11.2 一元一次不等式（第4课时）教案 　　2024—2025学年人教版 数学七年级下册

11.2　一元一次不等式（第4课时） 教学目标 　　1．能从实际问题中抽象出数学问题，根据数量关系建立一元一次不等式模型进行求解，体会数学建模的思想． 　　2．能解决方案设计、阶梯收费问题，发展分析问题和解决问题的能力，体会分类讨论思想的重要作用． 教学重点 　　运用一元一次不等式解决实际问题中的方案型问题． 教学难点 　　从实际问题中抽象出不等式的数学模型，分类讨论进行求解． 教学过程 知识回顾 　　列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是什么？ 　　【师生活动】学生独立思考作答，教师强调：“审”这一步，在解决实际问题中发挥着“突破口”的作用，只要审清理明，多层次的复杂问题也能达到最终的解决目标． 　　【答案】（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的不等关系． 　　（2）设：设出适当的未知数． 　　（3）列：根据题中的不等关系列出不等式． 　　（4）解：解不等式． 　　（5）验：检验解（或解集）是否符合实际意义． 　　（6）答：写出答案． 　　【设计意图】复习列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤，巩固基础，为本节课学习“方案设计、阶梯收费问题”做准备． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】商店为了促销，将某种定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过5件的部分打八折．现有27元钱，最多可以购买该商品多少件呢？ 　　【师生活动】教师引导学生找出题目的关键信息，分析题意： 　　设购买商品x件． 购买数量/件 购物花费/元 x＜5 3x x＝5 15 x＞5 15＋3(x－5)×0.8 　　【思考】你能根据表格列出一元一次不等式，并完成解答吗？ 　　【师生活动】学生小组讨论，列出方程，完成作答． 　　【答案】解：设购买该商品x件． 　　由题意，得15＋3(x－5)×0.8≤27． 　　解得x≤10． 　　答：最多可以购买该商品10件． 　　【设计意图】通过简单的问题，引导学生进行分类讨论，为学习“列一元一次不等式解决方案设计问题”做铺垫． 　　【问题】甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超过50元的部分按九五折收费．顾客到哪家超市购物花费较少？ 　　【师生活动】教师提问：如何理解题意呢？ 　　学生先独立思考，理解题意，然后发表自己的观点． 　　教师追问：设累计购物花费x元，你能分别表示出在两家超市花费的钱数吗？ 　　学生独立思考、列式子，教师引导学生发现：由于优惠起点的不同，需要进行分类讨论，每种情况下有各自对应的式子． 　　【分析】在甲超市购物超过100元后享受优惠，在乙超市购物超过50元后享受优惠．因此，需要分三种情况讨论： 　　（1）累计购物不超过50元； 　　（2）累计购物超过50元而不超过100元； 　　（3）累计购物超过100元． 　　【师生活动】引导学生利用表格表示题目中的量，并请学生代表在黑板上绘制表格． 累计购物花费/元 到甲超市购物花费/元 到乙超市购物花费/元 x≤50 x x x＞50且x≤100 x 50＋0.95(x－50) x＞100 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 　　【设计意图】让学生能够主动思考问题，自己寻找方法，呈现出问题所表达的意思，培养学生的思维能力． 　　【思考】你能从表格中看出到哪家超市购物花费较少吗？ 　　【师生活动】学生小组讨论，师生共同分析，完成表格． 累计购物花费/元 到甲超市购物花费/元 到乙超市购物花费/元 比较 x≤50 x x 相同 x＞50且x≤100 x 50＋0.95(x－50) 乙少 x＞100 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) ？ 　　（1）若累计购物不超过50元，则到两超市购物花费相同； 　　（2）若累计购物超过50元而不超过100元，则到乙超市购物花费较少． 　　【思考】如果累计购物超过100元，到哪家超市购物花费较少呢？ 　　【师生活动】学生自由发言，在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出当累计购物超过100元时，需要分三种情况讨论： 　　（1）什么情况下，到甲超市购物花费较少？ 　　（2）什么情况下，到乙超市购物花费较少？ 　　（3）什么情况下，到两超市购物花费相同？ 　　学生分小组讨论、交流，得出答案： 　　若到甲超市购物花费较少，则100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)； 　　若到乙超市购物花费较少，则100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)； 　　若到两超市购物花费相同，则100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)． 　　教师追问：你能综合上面的分析完成解答，并给出一个合理化的消费方案吗？ 　　学生独立思考，完成作答，教师在黑板上完善表格． 累计购物花费/元 到甲超市购物花费/元 到乙超市购物花费/元 比较 x≤50 x x 相同 x＞50且x≤100 x 50＋0.95(x－50) 乙少 x＞100 x＞100且x＜150 100＋0.9(x－100) 50＋0.95(x－50) 乙少 x＝150 相同 x＞150 甲少 　　【答案】解：（1）当累计购物不超过50元，即x≤50时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费相同． 　　（2）当累计购物超过50元而不超过100元，即50＜x≤100时，在甲超市购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少． 　　（3）当累计购物超过100元，即x＞100时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠． 　　①若到甲超市购物花费较少，则 　　100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)． 　　解得x＞150． 　　即x＞150时，到甲超市购物花费较少． 　　②若到乙超市购物花费较少，则 　　100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)． 　　解得x＜150． 　　即100＜x＜150时，到乙超市购物花费较少． 　　③若到两超市购物花费相同，则 　　100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)． 　　解得x＝150． 　　即x＝150时，到甲、乙两超市购物花费相同． 　　答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少． 　　【归纳】不等式的方案设计问题包括两种：（1）确定方案的种数；（2）最优方案问题．解答此类问题时，注意分类讨论的标准，先分清情况，再作答． 　　【设计意图】帮助学生从实际问题中抽象出数学问题，找出问题中的不等关系，列出不等式，让学生体会建立不等式模型的过程．教师及时进行引导、归纳和总结，展现完整的解答过程，培养学生有条理地思考和表达的习惯，让学生体会分类讨论思想的重要作用． 二、典例分析 　　【例】自来水公司的收费标准如下，若每户每月用水不超过5 m3，则每立方米收费1.8元，若每户每月用水超过5 m3，则超出的部分每立方米收费2元，小明家每月的水费都不少于15元，则小明家每月的用水量至少是多少立方米？ 【师生活动】教师引导学生独立分析题意： 设小明家每月的用水量是x m3． 每月用水量/m3 每月水费/元 x＜5 1.8x x＝5 9 x＞5 9＋2(x－5) 　　学生根据分析独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：设小明家每月的用水量是x m3． 　　由题意，得9＋2(x－5)≥15． 　　解得x≥8． 　　答：小明家每月的用水量至少是8 m3． 【设计意图】借助例题，让学生学会列一元一次不等式解决阶梯收费问题． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第137页习题11.2第10题． 学科网（北京）股份有限公司 $$