2.2 第4课时 有理数的加减混合运算（6大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 第4课时 有理数的加减混合运算（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数的加减混合运算 主要题型：有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数加减混合运算的应用 【知识点1】有理数的加减混合运算 1. 有理数的加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算 （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的和的形式，这种形式的算式一般有两种读法。例如：，可读作负5、负7、负35和正54的和，也可以读作负5减7减35加54. 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法： （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【★易错点】有理数加减混合运算中的技巧：对于既含小数又含有分数的加减混合运算，可先将小数统一化成分数或将分数统一化成小数再相加减，也可以将小数与分数分别结合相加减，在计算时要灵活选用方法，以计算最简便为原则 【例1】有理数的加减混合运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求的值． 【变式3】阅读下列材料，完成后面的任务． 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点表示的数分别是1，4则或．   【归纳】若点表示的数分别是，则或． 任务： (1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则______或______． (2)试用数轴探究，当时，的值为______． (3)利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【例2】有理数加减中的简便运算 【典例】观察算式：按规律填空： ． 【变式1】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式2】计算： 【变式3】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 【例3】有理数加减混合运算的应用 【典例】嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【变式1】“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【变式2】小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【变式3】 综合与实践：魔术中的数学密码 温馨提示：一副扑克牌通常有54张牌，其中包括：52张正牌：分为4种花色（黑桃♠，红心♥，梅花♣，方块◆），每种花色有13张牌，分别是A、、J、Q、K．2张副牌：大王和小王．本题通过扑克牌魔术的规则，考察数学中的排列组合和简单计算．所有扑克牌点数对应规则为： ，其他数字牌按实际数值计算． 花色优先级：黑桃♠梅花♣方块◆红桃♥（点数相同时使用）． 【魔术规则】 观众从一副标准的扑克牌（共52张，不含大小王）中随机抽取5张牌交给魔术师的助手，助手从中选择一张让观众藏起来，并把剩余的4张牌（明牌）正面朝上放在桌上，然后，魔术师查看桌子上的4张明牌，便能准确地说出隐藏之牌（暗牌）的花色和点数． 【魔术原理】 一、花色定位： 步骤1：从5张牌中必能找到2张同花色牌． 步骤2：若这2张同花色牌点数之差的绝对值小于等于6，则助手将点数较小的牌放在最左边；若点数之差的绝对值大于6，则助手将点数较大的牌放在最左边，这张牌称为花色指示牌，用它指示暗牌的花色，随后，助手将另外一张牌交给观众藏起来． 如果助手将黑桃5放在最左边，那么暗牌的花色一定是________； 二、点数计算： 1．将剩下3张牌比较大小，若点数相同，再比花色．例如：①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为________（填写序号） 2．根据这3张牌的摆放顺序，对应一个密码数字（1～6）（如图1）． 密码数字 3张牌的摆放顺序（从左到右） 示例（3张牌为 1 小中大 2 小大中 3 中小大 4 中大小 5 大小中 6 大中小 （图1） 若这3张牌摆成“”，则对应的密码数字是________； 3．暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字．（如图2，扑克牌顺时针从（1）K（13）再回到A（1），点数像钟表一样循环，若结果超过13，则减去13）． 若指示牌是梅花J，密码数字为5，则暗牌的点数是________； 【魔术应用】 如图3，观众随机抽取的5张牌为： 利用上面的原理，助手需选择一张牌作为暗牌，将其余4张牌作为明牌，则明牌摆放顺序从左到右依次应为________． A．梅花♣3、方块◆7、红桃♥K、黑桃♠K B．梅花♣3、红桃♥K、黑桃♠K、方块◆7 C．梅花♣K、黑桃♠K、红桃♥K、方块◆7 D．梅花♣K、黑桃♠K、方块◆7、红桃♥K 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 第4课时 有理数的加减混合运算（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数的加减混合运算 主要题型：有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算、有理数加减混合运算的应用 【知识点1】有理数的加减混合运算 1. 有理数的加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算 （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的和的形式，这种形式的算式一般有两种读法。例如：，可读作负5、负7、负35和正54的和，也可以读作负5减7减35加54. 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法： （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 【★易错点】有理数加减混合运算中的技巧：对于既含小数又含有分数的加减混合运算，可先将小数统一化成分数或将分数统一化成小数再相加减，也可以将小数与分数分别结合相加减，在计算时要灵活选用方法，以计算最简便为原则 【例1】有理数的加减混合运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查数轴与有理数，化简绝对值，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，化简绝对值后，进行计算即可． 【详解】解：由图可得， ∴． 【变式3】阅读下列材料，完成后面的任务． 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点表示的数分别是1，4则或．   【归纳】若点表示的数分别是，则或． 任务： (1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则______或______． (2)试用数轴探究，当时，的值为______． (3)利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】(1)2， (2)1或7 (3)可取的整数值为2，3，4，5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值、有理数的加减，解题的关键是利用分类讨论的思想去绝对值符号． （1）先求得点A表示的数是，再求解b值即可； （2）先得到表示数轴上，数m表示的点与4表示的点的距离为3，再分两种情况：当m表示的点在4的右边时和点m表示的点在4的左边时，利用数轴上两点的距离求解即可； （3）先得到表示数轴上，数x表示的点与数2、数5表示的点的距离之和，然后分三种情况：数x表示的点在2的左边、在2和5之间、在5的右边，利用数轴求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是最大的负整数， ∴点A表示的数为， ∵点表示的数为，且， ∴或， 故答案为：2，； （2）解：由题意，表示数轴上，数m表示的点与4表示的点的距离为3， 当m表示的点在4的右边时，； 点m表示的点在4的左边时，， 综上，m的值为1或7， 故答案为：1或7； （3）解：由题意，表示数轴上，数x表示的点与数2、数5表示的点的距离之和， 当数x表示的点在2的左边时，， 当数x表示的点在2和5之间（包括2和5）时， 当数x表示的点在5的右边，， ∴， 则当数x表示的点在2和5之间时，取得最小值3， 此时，可取的整数值为2，3，4，5． 【例2】有理数加减中的简便运算 【典例】观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 【变式1】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【变式2】计算： 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 【变式3】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】（1）由题意知：； （2） ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的加法中的简便计算．关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法进行简便． 【例3】有理数加减混合运算的应用 【典例】嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 【变式1】“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】(1)星期五，个； (2)小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【变式2】小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 【变式3】 综合与实践：魔术中的数学密码 温馨提示：一副扑克牌通常有54张牌，其中包括：52张正牌：分为4种花色（黑桃♠，红心♥，梅花♣，方块◆），每种花色有13张牌，分别是A、、J、Q、K．2张副牌：大王和小王．本题通过扑克牌魔术的规则，考察数学中的排列组合和简单计算．所有扑克牌点数对应规则为： ，其他数字牌按实际数值计算． 花色优先级：黑桃♠梅花♣方块◆红桃♥（点数相同时使用）． 【魔术规则】 观众从一副标准的扑克牌（共52张，不含大小王）中随机抽取5张牌交给魔术师的助手，助手从中选择一张让观众藏起来，并把剩余的4张牌（明牌）正面朝上放在桌上，然后，魔术师查看桌子上的4张明牌，便能准确地说出隐藏之牌（暗牌）的花色和点数． 【魔术原理】 一、花色定位： 步骤1：从5张牌中必能找到2张同花色牌． 步骤2：若这2张同花色牌点数之差的绝对值小于等于6，则助手将点数较小的牌放在最左边；若点数之差的绝对值大于6，则助手将点数较大的牌放在最左边，这张牌称为花色指示牌，用它指示暗牌的花色，随后，助手将另外一张牌交给观众藏起来． 如果助手将黑桃5放在最左边，那么暗牌的花色一定是________； 二、点数计算： 1．将剩下3张牌比较大小，若点数相同，再比花色．例如：①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为________（填写序号） 2．根据这3张牌的摆放顺序，对应一个密码数字（1～6）（如图1）． 密码数字 3张牌的摆放顺序（从左到右） 示例（3张牌为 1 小中大 2 小大中 3 中小大 4 中大小 5 大小中 6 大中小 （图1） 若这3张牌摆成“”，则对应的密码数字是________； 3．暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字．（如图2，扑克牌顺时针从（1）K（13）再回到A（1），点数像钟表一样循环，若结果超过13，则减去13）． 若指示牌是梅花J，密码数字为5，则暗牌的点数是________； 【魔术应用】 如图3，观众随机抽取的5张牌为： 利用上面的原理，助手需选择一张牌作为暗牌，将其余4张牌作为明牌，则明牌摆放顺序从左到右依次应为________． A．梅花♣3、方块◆7、红桃♥K、黑桃♠K B．梅花♣3、红桃♥K、黑桃♠K、方块◆7 C．梅花♣K、黑桃♠K、红桃♥K、方块◆7 D．梅花♣K、黑桃♠K、方块◆7、红桃♥K 【答案】一、花色定位：黑桃；二、1．②③①；2.   4；3.   3；魔术应用：D． 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算的应用， 一、花色定位：根据题意得出最左边牌色即暗牌颜色； 二、点数计算：1.根据规则确定大小即可； 2.先确定大小，再根据表格确定密码数字； 3.根据暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字确定暗牌点数； 魔术应用：按照花色定位、点数计算及暗牌点数计算方法确定选项即可． 【详解】解：一、花色定位： 由题意得：如果助手将黑桃5放在最左边， 那么暗牌的花色一定是黑桃， 故答案为：黑桃； 二、 1．①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为②③①， 故答案为：②③①； 2．若这3张牌摆成“”， 则3张牌的摆放大小顺序（从左到右）为：中大小， 则对应的密码数字是：4， 故答案为：4； 3．根据暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字，若指示牌是梅花J，密码数字为5， 则暗牌的点数是， 故答案为：3； 魔术应用： 花色定位：五张牌中，花色相同的是梅花3和梅花K，点数差大于6， 则助手将点数较大的牌放在最左边，即梅花K为花色指示牌，故选项A、B错误， 所以暗牌一定是梅花3， 点数计算：选项C中，大小顺序为中大小，故对应的密码数字是：4， 则暗牌的点数是，与暗牌一定是梅花3相矛盾，故选项C错误， 选项D中，大小顺序为中小大，故对应的密码数字是：3， 则暗牌的点数是，与暗牌一定是梅花3相一致，故选项D正确， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$