2.1 第2课时 绝对值（8大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 第2课时 绝对值（8大基本题型） 【课时概述】 知识点：相反数、绝对值 主要题型：相反数的定义、化简多重符号、相反数的应用、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值、绝对值非负性、利用绝对值比较有理数的大小、绝对值的其他应用 【知识点1】【教材重现】相反数（教材P27） 1. 相反数的定义：如果两个数它们的符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 2. 相反数的表示方法：一般地，和互为相反数，这里的表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是0。例如，当时，，2的相反数是-2，-2的相反数是2 【★易错点】因为a可以表示任意有理数，所以-a不一定是负数，应分类讨论。例如：当 时，，此时-a是正数而不是负数 3. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正 【数学素养】多重符号化简 （1）；（2）；（3） 【例1】相反数的定义 【典例】2025的相反数是（　　） A． B． C． D．2025 【变式1】实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．是的相反数 B．是的相反数 C．的相反数是 D．的相反数是 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【例2】化简多重符号 【典例】化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【变式1】下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】比较与的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和2 D．和 【例3】相反数的应用 【典例】如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【变式1】已知，则的值是 ． 【变式2】设与互为相反数，则 ． 【变式3】若a与互为相反数，则a 的值 ． 【知识点2】【教材重现】绝对值（教材P27） 1. 定义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。例如，+2的绝对值等于2，记作；-3的绝对值等于3，记作； 2. 绝对值的判断：正数的绝对值它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即如果，那么；如果，那么；如果，那么； 3. 绝对值非负性的应用：若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0，即若，则； 4. 利用绝对值比较有理数的大小： （1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小 【例4】绝对值的几何意义 【典例】下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；④0的绝对值是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【变式3】一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好，检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（    ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【例5】求一个数的绝对值 【典例】计算（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】的相反数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】在中，负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】 ， 【例6】绝对值非负性 【典例】式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式1】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【变式2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例7】利用绝对值比较有理数的大小 【典例】在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1】下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 【变式2】下列各选项中的数最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各数中，绝对值最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【例8】绝对值的其他应用 【典例】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 【变式1】锦州是闻名遐迩的苹果之乡，锦州苹果以果型端正、色泽鲜艳、汁多爽口而著称．若每筐锦州苹果的标准质量是10千克，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则下列4筐锦州苹果中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】某校检查了5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：质量最佳的球号为（   ） 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差 A．2号 B．4号 C．5号 D．3号 【变式3】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.1 认识有理数 第2课时 绝对值（8大基本题型） 【课时概述】 知识点：相反数、绝对值 主要题型：相反数的定义、化简多重符号、相反数的应用、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值、绝对值非负性、利用绝对值比较有理数的大小、绝对值的其他应用 【知识点1】【教材重现】相反数（教材P27） 1. 相反数的定义：如果两个数它们的符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 2. 相反数的表示方法：一般地，和互为相反数，这里的表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是0。例如，当时，，2的相反数是-2，-2的相反数是2 【★易错点】因为a可以表示任意有理数，所以-a不一定是负数，应分类讨论。例如：当 时，，此时-a是正数而不是负数 3. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正 【数学素养】多重符号化简 （1）；（2）；（3） 【例1】相反数的定义 【典例】2025的相反数是（　　） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 【变式1】实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“互为相反数的两个数和为，数的相反数是”是解题的关键．解题思路为根据相反数的定义，求实数的相反数． 【详解】解：∵ 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数，对于数，其相反数为，那么对于，它的相反数是 又∵ ∴ 实数的相反数是， 故选：A ． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．是的相反数 B．是的相反数 C．的相反数是 D．的相反数是 【答案】B 【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．根据相反数的定义，“只有符号不同的两个数互为相反数”判断选项的正确性即可． 【详解】A．是的相反数，故A错误； B．是的相反数，故B正确； C．与13是相反数，故C错误； D．与是相反数，故D错误． 故选：B． 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；     B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【例2】化简多重符号 【典例】化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，根据偶数个负号结果为正即可得解，熟练掌握化简多重符号的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】下列式子中，化简结果为5的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握化简方法是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，符合题意；     C. ，不符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：C． 【变式2】比较与的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数，有理数大小的比较，熟练掌握相反数中符号的化简和有理数大小的比较方法是解题的关键．先化简，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【变式3】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，化简绝对值，化简多重符号，先根据相关性质化简各个数，再结合相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，它们互为相反数，故该选项符合题意； B、，它们不互为相反数，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，它们不互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 【例3】相反数的应用 【典例】如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 【变式1】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，化简多重符号，根据互为相反数的两个数的和为0，得到，然后化简多重符号即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式2】设与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，根据题意可得，代入即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 【知识点2】【教材重现】绝对值（教材P27） 1. 定义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。例如，+2的绝对值等于2，记作；-3的绝对值等于3，记作； 2. 绝对值的判断：正数的绝对值它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即如果，那么；如果，那么；如果，那么； 3. 绝对值非负性的应用：若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0，即若，则； 4. 利用绝对值比较有理数的大小： （1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小 【例4】绝对值的几何意义 【典例】下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：根据绝对值的意义可得， 故选：B． 【变式1】下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；④0的绝对值是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数0的性质：它是绝对值最小的数；既不是正数，也不是负数；逐一判断各说法的正确性，统计错误个数． 【详解】解：绝对值最小的数是0，因为任何数的绝对值都是非负数，而0的绝对值是0，比所有正数的绝对值更小；因此，①错误； 0既不是正数，也不是负数；根据数的分类，0是中性数，既不属于正数也不属于负数；因此，②正确； 0的绝对值是0；绝对值的定义为数在数轴上到原点的距离，0到原点的距离是0，故其绝对值为0；因此，④正确； 综上，不正确的说法只有①，共1个； 故选：A． 【变式2】如果，则m，n的关系是（    ） A．互为相反数 B．，且 C．相等且都不小于0 D．m是n的绝对值 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系． 【详解】解：∵， ∴，且， 故选：B． 【变式3】一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好，检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（    ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，绝对值，根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，选取绝对值最小的数即可． 【详解】解：由题意可得各数的绝对值分别为0.01，0.03，0.04，0.02， 则绝对值最小的数是0.01， 即这四个零件中质量最好的是第一个， 故选：A． 【例5】求一个数的绝对值 【典例】计算（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它本身．根据绝对值的定义即可作答． 【详解】解：， 故选A． 【变式1】的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 【变式2】在中，负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握负有理数是小于0的整数和分数成为解题的关键． 根据负有理数是小于0的整数和分数逐个判断即可． 【详解】解：负有理数有、、，共3个． 故选C． 【变式3】 ， 【答案】 / 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 【例6】绝对值非负性 【典例】式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 【变式1】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【变式2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解是解本题的关键． 根据的最小值是即可求解． 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为， 故选：A． 【变式3】若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 【例7】利用绝对值比较有理数的大小 【典例】在中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据相反数和绝对值的定义化简后，再根据“负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解：，，， 又， ， 即在中，最小的数是， 故选：B． 【变式1】下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值、相反数和有理数的大小比较，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键； 先化简，再进行大小比较即可. 【详解】解：， 因为， 所以最小的数是，即； 故选：A. 【变式2】下列各选项中的数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】下列各数中，绝对值最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，先得出每个选项的绝对值，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴绝对值最大的数是， 故选：A． 【例8】绝对值的其他应用 【典例】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，求出各个数的绝对值，进而比较得出答案． 【详解】解：，，，， 的绝对值最小． 所以第四个球是最接近标准的球． 故选：D． 【变式1】锦州是闻名遐迩的苹果之乡，锦州苹果以果型端正、色泽鲜艳、汁多爽口而著称．若每筐锦州苹果的标准质量是10千克，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则下列4筐锦州苹果中，最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键，比较绝对值的大小，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，，， ， ∴最接近标准质量的是B， 故选：B． 【变式2】某校检查了5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：质量最佳的球号为（   ） 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差 A．2号 B．4号 C．5号 D．3号 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，利用绝对值求解是解题的关键．根据超过的记为正，不足的记为负，绝对值小的接近标准，可得最接近标准的球． 【详解】解：，，，，， ， 号球质量接近标准， 故选：D． 【变式3】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地 (2)七次巡逻行驶共耗油升 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． （1）计算出最后一次所处位置即可； （2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2）， ， （升）， 七次巡逻行驶共耗油升． 学科网（北京）股份有限公司 $$