18.5 分式方程-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 18.5 分式方程——课时 1 分式方程及其解法 知识点 1 分式方程的定义 1.在① 𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥 ，② 1 𝑎 − 3 = 𝑎 + 4，③ 𝑥 2 + 5𝑥 = 6，④ 2𝑥 𝑥−3 = 1中，其中关于𝑥 的分 式方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 知识点 2 解分式方程 2.解分式方程1 − 1 3𝑥−1 = − 5 2−6𝑥 时，去分母变形正确的是 ( ) A.2 − 6𝑥 + 2 = −5 B.6𝑥 − 2 − 2 = −5 C.2 − 6𝑥 − 1 = 5 D.6𝑥 − 2 + 1 = 5 3.代数式 3 𝑥−1 与代数式 2 𝑥−3 的值相等，则𝑥 = ___. 4.解分式方程： （1） 𝑥+1 𝑥−1 − 4 𝑥2−1 = 1 . （2） 1 𝑥−5 − 10 𝑥2−10𝑥+25 = 0 . 112/115 8 数上 基本功 知识点 3 根据方程解的情况求字母的值或取值范围 5.已知关于𝑥的分式方程 𝑚 𝑥+5 = 1 ，对于该方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的 解是负数，则𝑚 < 5；乙：当𝑚 > 5 时，方程的解是正数.关于甲、乙两人的说法，正确的是( ) A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 6.若关于𝑥的分式方程 2 𝑥−4 = 3 + 𝑚 4−𝑥 没有增根，则𝑚 的值可以为________（写出一个即可）. 7.小丽解分式方程1 − 𝑥−3 2𝑥+2 = 3𝑥 𝑥+1 时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得1 − (𝑥 − 3) = 6𝑥,⋯⋯ 第一步 解得𝑥 = 4 7 ,⋯⋯ 第二步 ∴ 原分式方程的解是𝑥 = 4 7 .……第三步 （1）小丽的解答过程从第______步开始出错，这一步应为______________________， 这一步的依据是_________________________. （2）小丽的解答过程缺少的步骤是____________. （3）请写出正确的解题过程. 113/115 8 数上 基本功 18.5 分式方程 课时 2 分式方程与实际问题的综合 知识点 分式方程的实际应用 1.某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个.已知足球的单价比排球 的单价高60% ，用 500元购买的排球数量比用 720 元购买的足球数量多 1 个，求排球和足球 的单价各是多少.小宇同学根据题意得到方程 500 𝑥 − 720 (1+60%)𝑥 = 1，则方程中未知数𝑥 所表示的 是( ) A.足球的单价 B.排球的单价 C.足球的数量 D.排球的数量 2.甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息: 信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多 5小时； 信息二：甲 4小时完成的工作量与乙 3小时完成的工作量相等； 信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的 2倍. 如果每小时只安排一名打字员，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需( ) A.13 1 6 小时 B.13 1 2 小时 C.14 1 6 小时 D.14 1 2 小时 3.2024年 12月 29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的 2024 上合昆明马拉松在美丽的 滇池之畔云南海埂会堂前鸣枪起跑.甲、乙两人参加约 40千米的比赛，两人同时出发，甲每小 时比乙多跑 2千米，最终甲比乙早 1小时到达.设乙的平均速度为每小时𝑥 千米，根据题意可 列方程为____________. 4.现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖 50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表. 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 20 10 20 单价（元/千克） 15 20 25 商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷ 混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要 使什锦糖的单价每千克提高 1元，则需再加入丙种糖______千克. 114/115 8 数上 基本功 5.根据以下素材，完成任务. 计算七年级、八年级两支志愿者队伍的人数或人均植树棵数 素材 1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活 动 素材 2 数学兴趣小组的小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者队伍均植树 720棵； ②八年级志愿者队伍比七年级志愿者队伍人均多植树 2棵； ③八年级志愿者队伍的人数比七年级志愿者队伍的人数少 20% 任务 请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者队伍的人数或人 均植树棵数提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程 115/115 8 数上 基本功 18.5 分式方程——课时 1 分式方程及其解法 知识点 1 分式方程的定义 1.在① 𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥 ，② 1 𝑎 − 3 = 𝑎 + 4，③ 𝑥 2 + 5𝑥 = 6，④ 2𝑥 𝑥−3 = 1中，其中关于𝑥 的分 式方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】①𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥 不是分式方程；② 1 𝑎 − 3 = 𝑎 + 4是关于𝑎 的分式方程； ③ 𝑥 2 + 5𝑥 = 6是一元一次方程；④ 2𝑥 𝑥−3 = 1是关于𝑥 的分式方程.故选 A. 知识点 2 解分式方程 2.解分式方程1 − 1 3𝑥−1 = − 5 2−6𝑥 时，去分母变形正确的是 ( ) A.2 − 6𝑥 + 2 = −5 B.6𝑥 − 2 − 2 = −5 C.2 − 6𝑥 − 1 = 5 D.6𝑥 − 2 + 1 = 5 【解析】原方程两边同乘2(1 − 3𝑥)得2(1 − 3𝑥) + 2 = −5，即2 − 6𝑥 + 2 = −5 .故选 A. 3.代数式 3 𝑥−1 与代数式 2 𝑥−3 的值相等，则𝑥 = ___. 【解析】根据题意，得 3 𝑥−1 = 2 𝑥−3 ，去分母，得3𝑥 − 9 = 2𝑥 − 2，解得𝑥 = 7 . 经检验，𝑥 = 7 是分式方程的解.故答案为 7. 4.解分式方程： （1） 𝑥+1 𝑥−1 − 4 𝑥2−1 = 1 . 【解】方程两边乘(𝑥 + 1)(𝑥 − 1),得𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 4 = 𝑥2 − 1,解得𝑥 = 1 .经检验， 当𝑥 = 1时，(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0，∴ 原分式方程无解. （2） 1 𝑥−5 − 10 𝑥2−10𝑥+25 = 0 . 【解】去分母得𝑥 − 5 − 10 = 0,解得𝑥 = 15.经检验,𝑥 = 15 是原分式方程的解. 173/176 8 数上 基本功 知识点 3 根据方程解的情况求字母的值或取值范围 5.已知关于𝑥的分式方程 𝑚 𝑥+5 = 1 ，对于该方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：若方程的 解是负数，则𝑚 < 5；乙：当𝑚 > 5 时，方程的解是正数.关于甲、乙两人的说法，正确的是( ) A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 【解析】 𝑚 𝑥+5 = 1，去分母得𝑚 = 𝑥 + 5，解得𝑥 = 𝑚 − 5 .要使分式方程有解， 则𝑥 + 5 ≠ 0，∴ 𝑚 − 5 + 5 ≠ 0，∴ 𝑚 ≠ 0，∴ 当𝑚 < 5且𝑚 ≠ 0时，𝑥 = 𝑚 − 5 < 0 ， 当𝑚 > 5时，𝑥 = 𝑚 − 5 > 0，∴ 甲说法错误,乙说法正确.故选 B. 6.若关于𝑥的分式方程 2 𝑥−4 = 3 + 𝑚 4−𝑥 没有增根，则𝑚 的值可以为________（写出一个即可）. 【解析】将分式方程两边都乘(𝑥 − 4)，得2 = 3(𝑥 − 4) − 𝑚.当𝑥 − 4 = 0 时， 𝑥 = 4.把𝑥 = 4代入2 = 3(𝑥 − 4) − 𝑚，解得𝑚 = −2 ，所以若原分式方程没有增根， 则𝑚 ≠ −2 .故答案为 1（答案不唯一）. 7.小丽解分式方程1 − 𝑥−3 2𝑥+2 = 3𝑥 𝑥+1 时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得1 − (𝑥 − 3) = 6𝑥,⋯⋯ 第一步 解得𝑥 = 4 7 ,⋯⋯ 第二步 ∴ 原分式方程的解是𝑥 = 4 7 .……第三步 （1）小丽的解答过程从第______步开始出错，这一步应为______________________， 这一步的依据是_________________________. 【解】小丽的解答过程从第一步开始出错， 这一步应为2𝑥 + 2 − (𝑥 − 3) = 6𝑥， 这一步的依据是等式的性质.故答案为一，2𝑥 + 2 − (𝑥 − 3) = 6𝑥，等式的性质. （2）小丽的解答过程缺少的步骤是____________. 解析：小丽的解答过程缺少的步骤是检验，故答案为检验. （3）请写出正确的解题过程. 【解】1 − 𝑥−3 2𝑥+2 = 3𝑥 𝑥+1 ，去分母得2𝑥 + 2 − (𝑥 − 3) = 6𝑥，解得𝑥 = 1 .经检验， 𝑥 = 1是原方程的解，∴ 原分式方程的解是𝑥 = 1 . 174/176 8 数上 基本功 18.5 分式方程 课时 2 分式方程与实际问题的综合 知识点 分式方程的实际应用 1.某校为满足学生课外活动多样化的需求，欲购买排球和足球若干个.已知足球的单价比排球 的单价高60% ，用 500元购买的排球数量比用 720 元购买的足球数量多 1 个，求排球和足球 的单价各是多少.小宇同学根据题意得到方程 500 𝑥 − 720 (1+60%)𝑥 = 1，则方程中未知数𝑥 所表示的 是( ) A.足球的单价 B.排球的单价 C.足球的数量 D.排球的数量 【解析】∵ 足球的单价比排球的单价高60% ，用 500元购买的排球数量比用 720元购买的足 球数量多 1个， 500 𝑥 − 720 (1+60%)𝑥 = 1，∴ 方程中未知数𝑥 所表示的是排球的单价，故选 B. 2.甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息: 信息一：甲单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多 5小时； 信息二：甲 4小时完成的工作量与乙 3小时完成的工作量相等； 信息三：丙的工作效率是甲的工作效率的 2倍. 如果每小时只安排一名打字员，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需( ) A.13 1 6 小时 B.13 1 2 小时 C.14 1 6 小时 D.14 1 2 小时 【解析】设总工作量为 1,甲单独完成任务需𝑥小时，则乙单独完成任务需(𝑥 − 5) 小时.由题意 得 4 𝑥 = 3 𝑥−5 ，解得𝑥 = 20.经检验，𝑥 = 20 是所列方程的解,所以甲单独完成任务需 20小时,乙 单独完成任务需 15小时.因为丙的工作效率是甲的工作效率的 2倍，所以丙单独完成任务需 1 0 小时.因为一轮的工作量为 1 20 + 1 15 + 1 10 = 13 60 ，四轮的工作量为 13×4 60 = 52 60 = 13 15 ，所以四轮后剩 余的工作量为1 − 13 15 = 2 15 ,所以剩余的工作量还需要甲、乙工作 1小时，丙再工作( 2 15 − 1 20 − 1 15 ) ÷ 1 10 = 1 6 （时）,所以按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务,共需3 × 4 + 2 + 1 6 = 14 1 6 （时）.故选 C. 3.2024年 12月 29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的 2024 上合昆明马拉松在美丽的 滇池之畔云南海埂会堂前鸣枪起跑.甲、乙两人参加约 40千米的比赛，两人同时出发，甲每小 时比乙多跑 2千米，最终甲比乙早 1小时到达.设乙的平均速度为每小时𝑥 千米，根据题意可 175/176 8 数上 基本功 列方程为____________. 【解析】由题意得甲的平均速度为每小时(𝑥 + 2)千米，则 40 𝑥 = 40 𝑥+2 + 1 . 4.现有甲、乙、丙三种糖混合而成的什锦糖 50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表. 甲种糖 乙种糖 丙种糖 千克数 20 10 20 单价（元/千克） 15 20 25 商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷ 混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要 使什锦糖的单价每千克提高 1元，则需再加入丙种糖______千克. 【解析】设需再加入丙种糖𝑥 千克.根据题意得 15×20+20×10+25(20+𝑥) 20+10+20+𝑥 = 15×20+20×10+25×20 20+10+20 + 1，解得𝑥 = 12.5，经检验，𝑥 = 12.5 是所列方程的解，且符合题意，∴ 需再加入丙种糖 12.5千克.故答案为 12.5. 5.根据以下素材，完成任务. 计算七年级、八年级两支志愿者队伍的人数或人均植树棵数 素材 1 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者队伍分别参加了两地的植树活 动 素材 2 数学兴趣小组的小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息： ①七年级、八年级两支志愿者队伍均植树 720棵； ②八年级志愿者队伍比七年级志愿者队伍人均多植树 2棵； ③八年级志愿者队伍的人数比七年级志愿者队伍的人数少 20% 任务 请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者队伍的人数或人 均植树棵数提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程 【解】（答案不唯一）提出问题：分别求出七、八年级两支志愿者队伍的人数. 解决问题：设七年级志愿者队伍有𝑥人，则八年级志愿者队伍有(1 − 20%)𝑥 人. 根据题意得 720 (1−20%)𝑥 − 720 𝑥 = 2，解得𝑥 = 90 . 经检验，𝑥 = 90 是所列方程的解，且符合题意， ∴ (1 − 20%)𝑥 = (1 − 20%) × 90 = 72 . 答：七年级志愿者队伍有 90人，八年级志愿者队伍有 72人. 176/176