2.2 课时综合训练（3大基本题型+强化训练） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 课时综合训练（3大基本题型+强化训练） 【课时概述】 主要知识点及题型：省略加法和括号的形式、根据点在数轴的位置判断式子上的正负、数轴上的翻折 【知识点1】省略加法和括号的形式 在有理数的加减运算中，为了简化表达式，常将带有加号和括号的形式转化为省略加号和括号的形式。这基于一个规则：减法可以看作是“加上相反数”。 ，可以省略“+”号和括号，写 ，可以省略“+”号和括号，写 ，可以省略“+”号和括号，写 ，可以省略“+”号和括号，写（但通常省略“+”号，直接写） 【典例】把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】把写成省略括号的和的形式是 ． 【变式3】把写成省略括号的形式是 ． 【知识点2】根据点在数轴的位置判断式子上的正负 数轴是表示有理数的工具，原点（0）左边是负数，右边是正数。给定点在数轴上的位置，判断涉及加减的式子（如、）的正负（正数、负数或零）。核心是比较点所代表的数的大小关系：（1）则；（2）则；（3）则 的正负取决于a和b的具体值：同号（同正或同负）时绝对值相加；异号时看较大数的符号。 1. 根据数轴，确定点表示的数的值（正负和大小）。 2. 比较数的大小关系：右大左小（数轴上右边的数大）。 3. 代入加减运算公式，判断结果是否大于零（正）、小于零（负）或等于零。 【典例】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】有理数、、在数轴上的位置如图所示．比较大小： 0．（直接在横线上填“”，“”，“”中的一个）； 【变式2】点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【变式3】有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示． (1)判断：a____0， ____0， ____0；（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)化简：． 【知识点3】数轴上的翻折 翻折是几何变换，指定一个翻折点（如原点或某点），将原对称点翻折到另一侧。在有理数加减中，需要先求出翻折后的点所表示的数，再进行加减运算。核心是“对称点”的计算（利用中点公式）。 关于原点翻折：翻折点表示数c（原点），原数翻折后为（因为原点对称）。 关于某点翻折：翻折点表示数c，原数翻折后为（因为c是中点）。 【典例】在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，8，若以点C为折点，将此数轴对折，此时A，B两点相距2个单位，则点C表示的数是 ． 【变式1】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使0表示的点与2表示的点重合，则8表示的点与数 表示的点重合． 【变式2】【阅读材料】在数轴上，表示数与的点之间的距离可以表示为．例如：在数轴上，表示数与2的点之间的距离是，表示数与的点之间的距离是． 【尝试应用】 （1）的几何意义是数轴上表示的点与表示_______的点之间的距离； （2）若，求的值； （3）点为数轴上的两个动点，点表示的数是，点表示的数是，且，点表示的数为，若三点中的某一个点是另两个点所连线段的中点，求的值． 【变式3】数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【课时强化训练】 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D．3 2．实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 3．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 4．将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（      ） A． B．1 C． D．3 5．若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 6．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 7．定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 8．如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 9．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 10．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 12．计算： ， ， ， ． 13．武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 14．点在数轴上表示的数是，一只小蚂蚁从点出发，沿数轴向右爬行个单位长度到达点，则点表示的数是 ． 15．周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 16．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算：． 19．计算： (1)； (2)． 20．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 21．有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 22．如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 23．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 课时综合训练（3大基本题型+强化训练） 【课时概述】 主要知识点及题型：省略加法和括号的形式、根据点在数轴的位置判断式子上的正负、数轴上的翻折 【知识点1】省略加法和括号的形式 在有理数的加减运算中，为了简化表达式，常将带有加号和括号的形式转化为省略加号和括号的形式。这基于一个规则：减法可以看作是“加上相反数”。 ，可以省略“+”号和括号，写 ，可以省略“+”号和括号，写 ，可以省略“+”号和括号，写 ，可以省略“+”号和括号，写（但通常省略“+”号，直接写） 【典例】把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数去括号法则即可求解. 【详解】= 故选C. 【点睛】此题主要考查有理数的加减，解题的关键是熟知去括号的方法. 【变式1】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 【变式2】把写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 根据有理数的加减运算法则解答即可． 【详解】解：把写成省略括号的和的形式是； 故答案为：． 【变式3】把写成省略括号的形式是 ． 【答案】－4＋5－3 【分析】根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】=－4＋5－3 故答案为：－4＋5－3． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 【知识点2】根据点在数轴的位置判断式子上的正负 数轴是表示有理数的工具，原点（0）左边是负数，右边是正数。给定点在数轴上的位置，判断涉及加减的式子（如、）的正负（正数、负数或零）。核心是比较点所代表的数的大小关系：（1）则；（2）则；（3）则 的正负取决于a和b的具体值：同号（同正或同负）时绝对值相加；异号时看较大数的符号。 1. 根据数轴，确定点表示的数的值（正负和大小）。 2. 比较数的大小关系：右大左小（数轴上右边的数大）。 3. 代入加减运算公式，判断结果是否大于零（正）、小于零（负）或等于零。 【典例】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，故错误， ∵，，， ∴，故正确，错误， 故选：． 【变式1】有理数、、在数轴上的位置如图所示．比较大小： 0．（直接在横线上填“”，“”，“”中的一个）； 【答案】 【分析】本题考查数轴、有理数的减法法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴可得，再根据有理数减法法则即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ． 故答案为：． 【变式2】点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【详解】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； ⑤，故⑤正确． ∴正确的是①②④⑤． 故选：B． 【变式3】有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示． (1)判断：a____0， ____0， ____0；（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法以及绝对值的化简等知识点，解题的关键是根据数轴判断出有理数的正负以及绝对值的大小关系，进而进行有理数运算和绝对值化简． （1）根据数轴上a，b的位置判断a，b的正负及绝对值大小，再判断的正负； （2）根据（1）中得到的正负情况，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，然后进行整式的化简． 【详解】（1）由数轴可知，且， 对于，异号两数相加，取绝对值较大的符号，，为负，所以， 对于，两个正数相加结果为正，所以， 故答案为：，，． （2）因为，所以， 由（1）知，所以， 由（1）知，所以， 以 ． 故答案为：． 【知识点3】数轴上的翻折 翻折是几何变换，指定一个翻折点（如原点或某点），将原对称点翻折到另一侧。在有理数加减中，需要先求出翻折后的点所表示的数，再进行加减运算。核心是“对称点”的计算（利用中点公式）。 关于原点翻折：翻折点表示数c（原点），原数翻折后为（因为原点对称）。 关于某点翻折：翻折点表示数c，原数翻折后为（因为c是中点）。 【典例】在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，8，若以点C为折点，将此数轴对折，此时A，B两点相距2个单位，则点C表示的数是 ． 【答案】0或2 【分析】本题考查有理数与数轴，分对折后点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当对折后点在点的左侧时，此时点表示的数为：， ∴点表示的数为：； ②当对折后点在点的右侧时，此时点表示的数为：， ∴点表示的数为：； 故答案为：0或2． 【变式1】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使0表示的点与2表示的点重合，则8表示的点与数 表示的点重合． 【答案】 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． 根据已知条件可确定对称点于是得到结论． 【详解】解：∵0表示的点与2表示的点重合， 折叠点为， ∴8表示的点与数表示的点重合． 故答案为：． 【变式2】【阅读材料】在数轴上，表示数与的点之间的距离可以表示为．例如：在数轴上，表示数与2的点之间的距离是，表示数与的点之间的距离是． 【尝试应用】 （1）的几何意义是数轴上表示的点与表示_______的点之间的距离； （2）若，求的值； （3）点为数轴上的两个动点，点表示的数是，点表示的数是，且，点表示的数为，若三点中的某一个点是另两个点所连线段的中点，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3），或，或， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、用数轴上点表示有理数、数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）将整理为，然后根据数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案； （3）根据题意可知，在数轴上，，且点在点的右侧，然后分点为线段的中点、点为线段的中点、点B为线段的中点三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵，根据数轴上两点之间距离公式， 可知的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 故答案为：； （2）∵， ∴在数轴上，表示数的点与表示数5的点之间的距离为3， ∴或； （3）∵，且， ∴在数轴上，，且点在点的右侧， ①当点为线段的中点时，如图所示， 则， ∵点表示的数为， ∴； ②当点为线段的中点时，如图所示， 则， ∵点表示的数为， ∴； ③当点B为线段的中点时，如图所示， 则， ∵点表示的数为， ∴． 综上所述，，或，或，． 【变式3】数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)；63 (3) 【分析】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可； （2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可； （3）确定原点，单位长度为，表示各数，相加即可． 本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响． 【详解】（1）若以点C为原点，因为 则A表示的数是，B表示的数为， ∴． （2）原点O在点C的右侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 原点O在点C的左侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． （3）以A，B中点为原点，单位长度为，， ∴点A对应，点B对应，点C对应， ∴． 【课时强化训练】 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键． 根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，即可判断答案． 【详解】解：，且， ，且， ∴b的值可以是，D选项同符合题意，A、B、C不符合题意， 故选：D． 3．某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（   ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A．哈尔滨 B．北京 C．广州 D．上海 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴上两点间的距离． 将各个城市的温度从小到大排列，再比较与济南接近的两个城市，即可解答． 【详解】解：∵，且， 即， ∴北京与济南气温最接近． 故选B． 4．将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（      ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴．结合数轴的特点，运用数轴的平移变化规律即可计算求解． 【详解】解：将数轴上表示的点沿数轴向右平移2个单位长度， 即． 故选：B． 5．若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 6．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 7．定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 8．如图，是市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了统计图，根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【详解】解：从图中可以看出，这一天中最高气温是，最低气温是， ∴这一天中最高气温与最低气温的差为， 故选：C． 9．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是101． 故选：C． 10．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 二、填空题 11．如图，数轴上、两点表示的数分别为、，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，有理数的加法运算，由数轴可知，，且，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴， 故答案为：． 12．计算： ， ， ， ． 【答案】 5 2.7 【分析】本题考查了有理数的加法中一个数和零相加的法则，熟知其法则是解题的关键． 根据一个数和零相加，仍得这个数，进行计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 13．武汉市年的最高温度是月日的，最低温度是月日的．则年武汉市全年温度的最大相差 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法法则，熟练掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． 用最高温度减去最低温度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．点在数轴上表示的数是，一只小蚂蚁从点出发，沿数轴向右爬行个单位长度到达点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴和有理数加法运算，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意列出算式，然后根据有理数加法运算法则求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上表示的数是，一只小蚂蚁从点出发，沿数轴向右爬行个单位长度到达点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 15．周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完 个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序 ． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 【答案】 4 【分析】本题考查了时间的计算，推理与论证； （1）根据题意明明有3个小时即180 分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为、的时间和为 90 分钟，根据表格数据解答即可． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为（15 分钟），（30 分钟），（45分钟），（60 分钟），（60 分钟），（90 分钟）最多可以参观完、B、C、A等4个展馆用时150分钟． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观展馆 90 分钟，正好去参观展馆30分钟，正好去参观展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 故答案为：4；． 16．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过的最大整数，例如．现定义，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算． 根据表示不超过的最大整数求解，列式计算． 【详解】由题意得：． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数混合运算，把原式变形为进行解答即可． 【详解】解：原式 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．首先将原式变形为，然后裂项求解即可． 【详解】解：原式 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减运算的运用，注意去括号时，括号前面是负号，括号内各项要变号，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再进行减法运算，最后运算加法运算，即可作答． （2）先去括号，再进行减法运算，最后运算加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； (2)这天要付元搬运费． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 【详解】（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． 21．有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【答案】(1) (2)5 (3)千克 【分析】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，体现了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量； （2）最重的与最轻的相减即可求解； （3）用25乘以8的积，加上图中八个数的和即可求解． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准， 这筐白菜重千克． 故答案为； （2）（千克） 故答案为； （3） （千克） 答：这筐白菜一共重千克． 22．如图，甲、乙两人(看成点)分别在从数轴上表示和9的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动3个单位长度，同时乙向东移动1个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动1个单位长度，同时乙向西移动3个单位长度． 前三局结果如下表(提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀)： 第一局 第二局 第三局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 … 乙的手势 石头 布 布 … (1)从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； (2)从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． (3)从如图的位置开始，若进行了k局游戏后，甲与乙的位置相距3个单位长度，直接写出 ． 【答案】(1)13 (2)4 (3)6或9 【分析】本题主要考查了数轴及有理数的混合运算，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． （1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，即可得结论； （2）根据题意可得整个过程乙一平两输两赢，利用规则，结合数轴进行计算便可； （3）由题意可得刚开始两人的距离为，分①若两人尚未相遇，②若两人已经相遇两种情况分析即可得解． 【详解】（1）解：完成了次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； ∴第一局后甲乙两人相距个单位长度 故答案为：13； （2）因为从前五局来看，甲一平两胜两负， 整个过程看：甲一平两胜两负，而乙一平两负两胜，向东为正， 根据规则五局之后甲对应的数为：， 根据规则五局之后乙对应的数为：， 故乙离原点个单位， 故答案为：； （3）的值为或，理由如下： 刚开始甲乙两人相距个单位长度， ①若两人尚未相遇， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小个单位， 最终甲与乙的位置相距个单位， 则共需缩小个单位 ②若两人已经相遇， 按照相遇前的距离缩小规律，第七局甲与乙的位置相距1个单位， 同理分析可得：第八局甲与乙的相对位置交换，且相距1个单位， 继续则甲乙的距离每局增加个单位，第九局甲与乙的位置相距个单位 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 23．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$