2.4　有理数的乘方　 第1课时 有理数的乘方（5大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.4 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数的乘方 主要题型：有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算、有理数乘方的逆运算、乘法运算的符号规律、乘方的运用 【知识点1】【教材重现】有理数的乘方（教材P58） 1. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作，即。这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。a叫作底数，n叫作指数，an读作“a的n次方”（或“”） 【★易错点】（1）一个数或一个字母可以看作它本身的一次方，指数1通常省略不写 （2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写上指数，指数要写得小一些 【数学素养】的奇数次幂是它本身，而的偶数次幂是它的相反数，即 2. 乘方运算的结果及符号的规律 【数学素养】 若n是偶数，则有，即互为相反数的两个数，它们的偶次数幂相等； 若n为奇数，则有，即互为相反数的两个数，它们的奇数次幂仍互为相反数 【例1】有理数幂的概念理解 【典例】可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【变式1】化简＝（　　） A． B． C． D． 【变式2】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【例2】有理数的乘方运算 【典例】我们已知道：， 事实上：（为正整数）成立， 故有：当时，成立． 由以上结论填写下列代数式结果： (1)__________； (2)___________； (3)____． 【变式1】如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【变式2】我们已知道：， 事实上：（为正整数）成立， 故有：当时，成立． 由以上结论填写下列代数式结果： (1)__________； (2)___________； (3)____． 【变式3】小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． 【例3】有理数乘方的逆运算 【典例】已知，则x＝ ． 【变式1】如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【变式2】如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为个单位长度．若，回答下列问题． (1)填空：点在数轴上表示的数是________；点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒个单位的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． (3)若长方形以每秒个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为时，求长方形运动的时间． 【变式3】【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【例4】乘法运算的符号规律 【典例】仔细观察下列三组数： 第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…． 第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，… 第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，… （1）第一组的第6个数是 　 　； （2）第二组的第n个数是 　 　； （3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和． 【变式1】【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【变式2】先阅读下面的材料，然后解答问题． 在一条直线上有依次排列的n（）台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床时，很明显供应站P设在和之间的任何地方都行，距离之和等于到的距离．如果直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床处最合适，距离之和恰好为到的距离；如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方． (1)阅读递推：如果在直线上6台机床，供应站P应设在　　　　　　　　　　　　； 如果直线上有7台机床，供应站P应设在　　　　的地方． (2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？ (3)联系拓广：根据以上阅读材料，回答 当x取什么值时，代数式取到最小值，并求其最小值． 【变式3】观察下面三行数： 2，，8，，32，，……；① ，1，，4，，16，……；② ，9，，33，，129……；③ (1)请直接写出第①行数的第100项：________，第n项：________． (2)用式子表示第②行数的第2020项：________． (3)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 【例5】乘方的运用 【典例】观察下列各式： …… (1)根据上面各式的规律填空： ①________； ②（为正整数）=_____； (2)利用（1）中①的结论，求的值； (3)若，求的值． 【变式1】如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【变式2】《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【变式3】在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.4 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方（5大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数的乘方 主要题型：有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算、有理数乘方的逆运算、乘法运算的符号规律、乘方的运用 【知识点1】【教材重现】有理数的乘方（教材P58） 1. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作，即。这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。a叫作底数，n叫作指数，an读作“a的n次方”（或“”） 【★易错点】（1）一个数或一个字母可以看作它本身的一次方，指数1通常省略不写 （2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写上指数，指数要写得小一些 【数学素养】的奇数次幂是它本身，而的偶数次幂是它的相反数，即 2. 乘方运算的结果及符号的规律 【数学素养】 若n是偶数，则有，即互为相反数的两个数，它们的偶次数幂相等； 若n为奇数，则有，即互为相反数的两个数，它们的奇数次幂仍互为相反数 【例1】有理数幂的概念理解 【典例】可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 【变式1】化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 【变式2】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数幂的定义和有理数的乘法的定义，进行求解即可． 【详解】解：． 故选D 【变式3】【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 【例2】有理数的乘方运算 【典例】我们已知道：， 事实上：（为正整数）成立， 故有：当时，成立． 由以上结论填写下列代数式结果： (1)__________； (2)___________； (3)____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果； （2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果； （3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据已知有，当时，成立， ， ， 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 故答案为：； （3）解：根据已知有：当时，成立， ，，，， ， 上式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了观察、类比、数字类律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解． 【变式1】如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1)______，______； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取最小值． ④当x取何值时，取最小值？最小值为多少？直接写出结果． 【答案】(1)， (2)5 (3)①3；②4；③4；④当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （1）根据相反数和非负数的性质，求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是，再由对称性可知点B与数字5重合； （3）①当时，有值最小； ②当时，的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解； ③找到2，2，3，3，4，4，4，4的中间数即为所求； ④由，可求4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，解得，， 故答案为：，； （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴折痕点对应的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）解：①表示数轴上表示的点到表示3的点和6的点的距离之和， 当时，的值最小， 的最小值为3， 故答案为：3； ②表示数轴上表示的点到表示的点和4的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为7， ， 的整数值为，，，0，1，2，3，4， 满足条件的所有整数的和是4， 故答案为：4； ③表示2倍的到2的距离，2倍的到3的距离，5倍的到4的距离之和， ，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， 当时，的最小值； 故答案为：4； ④， 表示4倍的到的距离，3倍到的距离，到的距离，2倍到的距离，3倍到3的距离之和， 个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， 当时，的值最小，最小值为． 【变式2】我们已知道：， 事实上：（为正整数）成立， 故有：当时，成立． 由以上结论填写下列代数式结果： (1)__________； (2)___________； (3)____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果； （2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果； （3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据已知有，当时，成立， ， ， 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 故答案为：； （3）解：根据已知有：当时，成立， ，，，， ， 上式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了观察、类比、数字类律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解． 【变式3】小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)② (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， ∴对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， ∴对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 故答案为：② （3）解：当时，． 【例3】有理数乘方的逆运算 【典例】已知，则x＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 【变式1】如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【答案】(1)1,2 (2)①②，， 【分析】（1）根据定义可知，和就是指10的指数，据此即可求解； （2）①根据即可，②根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解： 依题意，得，， ，； 故答案为：1，； （2）解：① ， 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的运算，正确理解新定义运算的法则是关键． 【变式2】如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为个单位长度．若，回答下列问题． (1)填空：点在数轴上表示的数是________；点在数轴上表示的数是_______； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒个单位的速度向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度同时向左匀速运动，经过几秒后，有． (3)若长方形以每秒个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为时，求长方形运动的时间． 【答案】(1)， (2)或3 (3)4秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质得出的值，由数轴上两点间距离即可求得两点对应的有理数； （2）设运动时间为秒，首先可求得两点对应的数，分两种情况：当两点相遇时，由相遇问题知识即可解决；当两点分别在原点O的两侧时，则这两个数互为相反数，其和为0，可求得x的值； （3）分两种情况：边在长方形的边的左边且距离1个单位长度时；边在长方形的边的右边且距离1个单位长度时；无论哪种情况均可求得长方形运动的距离，则可求得运动的时间． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则， 所以点A表示的数为：， 故答案为：， （2）解：设运动时间为秒， 因，，则点M、N对应的数为、，， 由题意知，它们运动x秒后M、N点对应的数分别为：、， 当时有两种情况： 若、两点相遇，则两点运动的距离之和为，即，解得； 若、两点在原点的两侧，则它们对应的数互为相反数，即， 解得：； 综上，当时，的值为或； （3）解：当边在长方形的边的左边且距离为1个单位长度时，即时，如图1所示；则，重叠部分面积为； 此时长方形的运动距离为：，运动时间为：（秒）； 当边在长方形的边的右边且距离1个单位长度时，即时；，重叠部分面积为； 此时长方形的运动距离为：，运动时间为：（秒）； 综上，长方形的运动的时间为4秒或秒． 【点睛】本题是数轴动点问题，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，有理数的运算等知识，有一定的难度，注意数形结合． 【变式3】【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【答案】(1)1， (2)D (3)12 (4) 【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可； （2）根据新定义逐项判断； （3）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可； （4）分，，，，四种情况分别讨论，再合并结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，， 且， 则，故正确； D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误； 故选D； （3） ； （4）， 1、当时， ， 当时，， 最小值为； 2、当时， ； 3、当时， ， ； 4、当时， ， 当时，， 最小值为； 综上：的最小值为，的取值范围是． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 【例4】乘法运算的符号规律 【典例】仔细观察下列三组数： 第一组：﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…． 第二组：1，﹣4，9，﹣16，25，… 第三组：﹣2，﹣8，﹣18，﹣32，﹣50，… （1）第一组的第6个数是 　 　； （2）第二组的第n个数是 　 　； （3）分别取每一组的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】（1）216；（2）（﹣1）n+1 n2；（3）700 【分析】（1）观察各数可以得到各数的绝对值为各数序号的立方，结合符号，即可得到规律，即可求出第6个数； （2）观察各数，可以得到各数的绝对值为各数序号的平方，第奇数个数为正，偶数个数为负，即可得到规律； （3）根据观察第三组数，可以得到都是负数，绝对值是第（2）组数的绝对值的2倍，据此即可确定每一组的第10个数，相加即可求解． 【详解】解：（1）因为第一组数为：﹣13，23，﹣33，43，…， 所以第6个数为：63＝216； 故答案为：216； （2）因为第二组数为：12，﹣22，32，﹣42，…， 所以第n个数为：（﹣1）n+1n2； 故答案为：（﹣1）n+1n2； （3）因为每组数的第10个数分别为：1000，﹣100，﹣200， 所以这三个数的和为：﹣100+1000﹣200＝700． 【点睛】本题考查了根据数列找规律，理解题意，准确找出规律是解题关键，一般情况下，数列找规律要从数据的符号和绝对值两方面进行确定规律． 【变式1】【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律． （1）根据，，找到规律可得出答案； （2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案； ②根据规律裂项后代入计算即可得出答案； （3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案； （4）设，则，进而得，由此可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3） ； （4）设， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】先阅读下面的材料，然后解答问题． 在一条直线上有依次排列的n（）台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床时，很明显供应站P设在和之间的任何地方都行，距离之和等于到的距离．如果直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床处最合适，距离之和恰好为到的距离；如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方． (1)阅读递推：如果在直线上6台机床，供应站P应设在　　　　　　　　　　　　； 如果直线上有7台机床，供应站P应设在　　　　的地方． (2)问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？ (3)联系拓广：根据以上阅读材料，回答 当x取什么值时，代数式取到最小值，并求其最小值． 【答案】(1)第3台与第4台之间的任何地方的地方；P应设在第4台的地方； (2)当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何地方，当n为奇数时，P应设在第台的位置 (3) 【分析】（1）从所给材料中找出规律即可求解； （2）分n为奇数和n为偶数两种情况，找出规律即可求解； （3）根据绝对值的几何意义和连续整数的和的计算公式即可求解． 【详解】（1）如果在直线上6台机床，供应站P应设在第3台与第4台之间的任何地方的地方；如果直线上有7台机床，供应站P应设在第4台的地方； 故答案为：第3台与第4台之间的任何地方的地方；P应设在第4台的地方； （2）当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何地方， 当n为奇数时，P应设在第台的位置； （3）根据绝对值的几何意义，求的最小值， 就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，3，4…99各点的距离之和最小，根据问题（2）的结论，当， 即当时，原式的值最小， ∴最小值为 ． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握从特殊到一般和分类讨论的方法． 【变式3】观察下面三行数： 2，，8，，32，，……；① ，1，，4，，16，……；② ，9，，33，，129……；③ (1)请直接写出第①行数的第100项：________，第n项：________． (2)用式子表示第②行数的第2020项：________． (3)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3)1281 【分析】（1）通过观察，可发现规律：①中第n项为：，据此即可得解； （2）通过观察，可发现规律：②中第n项为：，据此即可得解． （3）由（1）和（2）可得出①中第10项为：，②中第10项为：．再找出③中的规律第n项为：，从而可求出③中的第10项为：，最后将这三个数相加求解即可． 【详解】（1）解：①中第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第6项：， … ∴第100项：， … ∴第n项：． 故答案为：，； （2）解：②中第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第6项：， … ∴第2020项：， … ∴第n项：． 故答案为：； （3）解：由（1）（2）可知①中第10项为：，②中第10项为：． ③中第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第6项：， … ∴第n项： ． ∵取第10个数，即，为偶数， ∴③中第10个数为：， ∴这三个数的和为：． 【点睛】本题考查数字类规律探索，根据已知数列的规律能用含n的式子表示出第n项是解题关键． 【例5】乘方的运用 【典例】观察下列各式： …… (1)根据上面各式的规律填空： ①________； ②（为正整数）=_____； (2)利用（1）中①的结论，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题主要考查了多项式除法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并能应用规律． （1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案；②根据上面各式的规律，可直接得到答案； （2）根据（1）总结出的规律，可得： ，据此即可求出算式的值； （3）根据（1）总结出的规律，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①根据上面各式的规律，可得：； ②根据上面各式的规律，可得：； （2）解：根据（1）中规律可得， 所以 ． （3）解：根据（1）中规律和题干可得， 因为， 所以． 所以． 【变式1】如果哪吒的法宝混天绫每秒在原有8米的长度上翻一倍，那么在第10秒时的长度大概相当于多少个标准篮球场的周长（   ） A．50个 B．100个 C．150个 D．200个 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，乘方的应用，根据题意，正确列出算式是解题的关键． 根据1个标准篮球场的周长为86米，列式为再计算即可求解． 【详解】解：∵1个标准篮球场的周长为86米， ∴（个）， ∴在第10秒时的长度大概相当于100个标准篮球场的周长． 故选：B． 【变式2】《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 【变式3】在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$