第08讲 直线与圆的位置关系 （知识清单+15大题型+好题必刷）【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第08讲 直线与圆的位置关系 （知识清单+15大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型六 切线的应用 题型七 证明某直线是圆的切线 题型八 切线的性质定理 题型九 切线的性质和判定的综合应用 题型十 应用切线长定理求解 题型十一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十二 三角形内心有关应用 题型十三 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十四 三角形内切圆与外接圆综合 题型十五 圆内知识综合(圆的综合问题) 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点8．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型方法 【题型一】判断直线和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【题型二】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【例2】（江苏盐城·一模）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【题型三】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例3】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】 1．（2023·江苏淮安·一模）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（九年级上·江苏扬州·期中）若的半径为，点到直线的距离为，且直线与相交，则 ．（填“>”或“<”或“=”） 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【题型四】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【例4】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【举一反三】 1．（九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 2．（九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    3．（九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【题型五】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【例5】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 3．（江苏无锡·一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，、，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． (1)求圆形区域的面积； (2)某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离．（，保留三个有效数字）； (3)当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．    【题型六】切线的应用 【例6】（22-23九年级上·全国·课后作业）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【举一反三】 1．（九年级上·江苏无锡·期末）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为(   ) A． B． C．2 D． 2．（九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，线段平分交边于点F，点E为边上一动点，连接，若在点E移动的过程中，点B关于所在直线的对称点有且只有一次落在线段上，则 ． 3．（九年级上·江苏南通·期末）如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长． 【题型七】证明某直线是圆的切线 【例7】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【题型八】切线的性质定理 【例8】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，与相切于点A，连接，并延长交于点B，连接，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在同心圆O中，大圆的弦切小圆点P， (1)试说明：； (2)若，求圆环的面积. 【题型九】切线的性质和判定的综合应用 【例9】（九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【举一反三】 1．（九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【题型十】应用切线长定理求解 【例10】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（   ） A．7 B．12 C．14 D．18 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（   ） A．25 B．26 C．30 D．34 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为P、C、D．如果．则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，，求的长． 【题型十一】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例11】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个三角形的内切圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．1 【举一反三】 1．（九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【题型十二】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例12】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为O，则点O是的 心 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，内接于为直径，I是的内心，的延长线交于点D． (1)求证：； (2)连结，，若，求的长． 【题型十三】三角形内切圆与外接圆综合 【例13】（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（    ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10 【举一反三】 1．（九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【题型十四】过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【例14】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ． 3．（九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【题型十五】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【例15】（九年级上·江苏无锡·期末）以下命题：相等的圆心角所对的弧相等；长度相等的弧是等弧；直径所对的圆周角是直角；抛物线的对称轴是直线，其中真命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（江苏徐州·中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 2．（江苏无锡·一模）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是 ． 3．（九年级上·江苏淮安·期中）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y＝﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D． (1)在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为______； (2)若⊙O1上存在点P使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有______个． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的个数是（　　） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④和圆有一个公共点的直线是圆的切线． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（    ） A．130° B．120° C．110° D．100° 3．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　） A．32° B．48° C．60° D．66° 6．已知的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．平行 7．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，⊙O是的内切圆，则⊙O的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 10．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为 度．    12．已知等腰三角形中，，，以 为圆心2为半径长作，以为圆心为半径作 ，如果与内切，那么的面积等于 ． 13．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．    14．如图，线段AB与相切于点B，线段AO与相交于点C，AB=12，AC=8，则的半径长为 ． 15．设的内接三角形满足，则的内接正方形的面积等于 ． 16．△中，，，，交于，以点为圆心，以长为半径作圆，使点在此圆内，则的范围是 ． 17．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm． 18．如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB＝45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE＋FH的最大值为 . 三、解答题 19．如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 20．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE＝3，CE＝1． （1）求证：DE⊥AC； （2）求⊙O的半径． 21．如图，D是的平分线上任意一点，过点作于点，以点为圆心，长为半径作．求证：是的切线．    22．如图，是的内接三角形，，，连接并延长交于点，过点作的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求线段的长． 23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm． 24．如图，点M在⊙O上. (1)过点M作⊙O的切线MN； (2)是否存在一条与MN垂直的⊙O的切线?若存在,请作出这条切线. 25．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O． （1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）； （2）求证：BC为⊙O的切线．   1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线与圆的位置关系 （知识清单+15大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型六 切线的应用 题型七 证明某直线是圆的切线 题型八 切线的性质定理 题型九 切线的性质和判定的综合应用 题型十 应用切线长定理求解 题型十一 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十二 三角形内心有关应用 题型十三 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十四 三角形内切圆与外接圆综合 题型十五 圆内知识综合(圆的综合问题) 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 　如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）． 知识点6．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点7．切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方＝PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC＝PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2＝PA•PB＝PC•PD． 知识点8．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型方法 【题型一】判断直线和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔． 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线l的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线l的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】相切或相交/相交或相切 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件可知点在上，则可知直线与相切或相交，即可得到答案，由条件判断出点在圆上是解题的关键． 【详解】解：，， ， 点在直线上，， ∴点O到直线l的距离， 直线与相切或相交， 故答案为：相切或相交． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．    【题型二】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【例2】（江苏盐城·一模）已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，即可得到问题答案． 【详解】解：∵圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4， ∴该圆的半径＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系是解题的关键． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，若与直线相切，则r的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及勾股定理，根据题意画出草图，过点作于点，利用勾股定理求出，再根据直线与圆相切得到，最后利用等面积法求解，即可解题． 【详解】解：根据题意画图如下， 过点作于点， ，，， ， 以点C为圆心，r为半径作圆，且与直线相切， ， ， 解得， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当和射线相切时，边与有一个公共点，此为临界点，r取最小值；当经过点A时，r取最大值．由此可得结论． 【详解】解：当与相切时，如图，   ， 又∵，且， 是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴； 当经过点A时，如图，    此时r取最大值，最大值为4， 综上可知，若的边与有两个公共点，则r的取值范围． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【答案】解答不正确，理由见详解 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理， 以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围． 【详解】解：上述解答不正确，理由如下： 如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即， 结合题干可知：R的取值范围为：或 【题型三】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例3】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】根据直线与相离得到直线与圆心的距离大于半径，于是得到结论． 【详解】解：的半径为3，若直线与相离， 圆心到直线的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键． 【举一反三】 1．（2023·江苏淮安·一模）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键． 2．（九年级上·江苏扬州·期中）若的半径为，点到直线的距离为，且直线与相交，则 ．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于半径，即． 故答案是：<． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握圆与直线相交的性质． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 【题型四】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【例4】（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（0，－6），⊙P的半径为2，⊙P沿y轴以2个单位长度/s的速度向正方向运动，当⊙P与x轴相切时⊙P运动的时间为（    ） A．2s B．3s C．2s或4s D．3s或4s 【答案】C 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】平移分在x轴的下方和x轴的上方两种情况写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于x轴的下方且与x轴相切时，平移的距离为2s； 当⊙P位于x轴的上方且与x轴相切时，平移的距离为4s． 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 2．（九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 3．（九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案. 【详解】（1）∵A（5，0）、C（0，3）， ∴OC＝3，OA＝5， 又∵AD＝2， ∴OD＝OA﹣AD＝3， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， 又∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠ODC＝45°， 故答案为：45； （2）若△PCD为等腰三角形， ①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合， ∴P（0，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝5， ∴t＝5. ②当CP＝CD时， ∵CO⊥PD， ∴CO垂直平分PD， ∴PO＝OD＝3， ∴P（﹣3，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝2， ∴t＝2. ③当DC＝DP时， 在Rt△COD中，DC＝＝3， ∴DP＝3， ∴OP＝3﹣3， ∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3， ∴t＝8﹣3. 故答案为：5或2或8﹣3 （3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时， PC⊥CD， ∵∠CDO＝45°， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∵CO⊥PD， ∴PO＝DO＝3， ∴EP＝2， 即t＝2； 如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时， ∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC， ∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切， ∴t＝5. 如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时， PA为⊙P半径， 设PC＝PA＝r， 在Rt△PCD中， OP＝OA﹣PA＝5﹣r， ∵PC2＝OC2+OP2， ∴r2＝32+（5﹣r）2， 解得，r＝， ∴t＝EP＝10﹣＝. ∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切. ②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点. 如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点. 如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点. 如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝， 综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键. 【题型五】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【例5】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】4≤d≤ 【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围． 【详解】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 3．（江苏无锡·一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，、，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． (1)求圆形区域的面积； (2)某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离．（，保留三个有效数字）； (3)当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．    【答案】(1) (2) (3)A船不会进入海洋生物保护区． 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离、利用垂径定理求解其他问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，则轴，由圆周角定理、勾股定理得，则半径，． （2）过点A作轴于点D，依题意，得，在中，设，则，由勾股定理，根据图形得到，故； （3）过点A作轴于点G．过点作于点E，并延长交于点F．由垂径定理得，．在中，由勾股定理得，．所以． 【详解】（1）解：连接，如图，    则轴， ， 设为由O、B、C三点所确定圆的圆心． 则为的直径． 由已知得，由勾股定理得 半径，． （2）解：过点A作轴于点D，依题意，得， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 由题意知：，在中， ∴， ∴； （3）解：过点A作轴于点G． 过点作于点E，并延长交于点F． 由（1）知，，由垂径定理得，． ∴在中，由勾股定理得，， ∵四边形为矩形． ∴，而 ∴， ∴直线与相离，A船不会进入海洋生物保护区． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和点与圆的位置关系，灵活运用所学知识是关键． 【题型六】切线的应用 【例6】（22-23九年级上·全国·课后作业）如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【知识点】切线的应用、数轴上两点之间的距离 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏无锡·期末）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】切线的应用、切线的性质定理 【分析】连接DP，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF的面积最小，利用三角函数求出DP的长，即可求得答案. 【详解】如图，连接DP， ∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(0，1)， ∴AB＝=， ∵过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F， ∴DE＝DF，PE⊥DE， ∵PE＝PF，PD＝PD， ∴△PED≌△PFD(SSS)， ∵⊙P的半径为， ∴DE＝， 当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×， ∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE， ∴四边形PEDF面积的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 2．（九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，线段平分交边于点F，点E为边上一动点，连接，若在点E移动的过程中，点B关于所在直线的对称点有且只有一次落在线段上，则 ． 【答案】：1 【知识点】切线的应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】先找到点B关于AE所在直线的对称点H，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，以点A为圆心，AB为半径的圆与DF相切于点H，则点H为点B关于AE所在直线的对称点， ∴AB=AH，AH⊥DF， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF=∠CDF=45°， ∴∠ADF=∠DAH=45°， ∴AH=DH， ∴AD=AH=AB， ∴BC：AB=：1， 故答案为：：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（九年级上·江苏南通·期末）如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长． 【答案】（1）见解析；（2）ED＝36. 【知识点】证明某直线是圆的切线、切线的应用 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDB+∠BDO=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出AC，进而求得OC和OD，根据证得OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的长． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠DBA＝∠BDO， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠CDB＝∠CAD， ∴∠CDB+∠BDO＝90°， 即OD⊥CE， ∵D为⊙O的一点， ∴直线CD是⊙O的切线； （2）∵CD是⊙O的切线， ∴CD2＝BC•AC， ∵CB＝3，CD＝9， ∴92＝3AC， ∴AC＝27， ∴AB＝AC﹣BC＝27﹣3＝24， ∵AB是圆O的直径， ∴OD＝OB＝12， ∴OC＝OB+BC＝15， ∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E， ∴EA⊥AC， ∵OD⊥CE， ∴∠ODC＝∠EAC＝90°， ∵∠OCD＝∠ECA， ∴△OCD∽△ECA， ∴，即， ∴EC＝45， ∴ED＝EC﹣CD＝45﹣9＝36． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中． 【题型七】证明某直线是圆的切线 【例7】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、判断三角形外接圆的圆心位置、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了矩形的性质和三角形外心，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，解题的关键是掌握以上知识点． 连接、，作于，连接，如图，先确定，则垂直平分，则可判断点在上，再根据可判定与圆相切；接着利用可判断圆心不是与的交点；然后根据四边形为的内接矩形可判断与的交点是圆的圆心． 【详解】解：连接、，作于，连接，，如图， 是的中点， ， 垂直平分， ， ， ， ， ，， 点O位于的垂直平分线上， 点，，三点共线， ， ， 与圆相切； ， 点不是的中点， 圆心不是与的交点； ， ， 四边形为的内接矩形， 与的交点是圆的圆心； （1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【知识点】根据正方形的性质证明、证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得，然后根据的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形中，，， ∵与半圆相切于点，以正方形的边为直径作半圆O， ∴与半圆相切， ， ∵的周长为12， ， ， ∵， 正方形的边长为4． 故答案为：4． 2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，，．以为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，是上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、证明某直线是圆的切线、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； （1）连接，根据，，可得，根据可得，进而得出，即可得证； （2）设与交于点，得出，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）连接 ，， ， ， 又， ， ， 点在上， 为的切线； （2）设与交于点， ，， ， ， ， 在中，，， ，． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）先根据坐标可得：的半径为1，如图1，过点O作于M，根据勾股定理和面积法可得，即可得结论； （2）如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F，证明，得，，可得，并结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵点， ∴，即的半径为1， 如图1，过点O作于M， 当时，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2）解：如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D，E在直线上， ∴， 把①代入②得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质，圆周角定理，切线的判定，三角形的面积，勾股定理，三角形全等的性质和判定，坐标与图形的性质等知识，与方程相结合即可解决问题． 【题型八】切线的性质定理 【例8】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了考查切线的性质、平行线的性质、圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，与相切于点A，连接，并延长交于点B，连接，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】80 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、多边形内角和定理；由切线可知，，由圆周角定理，得，进而根据四边形内角和求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A，与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在同心圆O中，大圆的弦切小圆点P， (1)试说明：； (2)若，求圆环的面积. 【答案】(1)见详解； (2) 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线利用垂径定理求解是解题的关键． （1）如图所示，连接，利用切线的性质可得，则利用垂径定理可证明； （2）如图所示，连接，利用勾股定理和垂径定理求出，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵大圆的弦切小圆点P，， ∴， ∴由垂径定理可知； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【题型九】切线的性质和判定的综合应用 【例9】（九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm）， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线长PQ的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】其他问题(圆的综合问题)、切线的性质和判定的综合应用 【分析】连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线的性质得到OQ与PQ垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP最小时，PQ最短，根据垂线段最短得到OP垂直于AB时最短，利用面积法求出此时OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值． 【详解】连接OP、OQ，如图所示， ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ， 根据勾股定理知：PQ2=OP2﹣OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=4， ∴AB==4， ∴S△AOB=OA•OB=AB•OP，即OP==2， ∴PQ= 故选B． 【点睛】本题圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的切线性质及相关定理是本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线的性质得性质与判定，切线长定理，勾股定理，连接，先证明是的切线，进而由切线长定理得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出，则，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵与相切于点A， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为6， 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定理求解 【分析】（1）根据角平分线的性质和切线的判定，作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）设与的切点为，连接，根据切线长定理和切线性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，圆O即为所求． （2）解：设与的切点为，连接，则， 为的切线， ， ， ， ， 设，则， 在Rt中， 解得， ∴所作的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，切线长定理是解决本题的关键． 【题型十】应用切线长定理求解 【例10】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为（   ） A．7 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，熟记切线长定理的含义是解本题的关键． 根据圆外一点引出圆的两条切线相等即可求得三角形的周长是的两倍． 【详解】解：∵P为圆外一点，和为圆的切线， ∴， 同理，，， ∴， ∴， ∴ ； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为6，且圆心到大正方形中心的距离为，则大正方形的边长为（   ） A．25 B．26 C．30 D．34 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、应用切线长定理求解、坐标与图形综合 【分析】如图所示：设大正方形的中心为，设内切圆的圆心为，切点为、、、连接、，再以点为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为轴，轴，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，整理得，再表达出点，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：设大正方形的中心为，设内切圆的圆心为，切点为、、、连接、，再以点为平面直角坐标系的原点，分别以大正方形的边所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 由题意得：， 由切线长定理可得：，，，且， 则，四边形为正方形， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 则， 整理得， 则， ∵点是大正方形的中心， 则， ∴， 则, 即， ∵， ∴， 令，则， 即， ∴， 整理得：， 即， 解得：或（舍去）， 把代入中， 整理得即， 解得或， ∴或， ∴， ∴大正方形的边长为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式变形求值，综合性强，能力要求高．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为P、C、D．如果．则的长为 ． 【答案】2 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】由于是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵、为的切线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求解 【分析】（）过作，垂足为，再由角平分线的性质得到，从而可知是半圆的切线； （）由切线长定理可知，，再由线段和差可求得的长； 本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过作，垂足为， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵平分， ∴， ∴是半圆的半径， ∴是半圆的切线； （2）解：∵是半圆的两条切线，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆的两条切线，切点分别为， ∴． 【题型十一】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例11】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个三角形的内切圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．1 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的内切圆与内心，熟练掌握勾股定理和直角三角形的内切圆半径公式是解题的关键．先利用勾股定理得出直角三角形的斜边长为，再利用直角三角形的内切圆半径公式：（a、b是直角边，c为斜边）即可解答． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为6和8， 直角三角形的斜边长为， 直角三角形的内切圆的半径为． 故选：A． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、以弦图为背景的计算题 【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， ， ①，②， ， ③， ， 解得或（舍去）， 大正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆及面积，设的三边分别与相切于点，连接，的半径为，利用等面积法进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，，，，设的三边分别与相切于点，的半径为，连接， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， 解得， ∴它的内切圆半径是， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 【题型十二】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例12】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、三角形内心有关应用 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理．过点I作，，垂足分别为G，F，可得，，，设，，，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心， ∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为O，则点O是的 心 【答案】内心 【知识点】角平分线的性质定理、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心，解题的关键是根据翻折变换的性质得出为角平分线的交点．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故答案为：内心． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，内接于为直径，I是的内心，的延长线交于点D． (1)求证：； (2)连结，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】三角形内心有关应用、圆周角定理、利用垂径定理求值、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）根据I是的内心，以及圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （2）过O作于点H，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵I是的内心， ∴， ∴， ∴； （2）解：过O作于点H， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理等知识． 【题型十三】三角形内切圆与外接圆综合 【例13】（22-23九年级上·江苏南京·期末）以下列三边长度作出的三角形中，其内切圆半径最小的是（    ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，9，10 D．6，8，10 【答案】B 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】分别求出各三角形的内切圆半径，比较即可． 【详解】如图，任意一个三角形的内心O，分别过O作三边的垂线，垂足为D、E、F，连接， ∴ ∴ ∴三角形内切圆半径 A、∵三角形是等边三角形 ∴ ∴三角形内切圆半径； B、如图，中，，过A作于D， ∴， ∴， ∴ ∴三角形内切圆半径； C、如图，中，，过A作于D， 设， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴三角形内切圆半径； C、中，， ∴ ∴是直角三角形 ∴ ∴三角形内切圆半径； ∵ ∴内切圆半径最小的是4，10，10， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理，掌握内切圆半径与三角形周长和面积的关系是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】由三角形的面积为，可知最小时，有最大值，连接与交于点'，求出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：点、分别是、的中点，四边形是矩形， ， 在上，，， ， 设内切圆半径是， ， 最小时，有最大值， 如图，是的中点，所以点关于的对称点是点，连接与交于点'，    ， 此时即为最小值， ，， ， 最小值为， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将最小值转化为的长是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，解直角三角形，根据等边三角形的性质，当剪下的圆与等边三角形的三边相切时，圆的半径最大，求出等边三角形的内切圆的半径即可． 【详解】解：如图，当剪下的圆与等边三角形的三边都相切时，圆的半径最大， 设等边三角形的内切圆的圆心为O，与相切于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵等边三角形的内切圆的圆心为O， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∵是等边三角形纸片，， ∴， ∴， ∴， ∴，即r的最大值是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    【题型十四】过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【例14】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列命题中，正确的是（　　） A．三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．直角三角形的内心与外心重合 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 【答案】B 【知识点】有关切线的概念辨析、判断确定圆的条件、三角形内切圆与外接圆综合、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】根据圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义逐一进行判断即可． 【详解】A、不在同一条直线的三个点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意； B、等弧所对的圆周角相等，选项说法正确，符合题意； C、直角三角形的内心和外心不重合，选项说法错误，不符合题意； D、经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，选项说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查圆的确定，圆周角定理，内心和外心的定义，切线的定义，熟练掌握不在同一条直线的三个点确定一个圆；等弧所对的圆周角相等；三角形的内心是三条角平分线的交点，外心是三边的中垂线的交点和切线的判定定理是解题的关键． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题主要查了圆周角定理，圆的基本性质等．根据圆周角定理，圆的基本性质，三角形的内心和外心，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； （3）不在同一条直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，故原说法错误． 所以正确的命题的个数是1． 故选：A 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角直接求解即可． 根据圆周角为的弦即为直径来求解即可． 【详解】解：，，均在圆上，， 是外接圆的直径， 外接圆的圆心是的中点． 故答案为：． 3．（九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【题型十五】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【例15】（九年级上·江苏无锡·期末）以下命题：相等的圆心角所对的弧相等；长度相等的弧是等弧；直径所对的圆周角是直角；抛物线的对称轴是直线，其中真命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理及抛物线的对称轴的确定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题； 长度相等的弧不一定是等弧，故错误，是假命题； 直径所对的圆周角是直角，正确，是真命题； 抛物线的对称轴是直线，正确，是真命题， 真命题有2个， 故选C． 【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题关键是了解等弧的定义、圆周角定理及抛物线的对称轴的确定方法等知识，难度不大． 【举一反三】 1．（江苏徐州·中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案. 【详解】∵， ∴∠APO=70°， ∵， ∴∠AOP=90°，∴∠A=20°， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=20°， 又∵点C在过点B的切线上， ∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键. 2．（江苏无锡·一模）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是 ． 【答案】 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】取OB中点E得DE是△OBC的中位线，得，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，从而可知求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图1，连接OC，取OB的中点E，连接DE，则DE是△OBC的中位线， ∵⊙O的半径是2，即， ∴， 在△OBC中，DE是△OBC的中位线， ∴， 则点D是在以E为圆心，1为半径的圆上， ∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值， 如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取得最大值， ∵OA=OB=2，∠AOB=90°，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的圆． 3．（九年级上·江苏淮安·期中）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y＝﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D． (1)在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为______； (2)若⊙O1上存在点P使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有______个． 【答案】(1)（﹣4，2）、（﹣1，﹣1） (2)3 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）要先在坐标系上找到这些点，再画过这些点的图象； （2）根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等．作AD的垂直平分线，与圆的交点且是整点的点的坐标就是所求的坐标．当AD＝PD时，该点也满足条件． 【详解】（1）解：先在坐标系中找到A（﹣4，2），B（﹣3，3）， C（﹣1，﹣1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点， 一次函数y＝﹣x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2； 当y＝0时，x＝﹣2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线， 即是一次函数y＝﹣x﹣2的图象． 该直线与圆的交点是点A、C，它们的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）； 故答案是：（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）； （2）作AD的垂直平分线，与圆的交点P1，P2是所求的点（根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等），以点D为圆心，以DA为半径画弧，弧与⊙O1的交点是A点和P3点， 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，以网格为基础，熟练掌握圆的性质是解决本题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的个数是（　　） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④和圆有一个公共点的直线是圆的切线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对称轴的定义对①进行判断；根据等弧的定义对②③进行判断；根据切线的定义对④进行判断． 【详解】解：直径所在的直线是圆的对称轴，所以①错误； 半径相等的两个半圆是等弧，所以②正确； 能完全重合的两条弧是等弧，所以③错误； 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线，所以④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了切线的定义． 2．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（    ） A．130° B．120° C．110° D．100° 【答案】C 【详解】∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选C． 3．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形的中心 C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点 D．等腰三角形的外心在顶角的角平分线上 【答案】D 【分析】根据三点确定一个圆的定理、三角形外心的定义依次判断即可． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故A选项说法错误； 等边三角形的外心是三角形的中心，故B选项说法错误； 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故C选项说法错误； 等腰三角形的外心在顶角的角平分线上，故D选项说法正确； 故选：D． 【点睛】此题考查点确定圆的条件，三角形外心的定义及性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【详解】解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D， Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm； 由勾股定理，得：AB2=32+42=25， ∴AB=5； 又∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=r； ∵S△ABC=AC•BC=AB•r； ∴r=2.4cm， 故选B． 【点睛】直线与圆的位置关系． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（　　） A．32° B．48° C．60° D．66° 【答案】D 【分析】根据切线长定理可知CA=CD，求出∠CAD，再证明∠DBA=∠CAD即可解决问题． 【详解】解：∵CA、CD是⊙O的切线， ∴CA=CD， ∵∠ACD=48°， ∴∠CAD=∠CDA=66°， ∵CA⊥AB，AB是直径， ∴∠ADB=∠CAB=90°， ∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°， ∴∠DBA=∠CAD=66°， 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．已知的半径是一元二次方程 的一个根，圆心O到直线l的距离 ，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵的半径是一元二次方程 的一个根， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴直线l与的位置关系是相交， 故选：A． 【点睛】本题考查的解一元二次方程以及直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 8．如图，在中，，，，⊙O是的内切圆，则⊙O的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理可求得，设三边内切于点、、，连接、、，可得，，，且，由，列出方程即可求出的内切圆的半径的值． 【详解】解：如图，，，， ， 设三边内切于点、、，连接、、， ，，，且， 连接、、， ， 即， ， 解得． 的内切圆的半径为1． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的定义和三角形面积的求法． 9．已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 【答案】D 【分析】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2＝256，因为a2+b2＝122＝144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点． 设AB＝a，BC＝b，则有2＝， ∴a+b＝16， ∴a2+2ab+b2＝256， ∵a2+b2＝122＝144， ∴2ab＝112， ∴ab＝28． ∴△ABC的面积为28． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆半径r=，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：切于， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目． 二、填空题 11．如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为 度．    【答案】54 【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解∶∵是的切线，是切点， ∴， ∴ 故答案为∶54． 12．已知等腰三角形中，，，以 为圆心2为半径长作，以为圆心为半径作 ，如果与内切，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据两圆内切的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵的半径为2，的半径为6，与内切， ∴， 过点A作于D， 则， 由勾股定理得，， ∴面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆与圆的位置关系、等腰三角形的性质，掌握两圆内切⇔d=R-r是解题的关键． 13．如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ．    【答案】/104度 【分析】根据内切圆得到，，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解： ∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查三角形内角和定理及三角形内切圆的定义，解题的关键是根据内切圆得到，． 14．如图，线段AB与相切于点B，线段AO与相交于点C，AB=12，AC=8，则的半径长为 ． 【答案】5 【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO＝90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长． 【详解】解：连接OB， ∵AB切⊙O于B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， 设⊙O的半径长为r， 由勾股定理得：r2+122＝（8+r）2， 解得r＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是利用好切线的性质. 15．设的内接三角形满足，则的内接正方形的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．先连接，并延长交于点D，再连接，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得，而是直径，那么易知是直角三角形，再利用直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半，那么可求，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条互相垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点D，再连接，如图， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴的直径是4， ∵的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的， ∴=． 故答案为：8． 16．△中，，，，交于，以点为圆心，以长为半径作圆，使点在此圆内，则的范围是 ． 【答案】大于 【分析】首先根据根据勾股定理求得的长，再根据面积公式求出，继而利用直线与圆的位置关系求得答案． 【详解】解：如图， ∵中，，，， ∴． ∵， ∴． ∴以长为半径作圆，使点在此圆内，则的范围是大于． 故答案为大于． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 17．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA= cm． 【答案】5 【详解】如图，设DC与⊙O的切点为E， ∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B， ∴PA=PB， 同理，可得：DE=DA，CE=CB， 则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）， ∴PA=PB=5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了切线的性质，解题的关键是熟练掌握切线性质． 18．如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB＝45°，E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE＋FH的最大值为 . 【答案】4－ 【分析】接OA，OB，根据圆周角定理可得出∠AOB=90°，故△AOB是等腰直角三角形．由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=为定值，则GE+FH=GH-EF=GH-，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值，问题得解． 【详解】解：连接OA，OB， ∵∠ACB=45°， ∴∠AOB=90°． ∵OA=OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB=2， ∵点E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF=AB=， ∴GE+FH=GH-EF， 当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值． GE+FH=GH-EF=4- 故答案为4-． 【点睛】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键． 三、解答题 19．如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形，. ∴， ∴ ∵，且， ∴. ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”． 20．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE＝3，CE＝1． （1）求证：DE⊥AC； （2）求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为5． 【分析】（1）连接AD，由DE是 O的切线，得到∠ODE=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，等量代换得到∠CAD=∠ODA，根据平行线的判定 定理得到AE∥OD，于是得到结论； （2）作OF⊥AC于F，推出四边形OFED是矩形，根据矩形的性质得到OF=ED=3，OD=EF，设 O的半径为R，则AF=CF=R-1，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∵D是的中点， ∴＝， ∴∠CAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AE∥OD， ∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°， ∴DE⊥AC； （2）解：作OF⊥AC于F， 则AF＝CF，四边形OFED是矩形， ∴OF＝ED＝3，OD＝EF， 设⊙O的半径为R，则AF＝CF＝R﹣1， 在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2， ∴（R﹣1）2+32＝R2， 解得R＝5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查切线的性质, 圆心角、弧、弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．如图，D是的平分线上任意一点，过点作于点，以点为圆心，长为半径作．求证：是的切线．    【答案】证明见解析． 【分析】过点作于点，由题意易得，然后问题可求证． 【详解】证明：过点作于点． 又是的平分线上任意一点，， ∴， 即是的半径， 是的切线． 【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 22．如图，是的内接三角形，，，连接并延长交于点，过点作的切线，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)+3 【分析】（1）连接CD，OC，证明△ACD是等腰直角三角形，得到OC⊥AD，再根据切线的性质得到EC⊥OC，故可求解； （2）作AF⊥EC于F点，证明四边形AOCF是正方形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，连接CD，∵， ∴∠ADC=， ∵AD是直径， ∴AC⊥CD， ∴△ACD是等腰直角三角形， 连接OC，∴OC⊥AD， ∵EC是的切线， ∴EC⊥OC， ∴； （2）∵，△ACD是等腰直角三角形， ∴AO=OC=3，AC=， 如图，作AF⊥EC于F点， ∴四边形AOCF是矩形，∵OA=OC， ∴四边形AOCF是正方形， ∴AF=CF=3， ∴EF=， ∴EC=EF+CF=+3． 【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作出辅助线求解． 23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm． 【答案】（1）相离（2）相切（3）相交 【分析】先根据题意画出图形,由勾股定理求出AB的长,作CD⊥AB于D,利用三角形的面积公式得出CD的长,再根据r的值与CD的大小进行解答. 【详解】 ∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝5cm. 作CD⊥AB于D, 则 AC·BC＝ AB·CD, CD＝ cm. (1) ∵CD＝2.4cm＞r＝2cm,  ∴直线AB与⊙C相离. (2) ∵CD＝2.4cm＝r＝2.4cm,  ∴直线AB与⊙C相切. (3) ∵CD＝2.4cm＜r＝3cm,  ∴直线AB与⊙C相交. 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系,即设圆的半径为r,圆心到直线l的距离为d, 半径大于圆心到直线的距离时，圆与直线相交.半径等于圆心到直线的距离时，圆与直线相切.半径小于圆心到直线的距离时，圆与直线外离. 24．如图，点M在⊙O上. (1)过点M作⊙O的切线MN； (2)是否存在一条与MN垂直的⊙O的切线?若存在,请作出这条切线. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【分析】(1)根据“过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”求解即可; (2)只要作出一条线使其垂直于OM，再利用切线的定义作图即可. 【详解】如图，(1)连接OM，过点M作MN⊥OM，则直线MN即为所求. (2)存在.过点O作PQ⊥OM,交⊙O于点P和Q，分别过点P和Q作MN的垂线即可. 【点睛】本题考查了切线的画法，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键. 25．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【答案】（1）；（2）3＜r＜5． 【分析】（1）利用矩形面积即可解决问题； （2）利用圆的半径的特点即可求得. 【详解】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD＝＝5， ∵AC•DE＝DC•AD， ∴DE＝＝， （2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5． 【点睛】本题考点涉及矩形和圆，难度低，数量掌握矩形和圆的性质是解题关键. 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O． （1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）； （2）求证：BC为⊙O的切线．    【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求； （2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线． 【详解】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；    （2）证明：连接OD． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC． 又∵∠C＝90°， ∴∠ODB＝90°， ∴BC是⊙O的切线． 【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$