18.3 分式的加法与减法-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 18.3 分式的加法与减法 课时 1 分式的加减 知识点 1 同分母分式的加减 1.计算 1 𝑥 + 2 𝑥 的结果为( ) A. 3 2𝑥 B.3 C. 2 𝑥2 D.3 𝑥 2.已知𝑀 = 𝑥 𝑥−1 ，𝑁 = 1 𝑥−1 ，则( ) A.𝑀 +𝑁 = 1 B.𝑀 −𝑁 = 1 C.𝑀 ⋅ 𝑁 = 1 D.𝑀 𝑁 = 1 3.若 𝑥2 1−𝑥 + 1 𝑥−1 的值小于−6,则𝑥 的取值范围为( ) A.𝑥 > −7 B.𝑥 < −7 C.𝑥 > 5 D.𝑥 > −5 4.计算 3𝑥 (𝑥−1)2 − 3 (1−𝑥)2 的结果是____. 5.计算： −2 4𝑚2−9 + 2𝑚+(−1) 4𝑚2−9 . 104/115 8 数上 基本功 知识点 2 异分母分式的加减 6.已知𝑥是整数，且 2 𝑥+3 + 2 3−𝑥 + 2𝑥+18 𝑥2−9 为整数，则所有符合条件的𝑥 的值的和为( ) A.12 B.15 C.18 D.20 7.老师布置了一道分式计算题： 𝑥 𝑥−𝑦 − 𝑦 𝑥+𝑦 ，小强是这样解答的： 他从第____步开始出现错误（填序号）. 8.计算 1 𝑥2+𝑥 + 1 𝑥2+3𝑥+2 + 1 𝑥2+5𝑥+6 的结果为______. 9.生活中有这么一个现象：“有一杯𝑎克的糖水里含有𝑏 克糖，如果在这杯糖水里再加入𝑚克糖 （仍不饱和），则糖水更甜了”，其中𝑎 > 𝑏 > 0，𝑚 > 0 . （1）加入𝑚克糖之前糖水的含糖率𝐴 =____；加入𝑚克糖之后糖水的含糖率𝐵 = ____； （2）请你解释一下这个生活中的现象. 10.已知：𝑃 = 𝑥 + 1，𝑄 = 4𝑥 𝑥+1 . （1）当𝑥 > 0时，比较𝑃与𝑄 的大小，并说明理由； （2）设𝑦 = 3 𝑃 − 𝑄 2 ，若𝑥是整数，求整数𝑦 的值. 105/115 8 数上 基本功 18.3 分式的加法与减法 课时 2 分式的混合运算 知识点 1 分式的混合运算 1.在计算( 𝑥−1 𝑥+1 + 1) ⋅ 𝑥+1 𝑥 时，嘉嘉和琪琪的使用方法不同， 但计算结果相同，两人的计算过程如下： 嘉嘉：( 𝑥−1 𝑥+1 + 1) ⋅ 𝑥+1 𝑥 = ( 𝑥−1+1 𝑥+1 ) ⋅ 𝑥+1 𝑥 = 𝑥 𝑥+1 ⋅ 𝑥+1 𝑥 = 1 . 琪琪：( 𝑥−1 𝑥+1 + 1) ⋅ 𝑥+1 𝑥 = 𝑥−1 𝑥+1 ⋅ 𝑥+1 𝑥 + 𝑥+1 𝑥 = 𝑥−1 𝑥 + 𝑥+1 𝑥 = 2𝑥 2𝑥 = 1 . 则关于两人的计算过程，说法正确的是( ) A.嘉嘉正确 B.琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 2.化简：(1 − 5 𝑎+2 ) ÷ ( 5 𝑎+2 − 𝑎 + 2) = ______. 3.已知 3−𝑥 𝑥2−2𝑥+1 ÷ 𝑃 = 1 + 𝑥2−2𝑥−1 1−𝑥 . （1）求𝑃 （化成最简形式）； （2）当𝑥 = 𝑛时，记𝑃的值为𝑃(𝑛).如：当𝑥 = 2时，𝑃的值为𝑃(2)；当𝑥 = 3时，𝑃 的值为𝑃(3)；…. 请写出关于𝑡 的不等式 𝑡−2 4 − 3−𝑡 2 ≥ 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6) + 𝑃(7) + 𝑃(8) 的解集 及最小整数解. 知识点 2 分式的化简求值 4.已知𝑎 − 2𝑏 = 0且𝑏 ≠ 0，则( 𝑏 𝑎−𝑏 + 1) ⋅ 𝑎2−𝑏2 𝑎2 的值为( ) A.3 2 B.1 2 C.3 D.−1 106/115 8 数上 基本功 5.有这样一道题：计算 𝑥2−2𝑥+1 𝑥2−1 ÷ 𝑥−1 𝑥2+𝑥 − 𝑥 的值，其中𝑥 = 2004.甲同学把“𝑥 = 2 004”错抄 成“𝑥 = 2040 ”，但他的计算结果也是正确的.请说明原因. 6.先化简： 𝑥2−4𝑥+4 𝑥+1 ÷ ( 3 𝑥+1 − 𝑥 + 1) ，再从不等式组{ 5 − 2𝑥 ≥ 1, 𝑥 + 1 > 0 的整数解中选择一个合适的 值代入求值. 7.已知𝑎，𝑏，𝑐 是非零有理数，且满足𝑎𝑏2 = 𝑐 𝑎 − 𝑏，则( 𝑎2𝑏2 𝑐2 − 2 𝑐 + 1 𝑎2𝑏2 + 2𝑎𝑏 𝑐2 − 2 𝑎𝑏𝑐 ) ÷ ( 2 𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 𝑐 ) ÷ 101 𝑐 等于______. 107/115 8数上基本功 183分式的加法与减法 课时1分式的加减 知识点1同分母分式的加减 1.计算：+的结果为( B.3 C. D.3 2 【解析】+=是，故选D, 2已知M=名，N=名，则( A.M+N=1 B.M-N=1 C.M.N=1 D.M=1 N 【解】：M=奇N=六M+N=六+六-碧， M-N=点-1，M:N=六吉=， 为=点+六=六号=x,故选B 3.若二+一的值小于-6，则x的取值范围为( A.x>-7 B.x<-7 C.x>5 D.x>-5 【解折】号+六=器一亡==-6x+)=-x-1.:原式的值小于-6，-x- x2 1-X 1<-6,解得x>5.故选C. 4,计算3x 3 (-1)21) 的结果是 【解析】原式=3x-=3 (x-1)2 5计算：，2 +2m+(-1) 4m2-9 4m2-9 【解】原式= 2m-3 1 = (2m+3)(2m-3)一2m+3 162/176 8数上基本功 知识点2异分母分式的加减 6已知x是整数，且名。+品+为整数，则所有符合条件的x的值的和为() x2-9 A.12 B.15 0.18 D.20 【解折】品+品+= 2(x+3) 2x+18 2x+6 5、2 x2-9=(x+3)(x-3)x+3)(x-3)十x+3)x-3)(x+3)x-3x-3 :x为整数，且原式为整数，·x一3=±1或±2，·x=4或2或5或1，·所有符合条件的x的 值的和为4+2+5+1=12，故选A. 一x中，小强是这样解答的： 7,老师布置了一道分式计算题：x一y x(x+y) t-）-x2+xy-xy-y2 x2-y2 x-Y x+y(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y) =1 ① ② ③ ④ 他从第步开始出现错误（填序号） 【解析】原式=+》 y(x-y) =x2+xy-xy+y2 x2+y2 =x2+y2 (x+y)(x-y)(x+y)(x-y)(x+y)(x-y) +x-)=x2，所以他从第②步开 始出现错误，故答案为②. 8计算x+43x2 1 x2+5x+6 的结果为 【解析】原式=1 +网+=++2= 1 1 =11 3 x(x+3) 9.生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖 (仍不饱和)，则糖水更甜了”，其中a>b>0,m>0. (1)加入m克糖之前糖水的含糖率A=；加入m克糖之后糖水的含糖率B=一； 【解】加入m克糖之前，：糖水为a克，其中糖为b克，÷含糖率A=加入m克糖之后，： 糖水为(a+m)克，其中糖为(b+m)克，·含糖率B=+m a+m 故答案为号细 (2)请你解释一下这个生活中的现象 【解】A=总B=件 a+m B-A=btmb abtam ab+bm am-bm m(a-b) Fa+m一a=aa+m a(a+m) a(a+m) a(aim'a>b>0,m>0, ·B-A>0,B>A,·加糖后的糖水更甜了. 10.已知：P=x+1,Q=4x x+1 163/176 8数上基本功 (1)当x>0时，比较P与Q的大小，并说明理由； 【解】P之Q理由：P=x+1,Q=经， ÷p-Q=x+1-红=任+12-4=x-12 x+1 X+1 x41”x>0, x+1>0:c-10≥0，≥0，P≥0. (2)设y=是-是若x是整数，求整数y的值 【解】y=-是=品一兴=器==-2+品×，y均为整数， x+1 ·x+1的值为±1，±5，÷整数y的值为3或-7或-1或-3， 164/176 8数上基本功 18.3分式的加法与减法 课时2分式的混合运算 知识点1分式的混合运算 1.在计算(+1)，生时，嘉嘉和琪琪的使用方法不同， 但计算结果相同，两人的计算过程如下： 嘉嘉：品+)安=的生=希生=1 琪琪：+1)生=生+华=号+华=登=1. x+1 x 2x 则关于两人的计算过程，说法正确的是() A.嘉嘉正确 B.琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 【解析】：+)安=+钓生=生=型=2， x+1 x+1 x ”嘉嘉从第一步开始出错；+1)生=生+生=父+华=经=2， x+l x ÷琪琪从第三步开始出错，故两人的计算过程都不正确，故选D 2化简：1-)*2-a+2)= 【解析】1-)÷(2-a+2)=2+5-=2 a+2-a-a+3=- a+2 a+2 a+2 a43 故答案为-a中3· 1 3已知22÷P=1+ 1-X (1)求P(化成最简形式)； 【解】P=+1+=品+=器=可产六 1-x (2)当x=n时，记P的值为P(n).如：当x=2时，P的值为P(2);当x=3时，P的值为P(3)；…, 请写出关于t的不等式号-号≥P(2☒)+P3)+P(④+P(5)+P6)+P()+P(8的解集 及最小整数解 【解】P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8) 1 1 1 1 1 =2×(2-D+3×(3-)+4×(4-D+5×(5-D+6×(6-D+7×(0- 十 1 8×(8-1) 165/176 8数上基本功 =1-+++片+甘++1-， 号-号≥2t-2)-43-t)≥7，解得t≥3%解集为≥3号，最小整数解为4 知识点2分式的化简求值 4已知a-2b=0且6≠0，则÷。+1)的值为() A.3 B.1 C.3 D.-1 2 【解析】原式=（白。+台·+a-D=品。a+a-D=:a-2b=0, a-b a2 a-b a2 b≠0，a=2b,则原式=2bt=三，故选A. 2b 2 5.有这样一道题：计算2÷-x的值，其中x=2004.甲同学把“x=2004”错抄 x2-1 x2+x 成“x=2040”,但他的计算结果也是正确的.请说明原因 【解】：-21+品-x=型-x=x-x=0,÷无论x为何值 x2-1 x2+x (x-1)(x+1)x-1 原式的值都为0，÷甲同学把“x=2004”错抄成“x=2040”,其结果也是0， :他的计算结果也是正确的 6先化简：4“÷（层-x+1),再从不等式组，。的整数解中选择-个合适的 x+1 (x+1>0 值代入求值 【解】x+4÷（3 ÷3--16x+ +1 +1x+1)=-2 x+1 x+1 x+1 =-2÷4仁x=2-.x+1 x+1 x+1x+1(2+x)(2-x) 2+x 解不等式组5-2x之1得-1<x≤2， x+1>0, ÷不等式组的整数解为0,1,2.x+1≠0，(2+x)(2-x)≠0， “x≠-1，且x≠±2，÷x=0或1. 当x=1时，原式=品=（或当x=0时，原式-铝=） 166/176 8数上基本功 1.已知a,b,c是非零有理数，且满足a62=b,则(g-+品+曾-品）+（后-岂+ g等于 【解析】~ab2=-b,a2b2=c-ab,a2b2-c=-ab,c-a2b2=ab, 警-+亦+曾品=-2+器-品= +-=(0+22=G2+ abc2 abc2 3--12-2a地=2c-2a0=2=2 abc abc c 故答案为-茹 167/176