专题09 有理数的乘方（六大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题09 有理数的乘方（六大题型，40题） 目录 题型一：有理数幂的概念理解 1 题型二：有理数的乘方运算 2 题型三：有理数乘方逆运算 3 题型四：乘方的应用 5 题型五：用科学记数法表示绝对值大于1的数 7 题型六：将用科学记数法表示的数变回原数 8 一、题型一：有理数幂的概念理解 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 3．（23-24七年级上·四川内江·期中）若，则 ． 4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 5．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 二、题型二：有理数的乘方运算 6．（2024七年级上·全国·专题练习）若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 7．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如，……已知改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是，则a的值是（   ）． A．45 B．46 C．52 D．53 8．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 11．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）若、为整数，且，则 ． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若a、b互为相反数，c、a互为倒数，则 ． 13．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数表示的点(请标注原数)，并用“”把这些数连接起来． ，，0，， 14．（21-22七年级上·湖南衡阳·开学考试）我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 15．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 三、题型三：有理数乘方逆运算 16．（2022七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 17．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 18．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 19．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点A，B，C表示的数分别记为a，b，c．    (1)若点B，C表示的数的绝对值相等，则c的值为 ；a的值为 ． (2)若，求的值． 20．（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 四、题型四：乘方的应用 21．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 23．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 24．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是 ． 25．（23-24七年级上·广东佛山·期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 次后可拉出2048根细面条． 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 27．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们称为“梅岭数”，记，，， （其中为正整数）． (1)计算： ． (2)求的值． (3)探究与的关系，并说明理由． 28．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 29．（23-24七年级上·广东茂名·期中）在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 当时， 当时， 当时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 30．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 五、题型五：用科学记数法表示绝对值大于1的数 31．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 32．（2024·甘肃武威·三模）党的二十大报告中提到以“得罪千百人、不负十四亿”的使命担当开展反腐败斗争，其中“十四亿”是概指全体中国人民，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 33．（23-24七年级上·山西晋中·期末）根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量亿斤，再创新高，为全而推进乡村振兴，加快建设农业强国奠定了坚实基础．数据亿斤用科学记数法可表示为（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 34．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 35．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）杭州奥体网球中心，采用了“花瓣”设计造型，被市民亲切地称为“小莲花”．“小莲花”中设有15600座席位，将数据15600用科学记数法表示为 ． 六、题型六：将用科学记数法表示的数变回原数 36．（2024·河北邯郸·模拟预测）实数1200用科学记数法表示为，则 表示的原数为（    ） A．1200000 B．120000 C．14400000 D．1440000 37．（2024·河北邢台·模拟预测）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 38．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 39．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 40．（23-24九年级上·山东青岛·期末）中国火星探测器“天问一号”到地球的距离约为公里，其中是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个 位数． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 有理数的乘方（六大题型，40题） 目录 题型一：有理数幂的概念理解 1 题型二：有理数的乘方运算 4 题型三：有理数乘方逆运算 10 题型四：乘方的应用 14 题型五：用科学记数法表示绝对值大于1的数 20 题型六：将用科学记数法表示的数变回原数 22 一、题型一：有理数幂的概念理解 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．（22-23七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川内江·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 4．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 【答案】3或-3/-3或3 【分析】根据绝对值与平方的性质求出a、b，故可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴当时，， 当时，． 故答案为：3或-3． 【点睛】此题主要考查乘方与绝对值的求解及有理数乘法，解题的关键是熟知乘方与绝对值的性质． 5．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 二、题型二：有理数的乘方运算 6．（2024七年级上·全国·专题练习）若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b（，）互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； C、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b（，）互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 7．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如，……已知改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是，则a的值是（   ）． A．45 B．46 C．52 D．53 【答案】A 【分析】本题主要考查了一个正整数的立方的变换规律，找出这个正整数立方的表达式是解题的关键． 根据题意，可找出一个大于1的正整数的立方，分分裂后的第一个数是，且共有a个连续奇数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴分裂后的第一个数是，且共有a个连续奇数， ∵，， ∴奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数， ∴． 故选：A． 8．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、非负数的性质等知识点，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零成为解题的关键． 根据绝对值、非负数的非负数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由，，则，故该选项正确，不符合题意； B. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 当且互为相反数时，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 9．（23-24七年级上·重庆九龙坡·开学考试）对于两个自然数定义新运算“※”和“＃”如果，例如：，那么( )． 【答案】2 【分析】此题考查了新定义运算，根据定义的运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】∵， ∴， 故答案为：2 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）设，其中整数满足（n为整数），则当，时， ；当，时，m的最大值为 ． 【答案】 3 196 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据有理数的乘方法则，计算即可． 【详解】解：当，时，则， ， ∴， 当，时，则， ∵，， ∴，，中，最大为7， ∵整数满足， ∴当，，时，， 当，，时，， ∴的最大值为． 故答案为：196． 11．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）若、为整数，且，则 ． 【答案】4，16，， 【分析】本题主要考查了乘方运算，先根据整数、绝对值、完全平方的意义先确定、的值，再利用乘方的意义计算． 【详解】解：，， 、为整数，且， ，或，或，或，． 或或或． 故答案为：4，16，，． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）若a、b互为相反数，c、a互为倒数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解即可． 【详解】a、b互为相反数，c、a互为倒数， ，即 ，即 故答案为：0． 13．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）在数轴上画出表示下列各数表示的点(请标注原数)，并用“”把这些数连接起来． ，，0，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了化简多重符号、绝对值、有理数的乘方、利用数轴比较有理数的大小，先将各数化简，再表示在数轴上，由数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，， 将各数表示在数轴上如图所示： ， 由数轴可得：． 14．（21-22七年级上·湖南衡阳·开学考试）我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【答案】(1)64，625 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数学归纳整理的能力，解题的关键要分析材料找到题目中规律从而由特殊例子总结出一般规律． （1）根据乘方的运算法则计算即可； （2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是，所以． （3）运用（2）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：64，625； （2）解：根据观察可得：， 故答案为：． （3）解：， ， ， ． 15．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 三、题型三：有理数乘方逆运算 16．（2022七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 17．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 18．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：　 ，　 ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ①　 　（为正数）， ②若，则　 　，　 　，　 　． 【答案】(1)1,2 (2)①②，， 【分析】（1）根据定义可知，和就是指10的指数，据此即可求解； （2）①根据即可，②根据，，即可得出结果． 【详解】（1）解： 依题意，得，， ，； 故答案为：1，； （2）解：① ， 故答案为：； ②， ， ， ． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的运算，正确理解新定义运算的法则是关键． 19．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上（相邻两竖线间的距离为1个单位长度），点A，B，C表示的数分别记为a，b，c．    (1)若点B，C表示的数的绝对值相等，则c的值为 ；a的值为 ． (2)若，求的值． 【答案】(1)2； (2)或9 【分析】（1）根据点B，C表示的数的绝对值相等，可知线段的中点即为数轴原点，据此得出c和a的值； （2）根据，可得，然后分情况得出的值，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点B，C表示的数的绝对值相等， ∴B，C互为相反数， ∴线段的中点即为数轴原点， 根据数轴可得， 故答案为：2；； （2）∵， ∴或， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴． 综上，的值为或9． 【点睛】本题考查了数轴、相反数的几何意义，有理数乘方运算等知识点，读懂题意，结合相关知识点分别得出各字母表示的有理数是解本题的关键． 20．（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)6 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）利用对数的定义写成幂的形式； （3）先利用乘方的意义得到，然后根据对数的定义求解． 【详解】（1）解：①； 对数式记作：； ②； 对数式记作：； （2）①； 指数式为， ②； 指数式为； （3）， ． 【点睛】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了阅读理解能力． 四、题型四：乘方的应用 21．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是， 故选：C． 22．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环性得出个位数字每四个数循环一次，根据尾数的循环得出结论是解题的关键． 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 23．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键． 根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第一天截取后木棍剩余长度为：， 第二天截取后木棍剩余长度为：， 第三天截取后木棍剩余长度为：， 第天截取后木棍剩余长度为：， 第6天截取后木棍剩余长度为：． 故答案为：． 24．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尾数特征和数字变化类，先通过计算求出尾数的规律，根据规律即可求解，根据已知算式得出规律是解题的关键． 【详解】解：，，，，，， ， ， 的末尾数字为， 故答案为：． 25．（23-24七年级上·广东佛山·期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 次后可拉出2048根细面条． 【答案】11 【分析】本题考查了数字类规律探究，有理数的乘方，先探究规律：第次捏合可拉出根细面条，然后根据规律列式计算，理解乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意有， 第一次捏合可拉出根细面条， 第二次捏合可拉出根细面条， 第三次捏合可拉出根细面条， …， 第次捏合可拉出根细面条， 令：，解得：， 故答案为：11． 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 27．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们称为“梅岭数”，记，，， （其中为正整数）． (1)计算： ． (2)求的值． (3)探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互为相反数，理由见解析 【分析】本题考查了数字类变化规律、乘方的应用，掌握变化规律是解此题的关键． （1）根据（其中为正整数）可得和，计算即可得出答案； （2）根据（其中为正整数）可得和，计算即可得出答案； （3）分别求出与，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：与互为相反数， 理由如下： ， ， 故与互为相反数． 28．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键． （1）直接利用已知计算得出答案； （2）利用（1）中所求进而得出答案； （3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）归纳、概括：； （3）如果 ，， 运用以上的结论，计算： 29．（23-24七年级上·广东茂名·期中）在上个月，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： 当时， 当时， 当时， 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1)， (2) (3)或2或3 【分析】（1）根据指数的大小，直接利用新定义运算的法则计算即可； （2）根据新定义运算法则的含义建立方程，再解方程即可； （3）根据新定义的运算法则结合乘方运算的含义建立方程，再分情况解方程即可． 【详解】（1）解：； ； （2）∵ ∴ ∴； （3）∵， ∴， ∴， 或或、 ∴或2或3，经检验符合题意； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，理解新定义运算的运算法则结合同底数幂的除法运算法则是解本题的关键． 30．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【答案】 【分析】设，表示出，然后求解即可． 【详解】解：设， 则， ， ， 故． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键． 五、题型五：用科学记数法表示绝对值大于1的数 31．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 32．（2024·甘肃武威·三模）党的二十大报告中提到以“得罪千百人、不负十四亿”的使命担当开展反腐败斗争，其中“十四亿”是概指全体中国人民，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 33．（23-24七年级上·山西晋中·期末）根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量亿斤，再创新高，为全而推进乡村振兴，加快建设农业强国奠定了坚实基础．数据亿斤用科学记数法可表示为（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：亿． 故选：C． 34．（23-24七年级下·四川巴中·期末）今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 35．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）杭州奥体网球中心，采用了“花瓣”设计造型，被市民亲切地称为“小莲花”．“小莲花”中设有15600座席位，将数据15600用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 六、题型六：将用科学记数法表示的数变回原数 36．（2024·河北邯郸·模拟预测）实数1200用科学记数法表示为，则 表示的原数为（    ） A．1200000 B．120000 C．14400000 D．1440000 【答案】A 【分析】本题用科学记数法表示的数表示为原数，考查学生的运算能力． 实数1200用科学记数法表示为，则，因此． 【详解】， ， ， 故选：A． 37．（2024·河北邢台·模拟预测）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.确定a的值以及n的值是解题的关键． 先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可． 【详解】解：， 原数中“0”的个数为8， 故选：B． 38．（2024·河北石家庄·二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8/八 【分析】本题主要考查科学记数法与原数的转化，将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数． 【详解】解：， 原数中有8个0， 故答案为：8． 39．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，以及将用科学记数法表示的数变回原数，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：36 000 000用科学记数法表示应为， 的原数是， 故答案为：，． 40．（23-24九年级上·山东青岛·期末）中国火星探测器“天问一号”到地球的距离约为公里，其中是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个 位数． 【答案】十 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 即它原来是一个十位数． 故答案为：十． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$