第16章 整式的乘法 素养检测卷-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

第十六章 整式的乘法 第十六章 整式的乘法 素养检测卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.计算(1 − 3)0 的结果是( ) A.−2 B.0 C.1 D.4 2.若(8 × 106) × (5 × 102) × (2 × 10) = 𝑀 × 10𝑎，则𝑀，𝑎 的值为( ) A.𝑀 = 8，𝑎 = 8 B.𝑀 = 2，𝑎 = 9 C.𝑀 = 8，𝑎 = 10 D.𝑀 = 5，𝑎 = 10 3.计算𝑥3𝑦 ⋅ (𝑥 − 2𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑦3) 所得结果的次数是( ) A.8 B.9 C.14 D.24 4.幂的乘方运算法则推导过程如下： (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚 ⋅ 𝑎𝑚 ⋅ ⋯ ⋅ 𝑎𝑚⏟ (𝑛↑) （第一步） = 𝑎𝑚+𝑚+⋯+𝑚⏞ (𝑛个) （第二步） = 𝑎𝑚𝑛 .（第三步） 甲：第一步的依据是乘方的意义； 乙：第二步的依据是同底数幂的乘法法则； 丙：第三步的依据是乘法的意义. 下列判断正确的是( ) A.甲、乙、丙都对 B.甲、乙、丙都错 C.只有丙错 D.只有乙错 5.一种长方体零件的体积为12𝑎3𝑏3，底面积为4𝑎2𝑏2 ，则零件的高为( ) A.4𝑎2𝑏2 B.4𝑎𝑏 C.3𝑎2𝑏2 D.3𝑎𝑏 62/89 第十六章 整式的乘法 6.若(𝑥 + 𝑦 + 1)(𝑥 + 𝑦 − 1) = 8，则𝑥 + 𝑦 的值为( ) A.3 B.±3 C.−3 D.±5 7.已知𝑃 = 2𝑚 + 1，𝑄 = 𝑚2 + 2，其中𝑚 为正整数，下列两位同学的说法中正确的是( ) 嘉嘉：由已知条件可知𝑃 < 𝑄 . 淇淇：由已知条件可知0 < 𝑃 𝑄 ≤ 1 . A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 8.小李同学制作了如图所示的卡片 A 类、B 类、C 类各 10 张，其中 A、B 两类卡片都是正方 形，C 类卡片是长方形.现要拼一个两边长分别是2𝑎 + 3𝑏和3𝑎 + 2𝑏 的大长方形，那么下列关 于他所准备的 C 类卡片的张数的说法中，正确的是( ) A.够用，剩余 5 张 B.够用，剩余 1 张 C.不够用，缺 2 张 D.不够用，缺 3 张 9.如图（1），有两个正方形 A，B，先将 B 放在 A 的内部，如图（2），再将 A，B 并排放置后 构造新的正方形，如图（3）.若图（2）和图（3）中阴影部分的面积分别为 3 10 和 21 5 ，则正方形 A，B 的面积之和为( ) 图（1） 图（2） 图（3） A.4.5 B.5.5 C.4 D.5 63/89 第十六章 整式的乘法 10.设2𝑎 = 3，2𝑏 = 6，2𝑐 = 12 .现给出实数𝑎,𝑏,𝑐三者之间的四个关系式：①𝑎+ 𝑐 = 2𝑏；②𝑎 + 𝑏 = 2𝑐 − 3 ；③𝑏 + 𝑐 = 2𝑎 + 1；④𝑏2 − 𝑎𝑐 = 1 .其中，正确的关系式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.如果(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞，那么𝑝 =___，𝑞 = ____. 12.计算：(− 1 3 )2 024 × (−3)2 025 = ____. 13.若𝑎，𝑘为整数，且不论𝑥取何值，关于𝑥 的整式(𝑥 + 𝑎)2和𝑥2 + (𝑘 + 2)𝑥 + 9的值都相等， 则𝑘 的值为_______. 14.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折 起，制成一个高为𝑎 的长方体形状的无盖纸盒.若纸盒的容积为4𝑎2𝑏，底面长方形的一边长为𝑏 (𝑏 < 4𝑎) ，则这个长方形纸板的面积是____________. 15.规定两数𝑎，𝑏 之间的一种运算，记作(𝑎, 𝑏)：如果𝑎𝑐 = 𝑏，那么(𝑎, 𝑏) = 𝑐.例如：因为23 = 8， 所以(2,8) = 3 .根据上述规定，若(2,10) = 𝑥，(2,5) = 𝑦，则2𝑥−𝑦 的值为___. 64/89 第十六章 整式的乘法 16.文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律： （1）(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 ； （2）(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3 ； （3）(𝑎 − 𝑏)(𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3) = 𝑎4 − 𝑏4 . 请你结合上述规律，通过计算判断以下结论： ①(𝑎 − 𝑏)(𝑎5 + 𝑎4𝑏 + 𝑎3𝑏2 + 𝑎2𝑏3 + 𝑎𝑏4 + 𝑏5) = 𝑎6 − 𝑏6 ； ②(𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 +⋯+ 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1) = 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛（其中𝑛 为正整数，且𝑛 ≥ 2 ）； ③211 + 210 + 29 + 28 + 27 +⋯+ 22 + 2 = 212 − 1 ； ④311 + 310 + 39 + 38 + 37 +⋯+ 32 + 3 + 1 = 312 − 1 . 其中正确的有______（填序号）. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）简便计算： （1）−19 7 9 × (−20 2 9 ) ； （2）39.92 . 65/89 第十六章 整式的乘法 18.（10 分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写一个代 数式，记为𝐴，𝐵，𝐶 ，然后在黑板上写一个等式：𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐶（𝑚，𝑛 为常数）. （1）求𝑚，𝑛 的值； （2）当𝑥为任意正整数时，𝐵2 − 2𝐶 的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组 有几个人（活动小组的人数大于 1）. 19.（10 分）对𝑎,𝑏定义一种新运算：𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏 . 如：(−𝑚) ∗ (−2) = (−𝑚)2 + (−𝑚) ⋅ (−2) − (−2) = 𝑚2 + 2𝑚 + 2 . （1）计算：(−3) ∗ (−1) = _________. （2）计算：(−2𝑥) ∗ (4 − 3𝑥) . （3）计算：(−𝑚𝑛) ∗ [𝑚𝑛 ∗ (−𝑛)] . 66/89 第十六章 整式的乘法 20.（12 分）在计算(2𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)时，甲错把𝑎看成了−𝑎 ，得到的结果是2𝑥2 − 10𝑥 + 12； 乙由于漏抄了第一个多项式中𝑥 的系数，得到的结果是𝑥2 + 𝑥 − 12 . （1）求出𝑎，𝑏 的值； （2）计算(2𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 的结果. 21.（12 分）某同学在计算3 × (4 + 1) × (42 + 1) 时，把 3 写成4 − 1后，发现可以连续运用平 方差公式计算： 3 × (4 + 1) × (42 + 1) = (4 − 1) × (4 + 1) × (42 + 1) = (42 − 1) × (42 + 1) = 162 − 1 ，他很 受启发.后来在求 (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) 时，联想到“凑成”平方差公式,即在乘积式 前面乘 1， 并且把 1 写成(2 − 1)得(2 − 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (22 − 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 − 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = ⋯ = (232 − 1)(232 + 1) = 264 − 1 . 解答问题： （1）计算：2 × (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) ； 67/89 第十六章 整式的乘法 （2）化简：(𝑚 + 𝑛)(𝑚2 + 𝑛2)(𝑚4 + 𝑛4)(𝑚8 + 𝑛8)(𝑚16 + 𝑛16) . 22.（14 分）【阅读材料】 若𝑥满足(9 − 𝑥)(𝑥 − 4) = 4，求(4 − 𝑥)2 + (𝑥 − 9)2 的值. 设9 − 𝑥 = 𝑎，𝑥 − 4 = 𝑏，则(9 − 𝑥)(𝑥 − 4) = 𝑎𝑏 = 4 ， 𝑎 + 𝑏 = (9 − 𝑥) + (𝑥 − 4) = 5， ∴ (4 − 𝑥)2 + (𝑥 − 9)2 = (9 − 𝑥)2 + (𝑥 − 4)2 = 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏 = 52 − 2 × 4 = 17 . 【解决问题】 （1）若𝑥满足(5 − 𝑥)(𝑥 − 2) = 2，求(5 − 𝑥)2 + (𝑥 − 2)2 的值. 68/89 第十六章 整式的乘法 （2）如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为𝑥，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐷，𝐷𝐶 上的点，且𝐴𝐸 = 1，𝐶𝐹 = 3， 长方形𝐸𝑀𝐹𝐷的面积是 48，分别以𝑀𝐹，𝐷𝐹 为边作正方形. ①𝑀𝐹 =______，𝐷𝐹 =______；（用含𝑥 的代数式表示） ②求阴影部分的面积. 69/89 第十六章 整式的乘法 第十六章 整式的乘法 素养检测卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1.计算(1 − 3)0 的结果是( ) A.−2 B.0 C.1 D.4 解析：原式= ( − 2)0 = 1 .故选 C. 2.若(8 × 106) × (5 × 102) × (2 × 10) = � × 10�，则�，� 的值为( ) A.� = 8，� = 8 B.� = 2，� = 9 C.� = 8，� = 10 D.� = 5，� = 10 解析：∵ (8 × 106) × (5 × 102) × (2 × 10) = (8 × 5 × 2) × (106 × 102 × 10) = 80 × 109 = 8 × 1010，∴ � = 8，� = 10 .故选 C. 3.计算�3� ⋅ (� − 2�2�3 + ��3) 所得结果的次数是( ) A.8 B.9 C.14 D.24 解析：�3� ⋅ (� − 2�2�3 + ��3) = �4� − 2�5�4 + �4�4，�4� 的次数是 5，−2�5�4的次数是 9，�4�4 的次数是 8,5 < 8 < 9，∴ 所得结果的次数是 9.故选 B. 4.幂的乘方运算法则推导过程如下： �� � = �� ⋅ �� ⋅ ⋯ ⋅ �� (�↑) （第一步） = ��+�+⋯+� (�个) （第二步） = ��� .（第三步） 甲：第一步的依据是乘方的意义； 乙：第二步的依据是同底数幂的乘法法则； 107/144 第十六章 整式的乘法 丙：第三步的依据是乘法的意义. 下列判断正确的是( ) A.甲、乙、丙都对 B.甲、乙、丙都错 C.只有丙错 D.只有乙错 解析：由推导过程可得第一步的依据是乘方的意义，第二步的依据是同底数幂的乘法法则，第 三步的依据是乘法的意义，故甲、乙、丙都对，故选 A. 5.一种长方体零件的体积为 12�3�3，底面积为 4�2�2 ，则零件的高为( ) A.4�2�2 B.4�� C.3�2�2 D.3�� 解析：由题意得 12�3�3 ÷ 4�2�2 = 3��，∴ 零件的高是 3�� ，故选 D. 6.若(� + � + 1)(� + � − 1) = 8，则� + � 的值为( ) A.3 B.±3 C.−3 D.±5 解析：令� + � = �. ∵ (� + � + 1)(� + � − 1) = 8，∴ (� + 1)(� − 1) = 8 ， ∴ �2 − 1 = 8，∴ � =± 3，∴ � + � =± 3 ，故选 B. 7.已知� = 2� + 1，� = �2 + 2，其中� 为正整数，下列两位同学的说法中正确的是( ) 嘉嘉：由已知条件可知� < � . 淇淇：由已知条件可知 0 < � � ≤ 1 . A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 解析：∵ � = 2� + 1，� = �2 + 2，� 为正整数， ∴ � − � = �2 + 2 − 2� − 1 = �2 − 2�+ 1 = (� − 1)2 ≥ 0，∴ � − � ≥ 0 ， ∴ � ≥ �，与� < �不相符，故嘉嘉说法错误.∵ � = 2� + 1，� = �2 + 2，� 为正整数，∴ � ≥ 3， � ≥ 3. ∵ � ≥ �，∴ 0 < � � ≤ 1 ，故淇淇说法正确.故选 B. 108/144 第十六章 整式的乘法 8.小李同学制作了如图所示的卡片 A 类、B 类、C 类各 10 张，其中 A、B 两类卡片都是正方 形，C 类卡片是长方形.现要拼一个两边长分别是 2� + 3�和 3� + 2� 的大长方形，那么下列关 于他所准备的 C 类卡片的张数的说法中，正确的是( ) A.够用，剩余 5 张 B.够用，剩余 1 张 C.不够用，缺 2 张 D.不够用，缺 3 张 解析：大长方形的面积为(2� + 3�)(3� + 2�) = 6�2 + 13�� + 6�2 ，C 类卡片的面积是��，∴ 需要 C 类卡片的张数是 13，∴ C 类卡片不够用，还缺 3 张，故选 D. 9.如图（1），有两个正方形 A，B，先将 B 放在 A 的内部，如图（2），再将 A，B 并排放置后 构造新的正方形，如图（3）.若图（2）和图（3）中阴影部分的面积分别为 3 10 和21 5 ，则正方形 A，B 的面积之和为( ) 图（1） 图（2） 图（3） A.4.5 B.5.5 C.4 D.5 解析： 109/144 第十六章 整式的乘法 10.设2� = 3，2� = 6，2� = 12 .现给出实数�,�,�三者之间的四个关系式：①�+ � = 2�；②�+ � = 2� − 3 ；③�+ � = 2� + 1；④�2 − �� = 1 .其中，正确的关系式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：∵ 2� = 3，2� = 6，2� = 12，∴ 2� × 22 = 3 × 4 = 12 ， 2� × 2 = 6 × 2 = 12，∴ � + 2 = � + 1 = �，即� = � + 1，� = � + 2 ， ∴ ①� + � = � + � + 2 = 2� + 2，2� = 2� + 2，∴ � + � = 2� ，正确，符合题意； ②�+ � = � + � + 1 = 2� + 1，2� − 3 = 2� + 4 − 3 = 2� + 1， ∴ � + � = 2� − 3 ，正确，符合题意； ③�+ � = � + 1 + � + 2 = 2� + 3 ，错误，不符合题意； ④�2 − �� = (� + 1)2 − �(� + 2) = �2 + 2� + 1 − �2 − 2� = 1 ，正确，符合题意. 综上所述，正确的关系式有①②④，共 3 个.故选 C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.如果(� − 2)(� + 3) = �2 + �� + �，那么� =___，� = ____. 解析： (� − 2)(� + 3) = �2 + 3� − 2� − 6 = �2 + � − 6. ∵ (� − 2)(� + 3) = �2 + �� + � ， ∴ � = 1，� =− 6，故答案为 1，−6 . 12.计算：( − 1 3 )2 024 × ( − 3)2 025 = ____. 解析：原式= ( − 1 3 )2 024 × ( − 3)2 024 × ( − 3) = [( − 1 3 ) × ( − 3)]2 024 × ( − 3) = 12 024 × ( − 3) = 1 × ( − 3) =− 3，故答案为−3 . 110/144 第十六章 整式的乘法 13.若�，�为整数，且不论�取何值，关于� 的整式(� + �)2和�2 + (� + 2)� + 9 的值都相等， 则� 的值为_______. 解析：∵ 不论�取何值，关于�的整式(� + �)2和�2 + (� + 2)� + 9 的值都相等， ∴ (� + �)2 = �2 + (� + 2)� + 9，∴ �2 + 2�� + �2 = �2 + (� + 2)� + 9 ， ∴ 2� = � + 2，�2 = 9，∴ � =± 3，� = 4 或−8.故答案为 4 或−8 . 14.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折 起，制成一个高为� 的长方体形状的无盖纸盒.若纸盒的容积为 4�2�，底面长方形的一边长为 �(� < 4�) ，则这个长方形纸板的面积是____________. 解析：设长方体底面的另一边长为�，则4�2� = ���，解得� = 4� ，所以长方形纸板的长为4� + � + � = 6� ，所以这个长方形纸板的面积是6� × (2� + �) = 12�2 + 6��，故答案为12�2 + 6�� . 15.规定两数�，� 之间的一种运算，记作(�, �)：如果�� = �，那么(�, �) = �.例如：因为23 = 8， 所以(2,8) = 3 .根据上述规定，若(2,10) = �，(2,5) = �，则2�−� 的值为___. 解析：∵ (2,10) = �，(2,5) = �，∴ 2� = 10，2� = 5，∴ 2�−� = 2 � 2� = 10 5 = 2 ，故答案为 2. 16.文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律： （1）(� − �)(� + �) = �2 − �2 ； （2）(� − �)(�2 + �� + �2) = �3 − �3 ； 111/144 第十六章 整式的乘法 （3）(� − �)(�3 + �2� + ��2 + �3) = �4 − �4 . 请你结合上述规律，通过计算判断以下结论： ①(� − �)(�5 + �4� + �3�2 + �2�3 + ��4 + �5) = �6 − �6 ； ②(� − �)(��−1 + ��−2� +⋯+ ���−2 + ��−1) = �� − ��（其中� 为正整数，且� ≥ 2 ）； ③211 + 210 + 29 + 28 + 27 +⋯+ 22 + 2 = 212 − 1 ； ④311 + 310 + 39 + 38 + 37 +⋯+ 32 + 3 + 1 = 312 − 1 . 其中正确的有______（填序号）. 解析：（1）(� − �)(� + �) = �2 − �2；（2）(� − �)(�2 + �� + �2) = �3 − �3 ； （3）(� − �)(�3 + �2� + ��2 + �3) = �4 − �4 ；（4） (� − �)(�4 + �3� + �2�2 + ��3 + �4) = �5 − �5 ；（5） (� − �)(�5 + �4� + �3�2 + �2�3 + ��4 + �5) = �6 − �6；…;第(� − 1) 个式子为 (� − �)(��−1 + ��−2� +⋯+ ���−2 + ��−1) = �� − �� ，故①②正确. (2 − 1) × (211 + 210 + 29 + 28 + 27 +⋯+ 22 + 2 + 1) − 1 = 212 − 1 − 1 = 212 − 2 ， 故③错误. 311 + 310 + 39 + 38 + 37 +⋯+ 32 + 3 + 1 = 1 2 (3 − 1)(311 + 310 + 39 + 38 + 37 +⋯+ 32 + 3 + 1) = 1 2 (312 − 1) = 3 12 2 − 1 2 ， 故④错误.故答案为①②. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）简便计算： （1）−19 7 9 × ( − 20 2 9 ) ； 解：原式= ( − 20 + 2 9 )( − 20 − 2 9 ) = （2 分） ( − 20)2 − ( 2 9 )2 = 400 − 4 81 = 399 77 81 .（4 分） 112/144 第十六章 整式的乘法 （2）39.92 . 解：原式= (40 − 0.1)2 = 402 − 2 × 40 × 0.1 + 0.12 （6 分） = 1 600 − 8 + 0.01 = 1 592.01 .（8 分） 18.（10 分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写一个代 数式，记为�，�，� ，然后在黑板上写一个等式：� ⋅ � = �（�，� 为常数）. （1）求�，� 的值； 解：由题意得� ⋅ � = (� − 1)(2� + �) = 2�2 + (� − 2)� − � .（3 分） ∵ � ⋅ � = �，∴ 2�2 + (� − 2)� − � = 2�2 + � + �，∴ � − 2 = 1,− � = �, 解得 � = 3, � =− 3. （5 分） （2）当�为任意正整数时，�2 − 2� 的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组 有几个人（活动小组的人数大于 1）. 解：由（1）得 � = 3,� =− 3, ∴ � = 2� + 3，� = 2� 2 + � − 3 ， ∴ �2 − 2� = (2� + 3)2 − 2(2�2 + � − 3) = 10� + 15 = 5(2� + 3) .（8 分） ∵ 当�为任意正整数时，�2 − 2�的结果都能被这个活动小组的人数整除， ∴ 这个活动小组有 5 个人.（10 分） 19.（10 分）对�,�定义一种新运算：� ∗ � = �2 + �� − � . 如：( − �) ∗ ( − 2) = ( − �)2 + ( −�) ⋅ ( − 2) − ( − 2) = �2 + 2�+ 2 . （1）计算：( − 3) ∗ ( − 1) = _________. 113/144 第十六章 整式的乘法 解：∵ � ∗ � = �2 + �� − �，∴ ( − 3) ∗ ( − 1) = ( − 3)2 + ( − 3) × ( − 1) − ( − 1) = 9 + 3 + 1 = 13，故答案为 13. （3 分） （2）计算：( − 2�) ∗ (4 − 3�) . 解：( − 2�) ∗ (4 − 3�) = ( − 2�)2 + ( − 2�)(4 − 3�) − (4 − 3�) = 4�2 − 8� + 6�2 − 4+ 3� = 10�2 − 5� − 4 .（6 分） （3）计算：( − ��) ∗ [�� ∗ ( − �)] . 解：( − ��) ∗ [�� ∗ ( − �)] = ( − ��) ∗ [(��)2 + (��)( − �) − ( − �)] = −�� ∗ �2�2 −��2 + � = ( −��)2 + ( − ��)(�2�2 −��2 + �) − (�2�2 −��2 + �) = �2�2 −�3�3 +�2�3 −��2 −�2�2 +��2 − � = �2�2 −�2�2 −�3�3 +�2�3 + ��2 −��2 − � =−�3�3 +�2�3 − � .（10 分） 20.（12 分）在计算(2� + �)(� + �)时，甲错把�看成了−� ，得到的结果是 2�2 − 10� + 12； 乙由于漏抄了第一个多项式中� 的系数，得到的结果是�2 + � − 12 . （1）求出�，� 的值； 解：根据题意，得(2� − �)(� + �) = 2�2 + (2� − �)� − �� = 2�2 − 10� + 12 ， (� + �)(� + �) = �2 + (� + �)� + �� = �2 + � − 12 ，（4 分） ∴ 2� − � =− 10,� + � = 1, （6 分） 解得 � = 4,� =− 3, ∴ �，�的值分别为 4，−3 .（8 分） 114/144 第十六章 整式的乘法 （2）计算(2� + �)(� + �) 的结果. 解：当� = 4，� =− 3 时，原式= (2� + 4)(� − 3) = 2�2 − 2� − 12 .（12 分） 21.（12 分）某同学在计算 3 × (4 + 1) × (42 + 1) 时，把 3 写成 4 − 1 后，发现可以连续运用 平方差公式计算： 3 × (4 + 1) × (42 + 1) = (4 − 1) × (4 + 1) × (42 + 1) = (42 − 1) × (42 + 1) = 162 − 1 ，他很 受启发.后来在求 (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) 时，联想到“凑成”平方差公式,即在乘积式 前面乘 1， 并且把 1 写成 2 − 1 得 2 − 1 2 + 1 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 = 22 − 1 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 = 24 − 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 = ⋯ = 232 − 1 232 + 1 = 264 − 1 . 解答问题： （1）计算：2 × (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) ； 解：2 × (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) = (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) = (32 − 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) = (34 − 1)(34 + 1)(38 + 1) = (38 − 1)(38 + 1) = 316 − 1 .（5 分） 115/144 第十六章 整式的乘法 （2）化简：(� + �)(�2 + �2)(�4 + �4)(�8 + �8)(�16 + �16) . 解：当� = � 时，(� + �)(�2 + �2)(�4 + �4)(�8 + �8)(�16 + �16) = 2� × 2�2 × 2�4 × 2�8 × 2�16 = 32�31 .（8 分） 当� ≠ � 时， 原式= 1 �−� × � − � �+ � �2 + �2 �4 + �4 �8 + �8 �16 + �16 = 1 �− � �2 − �2 �2 + �2 �4 + �4 �8 + �8 �16 + �16 = 1 �−� (�4 − �4)(�4 + �4) ⋅ �8 + �8 �16 + �16 = 1 �− � �8 − �8 �8 + �8 �16 + �16 = 1 �− � �16 − �16 �16 + �16 = � 32−�32 �−� . 综上所述，当� = �时，原式= 32�31；当� ≠ �时，原式= � 32−�32 �−� .（12 分） 22.（14 分）【阅读材料】若�满足(9 − �)(� − 4) = 4，求(4 − �)2 + (� − 9)2 的值. 设 9 − � = �，� − 4 = �，则(9 − �)(� − 4) = �� = 4 ， � + � = (9 − �) + (� − 4) = 5，∴ (4 − �)2 + (� − 9)2 = (9 − �)2 + (� − 4)2 = �2 + �2 = (� + �)2 − 2�� = 52 − 2 × 4 = 17 . 【解决问题】（1）若�满足(5 − �)(� − 2) = 2，求(5 − �)2 + (� − 2)2 的值. 解：设 5 − � = �，� − 2 = �，则(5 − �)(� − 2) = �� = 2 ， �+ � = (5 − �) + (� − 2) = 3 ，（2 分） ∴ (5 − �)2 + (� − 2)2 = �2 + �2 = (� + �)2 − 2�� = 32 − 2 × 2 = 5 .（4 分） 116/144 第十六章 整式的乘法 （2）如图，已知正方形����的边长为�，�，�分别是��，�� 上的点，且�� = 1，�� = 3， 长方形����的面积是 48，分别以��，�� 为边作正方形. ①�� =______，�� =______；（用含� 的代数式表示） 解析：�� = �� = � − 1，�� = � − 3，故答案为� − 1，� − 3 .（6 分） ②求阴影部分的面积. 解：由题意得(� − 1)(� − 3) = 48 ，（7 分） 阴影部分的面积为��2 − ��2 = (� − 1)2 − (� − 3)2 .（8 分） 设� − 1 = �，� − 3 = �，则(� − 1)(� − 3) = �� = 48 ， � − � = (� − 1) − (� − 3) = 2 ，（10 分） ∴ (� + �)2 = (� − �)2 + 4�� = 22 + 4 × 48 = 196，∴ � + � =± 14 . 又∵ � + � > 0，∴ � + � = 14 ，（12 分） ∴ (� − 1)2 − (� − 3)2 = �2 − �2 = (� + �)(� − �) = 14 × 2 = 28 ， 即阴影部分的面积是 28.（14 分） 117/144