11.1 不等式（第2课时）教案　2024—2025学年人教版数学七年级下册

11.1　不等式（第2课时） 教学目标 　　1．类比等式的性质，探索并理解不等式的性质，知道等式的性质与不等式的性质的区别． 　　2．在类比等式性质、观察具体数值、探索归纳不等式的性质的过程中，感受运算中的不变性、规律性，发展符号表达能力，体会类比思想． 教学重点 　　探索不等式的性质． 教学难点 　　不等式性质3的探索及理解． 教学过程 知识回顾 对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式x＋4＞10的解集是 x＞6，不等式2x＜6的解集是x＜3．但是对于比较复杂的不等式，例如，直接得出它的解集就比较困难，因此，还要讨论怎样解不等式.与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质． 　　等式有哪些基本性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 　　【师生活动】学生独立思考后回答，师生共同整理成表格． 项目 文字语言 符号语言 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a＝b，那么ac＝bc． 如果a＝b，c≠0，那么＝ 　　【设计意图】复习学过的等式的性质，巩固基础，建立新旧知识之间的联系，引出本节课学习的“不等式的性质”． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】类比等式的性质1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），大小关系会发生变化吗？ 　　用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗？ 　　（1）5＞3，5＋2_____3＋2，5＋0_____3＋0，5＋（－2）_____3＋（－2）； 　　（2）－1＜3，－1＋4_____3＋4，－1＋0_____3＋0，－1＋（－7）_____3＋（－7）． 　　【师生活动】学生完成填空，教师引导学生类比等式性质1，观察加减法运算中不等号的方向是否改变．学生小组讨论，叙述发现的规律，获得猜想1． 　　【答案】（1）＞　　＞　　＞　　（2）＜　　＜　　＜ 　　猜想1：当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号的方向不变． 　　【追问】你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？ 　　【师生活动】让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想1进行验证．教师从中选取典型例子进行展示，例如－4＞－6，－4＋3＞－6＋3，－4－4＞－6－4，－4＋(4＋1)＞－6＋(4＋1)． 　　师生共同讨论、确认猜想1的正确性，从而获得一般性的结论． 　　【新知】不等式的性质1： 　　不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 　　【设计意图】研究运算中的不变性，让学生通过比较具体数字加（或减）同一个数（或式子）之后的大小，观察不等号的变化，发现并归纳其中的规律，从而提出猜想1．通过举例验证，确认猜想1，从而获得不等式的性质1． 　　【思考】你能用符号语言表示不等式的性质1吗？ 　　【师生活动】学生自由发言，教师总结． 　　【新知】符号语言： 　　如果a＞b，那么a±c＞b±c； 　　如果a＜b，那么a±c＜b±c． 　　【设计意图】用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性，发展学生文字语言与符号语言相互转化的能力． 　　【练习】结合动图，巩固不等式的性质1． 　　【设计意图】加深学生对不等式的性质1的理解． 　　【问题】类比等式的性质2，不等式两边乘（或除以）同一个不为0的数，大小关系会发生变化吗？ 　　用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗? 　　（1）6＞2，6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)； 　　（2）－2＜3，－2×4____3×4，－2×(－0.5)____3×(－0.5)； 　　（3）12＞8，12÷2____8÷2，12÷(－4)____8÷(－4)； 　　（4）－6＜－4，－6÷2____－4÷2，－6÷(－2)____－4÷(－2)． 　　【师生活动】学生完成填空，教师引导学生类比等式性质2，观察乘除法运算中不等号的方向是否改变．学生小组讨论，叙述发现的规律，获得猜想2，3． 　　【答案】（1）＞　　＜　　（2）＜　　＞　　（3）＞　　＜　　（4）＜　　＞ 　　猜想2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 　　猜想3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 　　【追问】你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？ 　　【师生活动】让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想2，3进行验证．教师从中选取典型例子进行展示，例如3＞－9，3×3＞－9×3，3÷3＞－9÷3，3×(－3)＜－9×(－3)，3÷(－3)＜－9÷(－3)． 　　师生共同讨论、确认猜想2，3的正确性，从而获得一般性的结论． 　　【新知】不等式的性质2： 　　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 　　符号语言： 　　如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； 　　如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc． 　　【新知】不等式的性质3： 　　不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 　　符号语言： 　　如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc； 　　如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc． 　　【设计意图】让学生自主探索不等式的性质2，3，类比等式的性质2和不等式性质1的研究过程，经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的思考过程，提高分析问题、解决问题的能力，体会类比思想． 　　【练习】结合动图，巩固不等式的性质2． 　　【设计意图】加深学生对不等式的性质2的理解． 　　【思考】等式的性质与不等式的性质的主要区别是什么？ 　　【师生活动】学生自由发言，教师补充，归纳为表格的形式． 项目 等式的性质 不等式的性质 两边加（或减）同一个数（或式子） 相等关系不变 不等关系不变 两边乘（或除以）同一个正数 相等关系不变 不等关系不变 两边乘（或除以）同一个负数 相等关系不变 不等关系改变 　　【设计意图】引导学生再次将等式的性质与不等式的性质进行对比，帮助学生更好地掌握不等式的性质． 二、典例分析 　　【例1】填空： 　　（1）已知a＜b，则a－3_____b－3，依据：_______________； 　　（2）已知a＞b，则2a_____a＋b，依据：_______________． 　　【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表回答，教师讲评． 　　【答案】（1）＜　　不等式的性质1　　（2）＞　　不等式的性质1 　　【解析】（1）已知a＜b，根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，得到a－3＜b－3； 　　（2）已知a＞b，根据不等式的性质1，不等式两边加a，不等号的方向不变，得到2a＞a＋b． 　　【例2】用“＞”或“＜”填空： 　　（1）若x＞y，则2x_____2y； 　　（2）若－2a＞4，则a_____－2． 　　【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表回答，教师讲评． 　　【答案】（1）＞　　（2）＜ 　　【解析】（1）将不等式x＞y的两边乘2，根据不等式的性质2可知，不等号的方向不变； 　　（2）将不等式－2a＞4的两边除以－2，根据不等式的性质3可知，不等号的方向改变． 　　【归纳】不等式的两边乘（或除以）同一个不为0的数（或式子）时，先对这个数（或式子）的性质（正负性）进行判断，再运用不等式的性质2或性质3判断是否需要改变不等号的方向． 　　【例3】若x＞y，则下列式子不一定成立的是（　　）． 　　A．3－y＞3－x B．x－3＞y－3 　　C．(c－1)2x＞(c－1)2y D．－＜－ 　　【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表回答，教师讲评． 　　【答案】C 　　【解析】选项A：不等式x＞y的两边都乘－1，再都加3，不等号方向改变，故选项A正确； 　　选项B：不等式x＞y的两边都减3，不等号方向不改变，故选项B正确； 　　选项C：当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故选项C错误； 　　选项D：不等式x＞y的两边都除以－3，不等号方向改变，故选项D正确． 　　【归纳】不等式性质中的“陷阱”： 　　解答与不等式有关的问题时，应密切关注“0”是否存在，以防掉进“0”的陷阱．如本例C选项，不等式x＞y两边同乘的(c－1)2可能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0＝0． 　　【设计意图】借助例1、例2、例3，巩固学生对不等式的性质的理解． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第125页练习． 学科网（北京）股份有限公司 $$