17.2 用公式法分解因式-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 17.2 用公式法分解因式 课时 1 用平方差公式分解因式 知识点 1 用平方差公式分解因式 1.课堂上老师在黑板上布置了如下题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是 ( ) 用平方差公式分解下列各式： （1）𝑎2 − 𝑏2; （2）49𝑥2 − 𝑦2𝑧2 ; （3）−𝑥2 − 𝑦2; （4）16𝑚2𝑛2 − 25𝑝2 . A.第（1）题 B.第（2）题 C.第（3）题 D.第（4）题 2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了𝑥 的指数，他只知道该数为不大于 10的正整数， 并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是𝑥☐ − 4𝑦2（ ☐ ”表示漏抄的指数）， 则这个指数可能的结果共有 ( ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.有一种用 因式分解”法产生的密码，方便记忆. 例如：对多项式𝑎4 − 𝑏4因式分解的结果是(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏2)， 若取𝑎 = 8，𝑏 = 8 ，则各个因式的值是𝑎 − 𝑏 = 0，𝑎 + 𝑏 = 16，𝑎2 + 𝑏2 = 128 ， 把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把 016128”作为一个六位数的密码. 对于多项式4𝑥3 − 𝑥𝑦2 ，若取𝑥 = 21，𝑦 = 19 ， 请你写出一个用上述方法产生的密码：________. 4.分解因式：(𝑥 − 𝑦)4 − 1 = _______________________________________. 89/115 8 数上 基本功 5.分解因式： （1）(3𝑥 + 𝑦)2 − (𝑥 − 3𝑦)2 ； （2）(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) − 5 . 知识点 2 平方差公式分解因式的应用 6.已知416 − 1 可以被 10到 20之间的某两个整数整除，则这两个数是( ) A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17 7.已知𝑥,𝑦满足方程组{ 𝑥 − 3𝑦 = 4, 𝑥 + 3𝑦 = −5, 则4𝑥2 − 36𝑦2 的值为_____. 8.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数𝑚，𝑛 的平方差，且𝑚− 𝑛 = 2，则称这个正整 数为 智慧优数”.例如：当𝑚 = 3，𝑛 = 1 时，𝑚− 𝑛 = 2，且8 = 32 − 12 ，所以 8是一个 智 慧优数”，若将 智慧优数”从小到大排列，则第 2 024个 智慧优数”是______. 9.在实数范围内分解因式：𝑎4 − 16𝑏4 .丽华的解法如下： 解：原式= (𝑎2 + 4𝑏2)(𝑎2 − 4𝑏2) . 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来. 90/115 8 数上 基本功 17.2 用公式法分解因式 课时 2 用完全平方公式分解因式 知识点 1 完全平方式 1.下列是完全平方式的有( ) ①𝑎2 + 2𝑎 + 4；②𝑎2 + 2𝑎 − 1；③𝑎2 + 2𝑎 + 1；④−𝑎2 + 2𝑎 + 1 ； ⑤−𝑎2 − 2𝑎 − 1；⑥4𝑎2 + 4𝑎 + 1 . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若𝑥2 + (𝑚 − 2)𝑥 + 16是一个完全平方式，则𝑚 的值是________. 知识点 2 用完全平方公式分解因式 3.将多项式(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 − 8) + 16 进行因式分解的结果是( ) A.(𝑥2 + 𝑦2 − 4)2 B.(𝑥 − 𝑦)2 C.(𝑥2 − 𝑦2 − 4)2 D.(𝑥2 + 𝑦2 + 4)2 4.因式分解：2𝑎2 − 2𝑎 + 1 2 = __________. 5.分解因式： （1）(𝑥2 + 4)2 − 16𝑥2 ； （2）(𝑎2 + 𝑎)2 − (𝑎 + 1)2 . 91/115 8 数上 基本功 6.下面是某同学对多项式(𝑥2 − 4𝑥 + 2)(𝑥2 − 4𝑥 + 6) + 4 进行因式分解的过程. 解：设𝑥2 − 4𝑥 = 𝑦 ， 则原式= (𝑦 + 2)(𝑦 + 6) + 4 （第一步） = 𝑦2 + 8𝑦 + 16 （第二步） = (𝑦 + 4)2 （第三步） = (𝑥2 − 4𝑥 + 4)2 .（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了什么公式分解因式？ （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果. （3）请你仿照以上方法尝试对多项式(𝑥2 − 2𝑥)(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 1 进行因式分解. 知识点 3 完全平方公式分解因式的应用 7.不论𝑎，𝑏为任何实数，𝑎2 + 𝑏2 − 6𝑎 + 10𝑏 + 35 的值都是( ) A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数 92/115 8 数上 基本功 8.如图，在边长为𝑎 cm的大正方形内放入三个边长都为𝑏 cm(𝑎 > 𝑏) 的小正方形纸片，这三张 纸片没有盖住的面积是4 cm2，则𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 的值为___. 9.已知一个圆的面积为9π𝑎2 + 6π𝑎𝑏 + π𝑏2(𝑎 > 0, 𝑏 > 0) ，则该圆的半径是_______. 10.已知𝑚，𝑛满足𝑚𝑛 = 4，𝑚 − 𝑛 = −1，则2𝑚3𝑛 − 4𝑚2𝑛2 + 2𝑚𝑛3 = ___. 11.若𝑎，𝑏是等腰△𝐴𝐵𝐶 的两边长，且满足关系式(𝑎 − 2)2 + 𝑏2 = 8𝑏 − 16，则△𝐴𝐵𝐶 的周长 是____. 93/115 8 数上 基本功 17.2 用公式法分解因式 课时 1 用平方差公式分解因式 知识点 1 用平方差公式分解因式 1.课堂上老师在黑板上布置了如下题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是 ( ) 用平方差公式分解下列各式： （1）𝑎2 − 𝑏2; （2）49𝑥2 − 𝑦2𝑧2 ; （3）−𝑥2 − 𝑦2; （4）16𝑚2𝑛2 − 25𝑝2 . A.第（1）题 B.第（2）题 C.第（3）题 D.第（4）题 【解析】(1)(2)(4) 都可以用平方差公式进行因式分解，（3）不能用平方差公式进行因式分解， 故选 C. 2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了𝑥 的指数，他只知道该数为不大于 10的正整数， 并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是𝑥☐ − 4𝑦2（ ☐ ”表示漏抄的指数）， 则这个指数可能的结果共有 ( ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【解析】该指数可能是 2,4,6,8,10.故选 D. 3.有一种用 因式分解”法产生的密码，方便记忆. 例如：对多项式𝑎4 − 𝑏4因式分解的结果是(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏2)， 若取𝑎 = 8，𝑏 = 8 ，则各个因式的值是𝑎 − 𝑏 = 0，𝑎 + 𝑏 = 16，𝑎2 + 𝑏2 = 128 ， 把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把 016128”作为一个六位数的密码. 对于多项式4𝑥3 − 𝑥𝑦2 ，若取𝑥 = 21，𝑦 = 19 ， 请你写出一个用上述方法产生的密码：________. 141/176 8 数上 基本功 【解析】4𝑥3 − 𝑥𝑦2 = 𝑥(4𝑥2 − 𝑦2) = 𝑥(2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦)，若取𝑥 = 21，𝑦 = 19 ， 则𝑥 = 21，2𝑥 − 𝑦 = 42 − 19 = 23，2𝑥 + 𝑦 = 42 + 19 = 61 ， 把这些值从小到大排列得到 212361，故答案为 212361. 4.分解因式：(𝑥 − 𝑦)4 − 1 = _______________________________________. 【解析】(𝑥 − 𝑦)4 − 1 = [(𝑥 − 𝑦)2]2 − 1 = [(𝑥 − 𝑦)2 + 1][(𝑥 − 𝑦)2 − 1] = (𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 1)(𝑥 − 𝑦 + 1)(𝑥 − 𝑦 − 1) . 5.分解因式： （1）(3𝑥 + 𝑦)2 − (𝑥 − 3𝑦)2 ； 【解】原式 = (3𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 3𝑦)(3𝑥 + 𝑦 − 𝑥 + 3𝑦) = (4𝑥 − 2𝑦)(2𝑥 + 4𝑦) = 4(2𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 2𝑦). （2）(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) − 5 . 【解】(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) − 5 = 𝑥2 − 4 − 5 = 𝑥2 − 9 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) . 知识点 2 平方差公式分解因式的应用 6.已知416 − 1 可以被 10到 20之间的某两个整数整除，则这两个数是( ) A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17 【解析】原式= (48 + 1)(48 − 1) = (48 + 1)(44 + 1)(42 + 1)(42 − 1) = (48 + 1)(44 + 1) × 17 × 15， 142/176 8 数上 基本功 ∴这两个数是 15和 17.故选 D. 7.已知𝑥,𝑦满足方程组{ 𝑥 − 3𝑦 = 4, 𝑥 + 3𝑦 = −5, 则4𝑥2 − 36𝑦2 的值为_____. 【解析】4𝑥2 − 36𝑦2 = 4(𝑥2 − 9𝑦2) = 4(𝑥 − 3𝑦)(𝑥 + 3𝑦) = 4 × 4 × (−5) = −80 . 故答案为−80 . 8.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数𝑚，𝑛 的平方差，且𝑚 − 𝑛 = 2，则称这个正整 数为 智慧优数”.例如：当𝑚 = 3，𝑛 = 1 时，𝑚 − 𝑛 = 2，且8 = 32 − 12 ，所以 8是一个 智 慧优数”，若将 智慧优数”从小到大排列，则第 2 024个 智慧优数”是______. 【解析】∵ 𝑚 − 𝑛 = 2，∴ 𝑚 = 𝑛 + 2 ， ∴ 𝑚2 − 𝑛2 = (𝑛 + 2 + 𝑛)(𝑛 + 2 − 𝑛) = 4(𝑛 + 1). ∵ 𝑚,𝑛都是正整数， ∴ 𝑛 + 1 是大于等于 2的正整数，∴ 4(𝑛 + 1)是从 8开始且能被 4整除的正整数， ∴ 第 2024个 智慧优数”是4 × (2 024 + 1) = 8 100 ，故答案为 8100. 9.在实数范围内分解因式：𝑎4 − 16𝑏4 .丽华的解法如下： 解：原式= (𝑎2 + 4𝑏2)(𝑎2 − 4𝑏2) . 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来. 【解】丽华因式分解的结果不正确.正确的解题过程如下： 原式= (𝑎2 + 4𝑏2)(𝑎2 − 4𝑏2) = (𝑎2 + 4𝑏2) ⋅ (𝑎 + 2𝑏)(𝑎 − 2𝑏) . 143/176 8 数上 基本功 17.2 用公式法分解因式 课时 2 用完全平方公式分解因式 知识点 1 完全平方式 1.下列是完全平方式的有( ) ①𝑎2 + 2𝑎 + 4；②𝑎2 + 2𝑎 − 1；③𝑎2 + 2𝑎 + 1；④ − 𝑎2 + 2𝑎 + 1 ； ⑤ − 𝑎2 − 2𝑎 − 1；⑥4𝑎2 + 4𝑎 + 1 . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】①②④不是完全平方式；③⑥是完全平方式； ⑤ − 𝑎2 − 2𝑎 − 1 = −(𝑎2 + 2𝑎 + 1) = −(𝑎 + 1)2 ,是完全平方式.故选 B. 2.若𝑥2 + (𝑚 − 2)𝑥 + 16是一个完全平方式，则𝑚 的值是________. 【解析】∵ 𝑥2 + (𝑚 − 2)𝑥 + 16是一个完全平方式，∴ 𝑚 − 2 = ±8，解得𝑚 = 10 或−6，故答 案为 10或−6 . 知识点 2 用完全平方公式分解因式 3.将多项式(𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 − 8) + 16 进行因式分解的结果是( ) A.(𝑥2 + 𝑦2 − 4)2 B.(𝑥 − 𝑦)2 C.(𝑥2 − 𝑦2 − 4)2 D.(𝑥2 + 𝑦2 + 4)2 【解析】 (𝑥2 + 𝑦2)(𝑥2 + 𝑦2 − 8) + 16 = (𝑥2 + 𝑦2)2 − 8(𝑥2 + 𝑦2) + 16 = (𝑥2 + 𝑦2 − 4)2 ，故选 A. 4.因式分解：2𝑎2 − 2𝑎 + 1 2 = __________. 【解析】原式= 2(𝑎2 − 𝑎 + 1 4 ) = 2(𝑎 − 1 2 )2 . 5.分解因式： （1）(𝑥2 + 4)2 − 16𝑥2 ； 【解】原式= (𝑥2 + 4 + 4𝑥)(𝑥2 + 4 − 4𝑥) = (𝑥 + 2)2(𝑥 − 2)2 . 144/176 8 数上 基本功 （2） (𝑎2 + 𝑎)2 − (𝑎 + 1)2 . 【解】原式= (𝑎2 + 𝑎 + 𝑎 + 1)(𝑎2 + 𝑎 − 𝑎 − 1) = (𝑎 + 1)2(𝑎 + 1)(𝑎 − 1) = (𝑎 + 1)3(𝑎 − 1) . 6.下面是某同学对多项式(𝑥2 − 4𝑥 + 2)(𝑥2 − 4𝑥 + 6) + 4 进行因式分解的过程. 解：设𝑥2 − 4𝑥 = 𝑦 ， 则原式= (𝑦 + 2)(𝑦 + 6) + 4 （第一步） = 𝑦2 + 8𝑦 + 16 （第二步） = (𝑦 + 4)2 （第三步） = (𝑥2 − 4𝑥 + 4)2 .（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了什么公式分解因式？ 【解】该同学第二步到第三步运用了完全平方公式分解因式. （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果. 【解】该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是(𝑥 − 2)4 . （3）请你仿照以上方法尝试对多项式(𝑥2 − 2𝑥)(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 1 进行因式分解. 【解】设𝑥2 − 2𝑥 = 𝑦， 则(𝑥2 − 2𝑥)(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 1 = 𝑦(𝑦 + 2) + 1 = 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = (𝑦 + 1)2 = (𝑥2 − 2𝑥 + 1)2 = [(𝑥 − 1)2]2 = (𝑥 − 1)4 . 145/176 8 数上 基本功 知识点 3 完全平方公式分解因式的应用 7.不论𝑎，𝑏为任何实数，𝑎2 + 𝑏2 − 6𝑎 + 10𝑏 + 35 的值都是( ) A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数 【解析】𝑎2 + 𝑏2 − 6𝑎 + 10𝑏 + 35 = (𝑎 − 3)2 + (𝑏 + 5)2 + 1 > 0 ,故选 B. 8.如图，在边长为𝑎 cm的大正方形内放入三个边长都为𝑏 cm(𝑎 > 𝑏) 的小正方形纸片，这三张 纸片没有盖住的面积是4 cm2，则𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 的值为___. 【解析】由题意得(𝑎 − 𝑏) × 𝑎 − (𝑎 − 𝑏) × 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)2 = 4 , ∴ 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2 = 4 .故答案为 4. 9.已知一个圆的面积为9π𝑎2 + 6π𝑎𝑏 + π𝑏2(𝑎 > 0, 𝑏 > 0) ，则该圆的半径是_______. 【解析】设该圆的半径为𝑅. ∵ 原式= π(9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 𝑏2) = π(3𝑎 + 𝑏)2 = π𝑅2 ， ∴ 𝑅 = 3𝑎 + 𝑏，即半径为3𝑎 + 𝑏 . 10.已知𝑚，𝑛满足𝑚𝑛 = 4，𝑚 − 𝑛 = −1，则2𝑚3𝑛 − 4𝑚2𝑛2 + 2𝑚𝑛3 = ___. 【解析】2𝑚3𝑛 − 4𝑚2𝑛2 + 2𝑚𝑛3 = 2𝑚𝑛(𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2) = 2𝑚𝑛(𝑚 − 𝑛)2. ∵ 𝑚𝑛 = 4 ，𝑚 − 𝑛 = −1， ∴ 2𝑚𝑛(𝑚 − 𝑛)2 = 2 × 4 × (−1)2 = 8 ， ∴ 2𝑚3𝑛 − 4𝑚2𝑛2 + 2𝑚𝑛3 = 8 . 故答案为 8. 146/176 8 数上 基本功 11.若𝑎，𝑏是等腰△𝐴𝐵𝐶 的两边长，且满足关系式(𝑎 − 2)2 + 𝑏2 = 8𝑏 − 16，则△𝐴𝐵𝐶 的周长 是____. 【解析】∵ (𝑎 − 2)2 + 𝑏2 = 8𝑏 − 16，∴ (𝑎 − 2)2 + 𝑏2 − 8𝑏 + 16 = 0 ， ∴ (𝑎 − 2)2 + (𝑏 − 4)2 = 0,∴ 𝑎 − 2 = 0,𝑏 − 4 = 0,∴ 𝑎 = 2，𝑏 = 4 . ①若 2是腰长，则三角形的三边长为 2，2，4，不符合三角形三边关系,不能组成三角形； ②若 2是底边长，则三角形的三边长为 2，4，4，符合三角形三边关系， 则△𝐴𝐵𝐶 的周长为2 + 4 + 4 = 10 .故答案为 10. 147/176