明不等式成立．