第16章 整式的乘法 基础诊断卷-2025-2026学年新教材八年级数学上册单元大小卷（人教版2024）

第十六章 整式的乘法 第十六章 整式的乘法 基础诊断卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1. 计算�12 ÷ �4 的结果是( ) A.�3 B.3� C.�8 D.8 解析：�12 ÷ �4 = �12−4 = �8 .故选 C. 2. 下列各图中，能直观解释“(3�)2 = 9�2 ”的是( ) A. B. C. D. 解析：A 选项表示的面积是(3�)� = 3�2；B 选项表示的面积是 3(3�) = 9� ；C 选项表示的面 积是(3 × 3) ⋅ (3�) = 27�；D 选项表示的面积是(3�)2 = 9�2 .故选 D. 3.根据下列运算结果，实数�，�，�，� 中最大的是( ) A.�4 + �4 = 2�� B.�2 ⋅ �3 = �� C.�10 ÷ �2 = �� D.(�2)3 = �� 解析：∵ �4 + �4 = 2�4，∴ � = 4. ∵ �2 ⋅ �3 = �5，∴ � = 5. ∵ �10 ÷ �2 = �8 ， ∴ � = 8. ∵ (�2)3 = �6，∴ � = 6. ∵ 8 > 6 > 5 > 4，∴ � 最大.故选 C. 4.已知 4�2 + ��� + 9�2可以化成完全平方式，则� 的值是( ) A.6 B.±6 C.12 D.±12 解析：∵ 4�2 + ��� + 9�2 可以化成完全平方式的形式， ∴ 4�2 + ��� + 9�2 = (2� ± 3�)2 = 4�2 ± 12�� + 9�2，∴ � =± 12 .故选 D. 96/144 第十六章 整式的乘法 5.调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推 测出被除式为( ) A.�2 + 3� − 6 B.�3 + 3�2 − 6 C.� + 3 − � 6 D.�3 + 3�2 − 6� 解析：被除式为(�2 + 3� − 6)� = �3 + 3�2 − 6� ，故选 D. 6.计算(4 × 106) × (5 × 103) 的结果是( ) A.2 × 109 B.9 × 109 C.2 × 1010 D.9 × 1010 解析：原式= (4 × 5) × (106 × 103) = 20 × 109 = 2 × 1010 ，故选 C. 7.若� =− 1 5 ，则代数式 5� − 4 6� − 7 − 3� − 2 (10� − 8) 的值为( ) A.15 B.22 C.−15 D.9 解析：(5� − 4)(6� − 7) − (3� − 2)(10� − 8) = 30�2 − 35� − 24� + 28 − (30�2 − 24� − 20� + 16) = 30�2 − 35� − 24� + 28 − 30�2 + 24� + 20� − 16 =− 15� + 12.将� =− 1 5 代入， 得原式=− 15 × ( − 1 5 ) + 12 = 15 ，故选 A. 8.比较344，433，522 的大小结果是( ) A.344 > 433 > 522 B.344 > 522 > 433 C.433 > 344 > 522 D.433 > 522 > 344 解析：∵ 344 = (34)11 = 8111，433 = (43)11 = 6411，522 = (52)11 = 2511 ，且 81 > 64 > 25， ∴ 344 > 433 > 522 .故选 A. 97/144 第十六章 整式的乘法 9.如图，在长方形���� 中正好放置两个正方形����和����，若正方形���� 的面积等于 1 0，图中阴影部分的面积为 4，则正方形���� 的面积等于( ) A.3 B.2 C.4 D.5 解析：设正方形����和正方形����的边长分别为�，�，则有�2 = 10 ，阴影部分面积为1 2 × (� + �)(� − �) = 4，即�2 − �2 = 8，∴ �2 = 2，∴ 正方形���� 的面积为�2 = 2 .故选 B. 10.18 世纪欧拉首先使用了求和符号“ ∑ � �=� � ”（其中� ≤ �，且�和�表示正整数），对这个符号我 们进行如下定义：∑ � �=� �表示� 从�开始取数一直取到� ，全部加起来，即 ∑ � �=� � = � + (� + 1) + (� + 2) + (� + 3) + ⋯ + �.例如：当� = 1 时， ∑ � �=1 � = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ �.若 ∑ � �=2 (� − �)(� − � + 1) = 3�2 + �� +�，则�和� 所表示的数分别为( ) A.−6 和 9 B.−15 和 20 C.30 和−81 D.27 和−243 解析：∵ ∑ � �=2 (� − �)(� − � + 1) = 3�2 + �� + �，且 3�2 + �� + � 中二次项系数为 3， ∴ � = 4 ， ∴ ∑ 4 �=2 (� − �)(� − � + 1) = (� − 2)(� − 1) + (� − 3)(� − 2) + (� − 4)(� − 3) = �2 − 3� + 2 + �2 − 5� + 6 + �2 − 7� + 12 = 3�2 − 15� + 20 ， ∴ 3�2 − 15� + 20 = 3�2 + �� +�，∴ � =− 15，� = 20 ，故选 B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.如果(� − 8)0 有意义，写出任意一个符合题意的� 的值：_________________. 98/144 第十六章 整式的乘法 解析：根据零指数幂的定义可知，当� − 8 ≠ 0，即� ≠ 8 时，(� − 8)0 有意义，故答案为 9（答 案不唯一）. 12.已知 2� + � − 2 = 0，则32� × 3� = ___. 解析：∵ 2� + � − 2 = 0，∴ 2� + � = 2，∴ 32� × 3� = 32�+� = 32 = 9 ，故答案为 9. 13.请在横线上填写合适的代数式：(�3)8 =_____​ 6 . 解析：(�3)8 = �24 = (�4)6.故答案为(�4) . 14.若(�2 +�� − 8)(�2 − 3� + �)的展开式中不含�2和�3 项，则� 的值为____. 解析：原式= �4 − 3�3 + ��2 +��3 − 3��2 +��� − 8�2 + 24� − 8� = �4 + (� − 3)�3 + (� − 3� − 8)�2 + (�� + 24)� − 8�. ∵ 展开式中不含�2和�3 项， ∴ � − 3 = 0,� − 3� − 8 = 0, ∴ � = 3, � = 17, 故答案为 17. “不含”的含义 乘积中不含某一项的意思是这一项的系数为 0. 15.某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边� 人的方队一边增加 2 人，另一边减少 2 人，实际参加比赛的人比原来_____人. 解析：根据题意得�2 − (� + 2)(� − 2) = �2 − (�2 − 4) = �2 − �2 + 4 = 4 ，则实际参加比赛的 人比原来少 4 人.故答案为少 4. 16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给 出了(� + �)�(� = 1,2,3,4,⋯) 的展开式的系数规律（按� 的次数由大到小的顺序）.请根据规 律，写出(� + 1)2 025的展开式中含�2 024 项的系数是_______. 99/144 第十六章 整式的乘法 解析：由题意易知含�2 024的项是(� + 1)2 025的展开式中的第二项.∵ (� + �)1 展开式中的第二 项系数为1，(� + �)2展开式中的第二项系数为 2，(� + �)3 展开式中的第二项系数为 3，(� + �)4 展开式中的第二项系数为 4，⋯ ，∴ (� + �)� 展开式中的第二项系数为�，∴ (� + 1)2 025的展 开式中的第二项系数为 2 025 ，故答案为 2 025. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）计算： （1）( − 2�3)2 + ( − �2)3 − � ⋅ �2 ⋅ �3 . 解：原式= 4�6 + ( − �6) − �6 （1 分） = 4�6 − �6 − �6 = 2�6 .（2 分） （2）(12�4 − 6�3) ÷ 3�2 . 解：原式= 4�2 − 2� .（4 分） （3）(5� + 2�)(3� − 2�) . 解：原式= 15�2 − 10�� + 6�� − 4�2 （5 分） = 15�2 − 4�� − 4�2 .（6 分） （4）(2� + 1)(2� − 1) − (� − 1)2 − (2�)3 ÷ 8� . 解：原式= 4�2 − 1 − (�2 − 2� + 1) − 8�3 ÷ 8� （7 分） = 4�2 − 1 −�2 + 2�− 1 −�2 100/144 第十六章 整式的乘法 = 2�2 + 2�− 2 .（8 分） 18.（10 分）如图所示是人民公园的一块长为(2� + �)米，宽为(� + 2�) 米的空地，预计在空 地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）. （1）请用含�，� 的代数式表示观景台的面积；（结果化为最简） 解：阴影部分的面积为(2� + �)(� + 2�) − �� − (� − �)2 − (2� + �)(� − �) = 2�2 + 4�� +�� + 2�2 −�� − �2 − 2�� + �2 − 2�2 − 2�� + �� − �2 = 2�2 + 4�� +�� + 2�2 −�� −�2 + 2�� − �2 − 2�2 + 2�� −�� + �2 = ( −�2 + 7�� + 2�2) 平方米.（5 分） 答：观景台的面积为( − �2 + 7�� + 2�2) 平方米.（6 分） （2）如果修建观景台的费用为 200 元/平方米，且已知� = 5，� = 3 ，那么修建观景台需要 费用多少元？ 解：当� = 5，� = 3 时，原式=− 25 + 7 × 5 × 3 + 2 × 9 = 98 ，（8 分） 200 × 98 = 19 600 （元）. 答：修建观景台需要费用 19 600 元.（10 分） 101/144 第十六章 整式的乘法 19.（10 分）已知5� = 4，5� = 6，25� = 9 . （1）求5�+� 的值； 解：∵ 5� = 4，5� = 6，∴ 5�+� = 5� ⋅ 5� = 4 × 6 = 24 .（3 分） （2）求5�−2� 的值； 解：∵ 25� = 9，∴ (52)� = 9 ，∴ 52� = 9 .（4 分） 又∵ 5� = 4，∴ 5�−2� = 5� ÷ 52� = 4 9 .（6 分） （3）写出�，�，� 之间的数量关系. 解：∵ 4 × 9 = 62，∴ 5� × 52� = (5�)2，即5�+2� = 52� ，（8 分） ∴ � + 2� = 2� .（10 分） 20.（12 分）不同的计算方法背后蕴含的思维逻辑也不相同.小安发现有些问题可以用几何图形 来辅助计算.小安要计算 24 × 16 ，图（1）是他辅助计算时画的几何图形，图（2）方框中是 小安的计算过程. 图（1） 图（2） 102/144 第十六章 整式的乘法 图（3） 图（4） （1）请你模仿小安的方法计算 37 × 28 .在辅助计算的图（3）的括号内标注对应的数据，并 写出区域⑧表示的算式：____，然后写出 37 × 28 的计算过程. 解：标注数据如图 所示： （2分）; 区域⑧表示的算式为 7 × 8，故答案为 7 × 8.（6分）; 37 × 28 = (30 + 7) × (20 + 8) = 30 × 20 + 7 × 20 + 30 × 8 + 7 × 8 = 600 + 140 + 240 + 56 = 1036 .（8 分） （2）请你根据小安解决问题的方法，计算(� + �)(� + �) .先在图（4）中画出辅助计算的几 何图形，然后写出计算过程. 解：辅助计算的几何图形如图（2）所示： （10 分） (� + �)(� + �) = �� + ��+ �� + �� .（12 分） 21.（12 分）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式�2 + 2� − 3 的最小值. �2 + 2� − 3 = �2 + 2� + 12 − 12 − 3 = (� + 1)2 − 4 . 103/144 第十六章 整式的乘法 ∵ (� + 1)2 ≥ 0，∴ 当� =− 1 时，�2 + 2� − 3 有最小值−4 . 请根据上述方法，解答下列问题： （1）�2 + 6� + 10 = �2 + 2 × 3� + 32 − 32 + 10 = (� + �)2 + �，则� =___，� = ___； 解：�2 + 6� + 10 = �2 + 2 × 3� + 32 − 32 + 10 = (� + 3)2 + 1， ∴ � = 3,� = 1 ，故答案为 3，1.（4 分） （2）求证：无论�取何值，代数式− �2 + 2� − 5 的值都是负数； 【证明】− �2 + 2� − 5 =− �2 − 2� − 5 =− �2 − 2� + 12 − 12 − 5 =−［ � − 1)2 − 1 − 5 =− (� − 1)2 + 1 − 5 =− (� − 1)2 − 4.（7 分） ∵ (� − 1)2 ≥ 0，∴− (� − 1)2 ≤ 0，∴− (� − 1)2 − 4 ≤− 4 < 0， 即无论� 取何值，代数式− �2 + 2� − 5 的值都是负数.（8 分） （3）若代数式�2 − 2�� + 7 的最小值为 3，求� 的值. 解：�2 − 2�� + 7 = �2 − 2�� + �2 + 7 − �2 = (� − �)2 + 7 − �2 .（10 分） ∵ (� − �)2 ≥ 0，∴ (� − �)2 + 7 − �2 ≥ 7 − �2，∴ 代数式�2 − 2�� + 7 的最小值为 7 − �2. 又∵ 代数式�2 − 2�� + 7 的最小值为 3，∴ 7 − �2 = 3，∴ � = 2 或� =− 2 .（12 分） 22.（14 分）我们把形如���� + ��−1��−1 +⋯+ �1� + �0(�� ≠ 0 且� ≠ 0)的整式称为关于�的 一元� 次多项式，记作�(�)或�(�)或……将整数的带余除法类比到一元� 次多项式，我们可类 似地得到带余式的整式除法，其关系式为�(�) = �(�) ⋅ �(�) + �(�)，其中�(�) 表示被除式， �(�)表示除式，�(�)表示商式，�(�)表示余式，且�(�) 的次数小于�(�) 的次数.我们来举个例 子对比整数除法和多项式除法，如下左式中，13 579 除以 112，商为 121，余数为 27；而如 下右式中，多项式�4 + 3�3 + 5�2 + 7� + 9 除以�2 + � + 2 ，商式为�2 + 2� + 1，余式为 2� + 7 . 104/144 第十六章 整式的乘法 请根据以上材料，解决下面的问题： （1）多项式 2�4 + 3�2 − � + 2 除以�2 − 2� + 3 ，请补全下面的计算式： 故 2�4 + 3�2 − � + 2 除以�2 − 2� + 3 所得的商式为_____________，余式为_______________. 解：补全计算式如下：（4 分） 105/144 第十六章 整式的乘法 ∴ 2�4 + 3�2 − � + 2 除以�2 − 2� + 3 所得的商式为 2�2 + 4� + 5，余式为−3� − 13 ， 故答案为 2�2 + 4� + 5，−3� − 13 .（6 分） （2）若多项式�4 + ��2 + � + �除以�2 + 3� + 4 所得的余式为� − 1 ，求�2 + �2 的值. 解：由题意设商式为�2 +�� + � .（7 分） 则有(�2 + 3� + 4)(�2 +�� + �) + � − 1 = �4 + ��2 + � + � ， 整理得�4 + (� + 3)�3 + (3� + � + 4)�2 + (4� + 3� + 1)� + 4� − 1 = �4 + ��2 + � + � ，（10 分） ∴ � + 3 = 0,4� + 3� + 1 = 1, 解得 � =− 3, � = 4. （12 分） ∴ � = 3� + � + 4 =− 1，� = 4� − 1 = 15， ∴ �2 + �2 = ( − 1)2 + 152 = 226 . （14 分） 106/144 第十六章 整式的乘法 第十六章 整式的乘法 基础诊断卷 时间：90 min 满分：120 分 一、选择题（每小题 3 分） 1. 计算𝑥12 ÷ 𝑥4 的结果是( ) A.𝑥3 B.3𝑥 C.𝑥8 D.8 2. 下列各图中，能直观解释“(3𝑎)2 = 9𝑎2 ”的是( ) A. B. C. D. 3.根据下列运算结果，实数𝑚，𝑛，𝑝，𝑞 中最大的是( ) A.𝑎4 + 𝑎4 = 2𝑎𝑚 B.𝑎2 ⋅ 𝑎3 = 𝑎𝑛 C.𝑎10 ÷ 𝑎2 = 𝑎𝑝 D.(𝑎2)3 = 𝑎𝑞 4.已知4𝑥2 + 𝑘𝑥𝑦 + 9𝑦2可以化成完全平方式，则𝑘 的值是( ) A.6 B.±6 C.12 D.±12 5.调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推 测出被除式为( ) A.𝑥2 + 3𝑥 − 6 B.𝑥3 + 3𝑥2 − 6 C.𝑥 + 3 − 𝑥 6 D.𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 6.计算(4 × 106) × (5 × 103) 的结果是( ) A.2 × 109 B.9 × 109 C.2 × 1010 D.9 × 1010 7.若𝑎 = − 1 5 ，则代数式(5𝑎 − 4)(6𝑎 − 7) − (3𝑎 − 2)(10𝑎 − 8) 的值为( ) A.15 B.22 C.−15 D.9 8.比较344，433，522 的大小结果是( ) A.344 > 433 > 522 B.344 > 522 > 433 C.433 > 344 > 522 D.433 > 522 > 344 55/89 第十六章 整式的乘法 9.如图，在长方形𝐴𝐵𝐻𝐺 中正好放置两个正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和𝐷𝐸𝐹𝐺，若正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积等于 1 0，图中阴影部分的面积为 4，则正方形𝐷𝐸𝐹𝐺 的面积等于( ) A.3 B.2 C.4 D.5 10.18 世纪欧拉首先使用了求和符号“ ∑ 𝑛 𝑘=𝑖 𝑘 ”（其中𝑖 ≤ 𝑛，且𝑖和𝑛表示正整数），对这个符号我们 进行如下定义： ∑ 𝑛 𝑘=𝑖 𝑘表示𝑘 从𝑖开始取数一直取到𝑛 ，全部加起来， 即 ∑ 𝑛 𝑘=𝑖 𝑘 = 𝑖 + (𝑖 + 1) + (𝑖 + 2) + (𝑖 + 3) + ⋯+ 𝑛. 例如：当𝑖 = 1 时， ∑ 𝑛 𝑘=1 𝑘 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛. 若 ∑ 𝑛 𝑘=2 (𝑥 − 𝑘)(𝑥 − 𝑘 + 1) = 3𝑥2 + 𝑝𝑥 +𝑚，则𝑝和𝑚 所表示的数分别为( ) A.−6和 9 B.−15和 20 C.30 和−81 D.27 和−243 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.如果(𝑥 − 8)0 有意义，写出任意一个符合题意的𝑥 的值：_________________. 12.已知2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0，则32𝑥 × 3𝑦 = ___. 13.请在横线上填写合适的代数式：(𝑥3)8 =_____6 . 14.若(𝑥2 +𝑚𝑥 − 8)(𝑥2 − 3𝑥 + 𝑛)的展开式中不含𝑥2和𝑥3 项，则𝑛 的值为____. 15.某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边𝑥 人的方队一边增加 2 人，另一边减少 2 人，实际参加比赛的人比原来_____人. 56/89 第十六章 整式的乘法 16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出 了(𝑎 + 𝑏)𝑛(𝑛 = 1,2,3,4,⋯ ) 的展开式的系数规律（按𝑎 的次数由大到小的顺序）.请根据规律， 写出(𝑥 + 1)2 025的展开式中含𝑥2 024 项的系数是_______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 17.（8 分）计算： （1）(−2𝑎3)2 + (−𝑎2)3 − 𝑎 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑎3 . （2）(12𝑥4 − 6𝑥3) ÷ 3𝑥2 . （3）(5𝑚 + 2𝑛)(3𝑚 − 2𝑛) . （4）(2𝑚 + 1)(2𝑚 − 1) − (𝑚 − 1)2 − (2𝑚)3 ÷ 8𝑚 . 57/89 第十六章 整式的乘法 18.（10 分）如图所示是人民公园的一块长为(2𝑚 + 𝑛)米，宽为(𝑚 + 2𝑛) 米的空地，预计在空 地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）. （1）请用含𝑚，𝑛 的代数式表示观景台的面积；（结果化为最简） （2）如果修建观景台的费用为 200 元/平方米，且已知𝑚 = 5，𝑛 = 3 ，那么修建观景台需要 费用多少元？ 19.（10 分）已知5𝑚 = 4，5𝑛 = 6，25𝑝 = 9 . （1）求5𝑚+𝑛 的值； （2）求5𝑚−2𝑝 的值； （3）写出𝑚，𝑛，𝑝 之间的数量关系. 58/89 第十六章 整式的乘法 20.（12 分）不同的计算方法背后蕴含的思维逻辑也不相同.小安发现有些问题可以用几何图形 来辅助计算.小安要计算24 × 16 ，图（1）是他辅助计算时画的几何图形，图（2）方框中是 小安的计算过程. 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） （1）请你模仿小安的方法计算37 × 28 .在辅助计算的图（3）的括号内标注对应的数据，并 写出区域⑧表示的算式：____，然后写出37 × 28 的计算过程. （2）请你根据小安解决问题的方法，计算(𝑎 + 𝑏)(𝑚 + 𝑛) .先在图（4）中画出辅助计算的几 何图形，然后写出计算过程. 59/89 第十六章 整式的乘法 21.（12 分）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式𝑥2 + 2𝑥 − 3 的最小值. 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 𝑥2 + 2𝑥 + 12 − 12 − 3 = (𝑥 + 1)2 − 4 . ∵ (𝑥 + 1)2 ≥ 0，∴ 当𝑥 = −1时，𝑥2 + 2𝑥 − 3有最小值−4 . 请根据上述方法，解答下列问题： （1）𝑥2 + 6𝑥 + 10 = 𝑥2 + 2 × 3𝑥 + 32 − 32 + 10 = (𝑥 + 𝑎)2 + 𝑏，则𝑎 =___，𝑏 = ___； （2）求证：无论𝑥取何值，代数式−𝑥2 + 2𝑥 − 5 的值都是负数； （3）若代数式𝑥2 − 2𝑘𝑥 + 7的最小值为 3，求𝑘 的值. 22.（14 分）我们把形如𝑎𝑛𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0(𝑎𝑛 ≠ 0且𝑥 ≠ 0)的整式称为关于𝑥的 一元𝑛 次多项式，记作𝑓(𝑥)或𝑔(𝑥)或……将整数的带余除法类比到一元𝑛 次多项式，我们可 类似地得到带余式的整式除法，其关系式为𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)，其中𝑓(𝑥) 表示被除式， 𝑔(𝑥)表示除式，𝑞(𝑥)表示商式，𝑟(𝑥)表示余式，且𝑟(𝑥) 的次数小于𝑔(𝑥) 的次数.我们来举个例 子对比整数除法和多项式除法，如下左式中，13 579 除以 112，商为 121，余数为 27；而如 下右式中，多项式𝑥4 + 3𝑥3 + 5𝑥2 + 7𝑥 + 9除以𝑥2 + 𝑥 + 2 ，商式为𝑥2 + 2𝑥 + 1，余式为2𝑥 + 7 . 60/89 第十六章 整式的乘法 请根据以上材料，解决下面的问题： （1）多项式2𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2除以𝑥2 − 2𝑥 + 3 ，请补全下面的计算式： 故2𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥 + 2除以𝑥2 − 2𝑥 + 3 所得的商式为_____________，余式为_______________. （2）若多项式𝑥4 + 𝑝𝑥2 + 𝑥 + 𝑞除以𝑥2 + 3𝑥 + 4所得的余式为𝑥 − 1 ，求𝑝2 + 𝑞2 的值. 61/89