18.1.2 分式的基本性质-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 18.1.2 分式的基本性质——课时 1 分式的基本性质 知识点 分式的基本性质 1.下列各式从左到右变形正确的是( ) A.𝑎 𝑏 = 𝑎𝑚 𝑏𝑚 B.𝑎𝑚 𝑏𝑚 = 𝑎 𝑏 C.𝑎 𝑏 = 𝑎−1 𝑏−1 D. −𝑎 𝑎−𝑏 = − 𝑎 𝑏−𝑎 2.不改变分式 2−𝑥2+𝑥 −2𝑥3+𝑥−3 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是( ) A. 𝑥2+𝑥+2 2𝑥3+𝑥−3 B. 𝑥2−𝑥+2 2𝑥3+𝑥−3 C. 𝑥2+𝑥−2 2𝑥3−𝑥+3 D. 𝑥2−𝑥−2 2𝑥3−𝑥+3 3.如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 4.若分式 𝐴 2𝑥+𝑦 中的𝑥和𝑦 都扩大为原来的 3倍后，分式的值不变，则𝐴 可能是( ) A.3𝑥 + 2𝑦 B.3𝑥 + 3 C.2𝑥𝑦 D.3 5.若 2(𝑥−1) 3(𝑥−1) = 2 3 成立，则𝑥 的取值范围是______. 6.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数化为整数： （1） 0.1𝑎+2𝑏 0.4𝑎+0.3𝑏 = ___； （2） 1 2 𝑥2+2𝑥−1 1 3 𝑥3+𝑥2− 1 3 = _________ 96/115 8 数上 基本功 7.不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“-”号： −3𝑥+1 −𝑥2+7𝑥−2 =_______. 8.阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知 𝑥 𝑎−𝑏 = 𝑦 𝑏−𝑐 = 𝑧 𝑐−𝑎 （𝑎，𝑏，𝑐互不相等），求𝑥 + 𝑦 + 𝑧 的值． 解：设 𝑥 𝑎−𝑏 = 𝑦 𝑏−𝑐 = 𝑧 𝑐−𝑎 = 𝑘，则𝑥 = 𝑘(𝑎 − 𝑏)，𝑦 = 𝑘(𝑏 − 𝑐)，𝑧 = 𝑘(𝑐 − 𝑎) ， 所以𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘(𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 − 𝑎) = 𝑘 ⋅ 0 = 0，所以𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ． 仿照上述方法解答下列问题： 已知 𝑦+𝑧 𝑥 = 𝑧+𝑥 𝑦 = 𝑥+𝑦 𝑧 ，其中𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≠ 0，求 𝑥+𝑦−𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 的值． 97/115 8 数上 基本功 18.1.2 分式的基本性质 ——课时 2 分式的约分和通分 知识点 1 约分与最简分式 1.分式 4𝑦+3𝑥 4𝑎 ， 𝑥2−1 𝑥4−1 ， 𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2 𝑥+𝑦 ， 𝑎2+2𝑎𝑏 𝑎𝑏−2𝑏2 中，最简分式有( ) A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个 2.若分式 (𝑥−1)(𝑥+2) (𝑥2−𝐴)𝑥 可以进行约分，则该分式中的𝐴 不可以是( ) A.1 B.𝑥 C.−𝑥 D.4 3.若𝑚为实数，分式 𝑥(𝑥+2) 𝑥2+𝑚 不是最简分式，则𝑚 = _______. 4.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为 “和谐分式”.下列分式中，是“和谐分式”的是( ) A. 𝑥−1 𝑥2+1 B. 𝑎−2𝑏 𝑎2−𝑏2 C. 𝑥+𝑦 𝑥2−𝑦2 D.𝑎2−𝑏2 (𝑎+𝑏)2 5.约分： （1） 2𝑎(𝑎−1) 8𝑎𝑏2(1−𝑎) ； （2） 𝑎2−4𝑎𝑏+4𝑏2 𝑎2−4𝑏2 . 6.先化简,再求值： 𝑥2−4𝑥𝑦+4𝑦2 (𝑥−2𝑦)3 ，其中𝑥 = −2，𝑦 = 3 . 知识点 2 通分与最简公分母 7.将分式 1 1−𝑎2 与分式 𝑎+1 𝑎2−2𝑎+1 通分后， 𝑎+1 𝑎2−2𝑎+1 的分母变为(1 + 𝑎) ⋅ (1 − 𝑎)2，则 1 1−𝑎2 的分子变 为( ) A.1 − 𝑎 B.1 + 𝑎 C.−1 − 𝑎 D.−1 + 𝑎 98/115 8 数上 基本功 8.分式 2 5𝑥2(𝑥−𝑦) 与 1 2𝑥−2𝑦 的最简公分母是____________. 9. 𝑎−1 𝑎2+2𝑎+1 与 5 1−𝑎2 通分的结果是_____________________. 10.通分： 通分前的分式 最简公分母 通分后的分式 3 4𝑥𝑦 5 2𝑥2𝑦 ______ _____ _____ 1 2𝑥−1 1 2𝑥+1 ________ ______ ______ 𝑥 2𝑥−1 𝑥+1 4𝑥2−1 ________ ______ ______ 99/115 8数上基本功 18.12分式的基本性质 课时1分式的基本性质 知识点分式的基本性质 1.下列各式从左到右变形正确的是( A=黑 C.B-B-1 b-1 0品=品 【解析】A选项，g=”(m≠0)，故此选项不符合题意： b bm B选项，”=g,故此选项符合题意： bm b C选项，号≠ b-1' 故此选项不符合题意： D选项， 品== a 故此选项不符合题意.故选B. 点拨：分式的基本性质中，分式的分子和分母同时乘或除以同一个数时，这个数不能为0. 2.不改变分式二+比 -2x3+x-3 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是() A.x2+x+2 B.x2-x+2 0.x2+x-2 D.x2-x-2 2x3+x-3 2x3+x-3 2x3-x+3 2x3-x+3 【解折】把会兴的分子和分母同时乘-1得=器 2x3-x+3-2x3-x+3 .故选D. 3.如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.②④ ① ② -0 ta-b ↑1 ③④ 【解折】-品。=品。，故选B a-b 4若分式，中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是( A.3x+2y B.3x+3 C.2xy D.3 【解析】当A=3x+2y时，分式3x+y中的x和y都扩大为原来的3倍后， 2x+y 得3x3x+2x3y= 3(3x+2y）_3x+2y 分式的值不变，故选项A符合题意： 2×3x+3y 3(2x+y) 2x+y 151/176 8数上基本功 当A=3x+3时，分式3x+3中的x和y都扩大为原来的3倍后， 2x+y 得3x3x+3 2×3x+3y 33x+=3x+，分式的值改变，故选项B不符合题意： 3(2x+y) 2x+y 当A=2xy时，分式2y中的x和y都扩大为原来的3倍后， 2x+3y 得2x3rx3y 6xy 分式的值改变，故选项C不符合题意： 2×3x+3y 2x+y 当A=3时，分式，3中的x和y都扩大为原来的3倍后， 2x+y 得x=,分式的值改变，故选项D不符合题意，故选A 点拨：将分式中的x和y同时扩大为原来的3倍，再利用分式的基本性质变形来解决 5若=成立，则x的取值范国是 【解析】由题意可知，x-1≠0，·x≠1. 6.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项系数化为整数： (1)0.1a+2b 0.4a+0.3b 【解】a+206 4a+3b 【解析】分子、分母同时乘10，得+20 4a+3b x2+2x-1 (2) 影+2 【解】 3x2+12x-6 2x3+6x2-2 【解析】分子、分母都乘6，得3x+12x-6 2x3+6x2-2 ·故答案为(1)+20驰 (2)3x2+12x-6 4a+3b 2x3+6x2-2 7,不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“”号：= -3x+1 【解析】将分式的分子、分母同时乘-1，得3x+x() 3x-1 (-x2+7x-2)x(-1)x2-7x+2 ，故答案为3x-1 x2-7x+2 8.阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知。品。=兰=名。(a,b,c互不相等)，求x+y+z的值. 解：设二。=是=二a=k,则k=k(a-b),y=kb-,z=k(c-a), 所以x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0,所以x+y+z=0· 仿照上述方法解答下列问题： 152/176 8数上基本功 已知学=梦=其中x+y+z≠0， 求y的值. x+y+z y+z=kx,① 【解】设生=华==k,则} x+2=ky,② x+y=kz.③ ①+②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)· 因为x+y+z≠0，所以k=2, 所以原式==荒= 153/176 8数上基本功 18.1.2分式的基本性质 课时2分式的约分和通分 知识点1约分与最简分式 1.分式y+3x x2-1 x2-xy+y2 a2+2ab 4a x4-1 中，最简分式有( x+y ab-2b2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解折】分式是二的分子与分母有公因式x2-1,分式二一少， 4a x+y 'ab-2b2 是最简分式.故选 C. 2.若分式2可以进行约分，则该分式中的A不可以是( A.1 B.x C.-x D.4 【解折】当A=1时，分式为-1x+2=x-1x+2= x+2 (x2-1)x (x+1)(x-1)x x+1)x ,可以约分，故A选项不 符合题意：当A=x时，分式为2=2=安，可以约分，故B选项不 (x2-x)x x2(x-1) 符合题意；当A=-x时，分式为-1x+2=-+2 ,不可以约分，故C选项符 (x2+x)x x2(x+1) 合题意：当A=4时，分式为-1x+2=x-1x+2 =L,可以约分，故D选项 (x2-4)x (x+2)(x-2)x(x-2)x 不符合题意.故选C 3.若m为实数，分式xt2不是最简分式，则m= x2+m 【解析】：分式x+2不是最简分式，且m为实数，·m=0或-4. x2+m 4.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为 “和谐分式”.下列分式中，是“和谐分式”的是() A.x-1 B.a-2b C.x+y D.a2-b2 x2+1 a2-b2 x2-y2 (a+b)2 【解析】A选项，一，分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意： x2+1 B选项，-2h a-2b a2-b2 a+a-)，分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，符合题意： C选项兴==六，分母可以因式分解，但不是最简分式。不是“和谐分式” x+y 不符合题意 154/176 8数上基本功 D选项，- (a+b)2 (a+b)2 一6，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”， (a+b)(a-b)=a-b 不符合题意.故选B. 5.约分： (1)2a(a-1) 8ab2(1-a) 【解】2aa- 2a(a-1) 1 8ab2(1-a) -8ab2(a-1) 462. 一 (2) a2-4ab+4b2 a2-4b2 【解】a2-ab+4b (a-2b)2 =0-2b a2-4b2 (a+2b)(a-2b)a+2b 6.先化简，再求值： x2-4xy+4y2 (x-2y03, 其中x=-2,y=3· 【解】2-y+4y2 (x-2y)2 (x-2y)3 x-2=x-2 把x=-2,y=3代入 得原式=1= 1=- x-2y-2-2×3 8 知识点2通分与最简公分母 a+1 7将分式a与分式0通分后，0 的分母变为(1+Q)(1-a)2,则a的分子变 为( A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a 【解析】：两分式的最简公分母为(1+a)(1-a)2, “1a=an-网=a+0a“a的分子变为1-a,故选A. 1 1 1-a 8分式a0卢，的最简公分母是 【解折2xy=分式-与2的最简公分母是102-刃，故答案为102( x-y). 通分的结果是 (a-1)2 -5(a+1) (a+12(a-1)'(a+1)2(a-1 155/176 8数上基本功 【解析】：a-1 a-1 5 -5 -5 a2+2a+1(a+1)2' =a2=a+a- 1-a2 最简公分母为(a+1)2(a-1), 通分后分别为a-1 -5(a+1) (a+1)2(a-1)' (a+1)2(a-1) 10.通分： 通分前的分式 最简公分母 通分后的分式 3 5 4xy 2x2y 1 1 2x-1 2x+1 x+1 2x-1 4x2-1 4x2y, 3x 10 4x2y, 4x2y 4x2-1, 2x+1 2x-1 4x2-1,4x2-1 2x2+x 4x2-1,4x2-,4x2 x+1 156/176