2.2 第1课时 有理数的加法（3大基本题型） 课时同步讲义 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步讲义 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 第1课时 有理数的加法（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数加法法则 主要题型：有理数加法运算、有理数加法中的符号问题、有理数加法在生活中的应用 【知识点1】【教材重现】有理数加法法则（教材P35） 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为0 异号且，即互为相反数， 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 一个数同0相加 仍得这个数 【★数学技巧】一观察、二确定、三求和： 第一步观察两个数的符号是同号还是异号，有没有0； 第二步选择用哪一条加法法则； 第三步先确定和的符号，后计算绝对值 【★易错点】在进行有理数加法运算时，要牢记“先符号，后绝对值”，写的时候不要忘记符号 【例1】有理数加法运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，正确计算是解答本题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式2】一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整数的因数分解，搞清完全数的定义是本题的关键．将每个数进行分解因数，然后根据完全数的定义进行判断即可 【详解】解∶ A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意． 故选∶C． 【变式3】对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解新定义的含义，运用数形结合和分类讨论思想；由题意可知，线段b两个端点表示的数分别为6、10，再讨论表示的点是线段a的左，右端点，进而求出和，再计算求解即可． 【详解】解：表示6和10的点在线段上，的长度为4，， 线段b两个端点表示的数分别为6、10， 当表示的点是线段a的右端点时，则线段a的左端点为：， ， 当表示的点是线段a的左端点时，则线段a的右端点为：， ， ， 故答案为：20． 【例2】有理数加法中的符号问题 【典例】若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值．根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，根据到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加法法则即可作出判断． 【详解】解：根据数轴可知：，且，则 A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原选项错误，符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：C． 【变式1】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减、绝对值，利用绝对值的定义确定、的取值，再计算的值． 【详解】，， ，， ， ， ，， 或6， 故选：D． 【变式3】a，b，c，d四个数在数轴上的位置如图：对于代数式，如果不改变原来式子中的每个字母位置的排列顺序，任意添加至少一个绝对值符号（不能添加双重绝对值），然后根据所添加的绝对值进行化简，我们把这样的操作称之为“加绝对值操作”． 例如，，… 但这样的操作不被允许，比如… 下列说法中： ①不存在这样的“加绝对值操作”，使其化简后的代数式与原来的代数式结果一样． ②进行“加绝对值操作”后的结果与原来的代数式和为0的操作不止一种． ③所有可能的“加绝对值操作”化简后共有14种不同的结果． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】可以举例判断①②，通过列举出所有加绝对值的情况，进行化简即可判断③． 【详解】解：根据数轴可知，，， ∵， ∴①说法错误； ∵， ∴与原来的代数式和为0， ∵， ∴与原来的代数式和为0， 故②说法正确； 当加一个绝对值时： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当加两个绝对值时： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 加3个绝对值时： ， ， ， ， ， ， ， 加4个绝对值时： ， 综上，所有可能的“加绝对值操作”化简后共有14种不同的结果， 故③说法正确， 正确的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值和数轴、有理数的加法，理解题意，结合数轴正确化简绝对值是解答的关键． 【例3】有理数加法在生活中的应用 【典例】某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法的实际应用，掌握理解题意是解题的关键． 根据有理数的加法计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【变式1】为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． (2)厘米/秒 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加法应用，有理数的除法应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）各数据相加即可求解； （2）计算出电子蚂蚁爬行的总路程，再除以时间即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴电子蚂蚁最后位于起点的右侧，距起点8厘米． （2）∵， ∴（厘米/秒）． 答：电子蚂蚁的速度（厘米/秒）． 【变式2】足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【分析】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 【变式3】某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 _________ _________ _________ (1)请完成上表； (2)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (3)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (4)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)1千米 (3)20.4升 (4)下降千米 【分析】（1）利用正负数的意义解答即可； （2）求出表格中四个数值的代数和即可得出结论； （3）分别计算表格中四个数值的绝对值的和，再乘以2升即可得出结论； （4）计算飞机的前三次的高度的代数和与飞机的高度作比较即可得出结论． 【详解】（1）解：填表如下： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 （2） （千米）； （3） （千米）， （升）， 答：飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了升燃油． （4）要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降千米，理由： 飞机完成3个动作后的高度为： （千米）， 飞机的高度是1千米， 要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降， （千米）， 飞机的第4个动作是下降千米． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正负数的应用，正确理解正负数的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步讲义 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 第1课时 有理数的加法（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数加法法则 主要题型：有理数加法运算、有理数加法中的符号问题、有理数加法在生活中的应用 【知识点1】【教材重现】有理数加法法则（教材P35） 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加 绝对值相等时和为0 异号且，即互为相反数， 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 一个数同0相加 仍得这个数 【★数学技巧】一观察、二确定、三求和： 第一步观察两个数的符号是同号还是异号，有没有0； 第二步选择用哪一条加法法则； 第三步先确定和的符号，后计算绝对值 【★易错点】在进行有理数加法运算时，要牢记“先符号，后绝对值”，写的时候不要忘记符号 【例1】有理数加法运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【变式1】若，，则 ． 【变式2】一个自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，这种数叫做完全数．例如，是一个完全数，．下列各数是完全数的是（   ） A． B．8 C．6 D．4 【变式3】对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则 ． 【例2】有理数加法中的符号问题 【典例】若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，，且，则的值是（    ） A． B． C．或 D．2或6 【变式3】a，b，c，d四个数在数轴上的位置如图： 对于代数式，如果不改变原来式子中的每个字母位置的排列顺序，任意添加至少一个绝对值符号（不能添加双重绝对值），然后根据所添加的绝对值进行化简，我们把这样的操作称之为“加绝对值操作”． 例如，，… 但这样的操作不被允许，比如… 下列说法中： ①不存在这样的“加绝对值操作”，使其化简后的代数式与原来的代数式结果一样． ②进行“加绝对值操作”后的结果与原来的代数式和为0的操作不止一种． ③所有可能的“加绝对值操作”化简后共有14种不同的结果． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例3】有理数加法在生活中的应用 【典例】某地一天早晨的气温是，中午气温上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【变式1】为了丰富孩子们的校园生活，西宁市第二中学积极开展多种形式的社团课程．某周三在机器人社团活动中，高一学生小华通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行7趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子妈蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)若电子蚂蚁共用了20秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【变式2】足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【变式3】某特技飞行队进行特技表演，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升千米 下降千米 上升千米 下降千米 记作 _________ _________ _________ (1)请完成上表； (2)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？ (3)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (4)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 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