16.3.2 完全平方公式-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 16.3.2 完全平方公式——课时 1 完全平方公式 知识点 1 完全平方公式 1. 下列运算：①(3𝑥 + 𝑦)2 = 9𝑥2 + 𝑦2 ；②(𝑎 − 2𝑏)2 = 𝑎2 − 4𝑏2；③(−𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2；④(𝑥 − 1 2 )2 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 4 . 其中，运算错误的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.将形状大小完全相同的四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大 正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是( ) A.(𝑚 + 𝑛)(𝑚 − 𝑛) = 𝑚2 − 𝑛2 B.(𝑚 + 𝑛)2 = 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2 C.(𝑚 + 𝑛)2 − (𝑚 − 𝑛)2 = 4𝑚𝑛 D.(𝑚 − 𝑛)2 = 𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2 3. 已知𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0，则(𝑥 − 1 𝑥 )2 = ____. 4.计算：（1）(− 1 2 𝑎 − 𝑏)2 ; （2）(𝑎 − 2)2 − (𝑎 + 2)(𝑎 − 2) . 83/115 8 数上 基本功 知识点 2 完全平方公式的应用 5.若𝑥2 + 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦)2 + 𝐴 = (𝑥 − 𝑦)2 − 𝐵，则𝐴,𝐵 的数量关系为( ) A.𝐴 = 𝐵 B.𝐴 = −𝐵 C.𝐴𝐵 = 1 D.无法确定 6. 若𝑥 + 𝑦 = 2𝑎，𝑥 − 𝑦 = 2𝑏，则𝑥𝑦 的值为( ) A.𝑎𝑏 B.𝑎2 + 𝑏2 C.𝑎2 − 𝑏2 D.1 4 (𝑎2 + 𝑏2) 7. 若𝑥 + 𝑦 = 2，𝑥2 + 𝑦2 = 4，则𝑥2 024 + 𝑦2 024 的值是( ) A.4 B.2 0242 C.22 024 D.42 024 8. 如图是长与宽分别为𝑎，𝑏 的长方形，若它的周长为 20，面积为 32，则𝑎2 + 𝑏2 的值为___. 9. 已知(2023 − 𝑥)(2025 − 𝑥) = 2024 ，则(2023 − 𝑥)2 + (2025 − 𝑥)2 = _______. 10. 如图，某校园内有一块长为(4𝑎 − 𝑏) 米，宽为(2𝑎 + 𝑏) 米的长方形空地，学校计划在中 间留一块边长为(𝑎 + 𝑏) 米的正方形空地修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化. （1）用含𝑎，𝑏 的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）； （2）当𝑎 = 5，𝑏 = 4 时，求绿化部分的面积. 84/115 8 数上 基本功 16.3.2 完全平方公式——课时 2 添括号法则 知识点 1 添括号法则 1.下列添括号，正确的是( ) A.𝑏 + 𝑐 = −(𝑏 + 𝑐) B.−2𝑥 + 4𝑦 = −2(𝑥 − 4𝑦) C.𝑎 − 𝑏 = +(𝑎 − 𝑏) D.2𝑥 − 𝑦 − 1 = 2𝑥 − (𝑦 − 1) 2. 计算：(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑎 − 𝑏 − 𝑐) ，下列步骤出现错误的是( ) 解：原式= (𝑎 − 𝑐 + 𝑏)(𝑎 − 𝑐 − 𝑏)① = [(𝑎 − 𝑐) + 𝑏][(𝑎 − 𝑐) − 𝑏]② = (𝑎 − 𝑐)2 − 𝑏2③ = 𝑎2 − 2𝑎𝑐 − 𝑐2 − 𝑏2 .④ A.① B.② C.③ D.④ 3.已知𝑎 − 𝑏 = 2，𝑐 + 𝑑 = 5，则(𝑏 + 𝑐) − (𝑎 − 𝑑) = ___. 4.把多项式5𝑎3𝑏 − 2𝑎𝑏 + 3𝑎𝑏3 − 2𝑏2 按下列要求进行变形：将二次项放在前面带有“+ ”号的 括号里，将四次项放在前面带有“-”号的括号里. 知识点 2 添括号法则在乘法公式中的应用 5.已知(𝑥 − 2 015)2 + (𝑥 − 2 017)2 = 34，则(𝑥 − 2 016)2 的值是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 6.计算：（1）(3𝑚 + 𝑛 − 𝑝)(3𝑚 − 𝑛 + 𝑝) ; （2）(𝑎 − 2𝑏 + 𝑐)2 ; 85/115 8 数上 基本功 （3）(𝑎 + 𝑏 − 3)(𝑎 + 𝑏 + 3) ; （4）(𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧)2 . 7. 乘法公式的探究及应用: 图（1） 图（2） （1）如图（1），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图（2），通过比较图（1）、 图（2）阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：____ . （2）运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各式： ①102 × 98 ; ②(2𝑚 + 𝑛 − 3)(2𝑚 − 𝑛 − 3) . 8.在括号内填入适当的式子：(𝑎 − 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) = [𝑎 − ( )］[𝑎 + ( )］ = 𝑎2 − ( )2 . 莉莉往里填的答案依次为𝑏 + 𝑐,𝑏 − 𝑐,𝑏 − 𝑐 .请问莉莉的答案正确吗？如果不正确，请写出正确 答案. 86/115 8数上基本功 16.3.2完全平方公式 一课时1完全平方公式 知识点1完全平方公式 1.下列运算：①(3x+y)2=9x2+y2;②(a-2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy +y2;④(x-为2=x2-2x+}.其中，运算错误的有( A.1个 B.2个 C3个 D.4个 解析：①(3x+y)2=9x2+6xy+y2,故①运算错误： ②(a-2b)2=a2-4ab+4b2,故②运算错误； ③(-x-y)2=x2+2xy+y2,故③运算正确： ④(x-)2=x2-x+,故④运算错误 所以运算错误的有①（②（④，共3个故选C. 2将形状大小完全相同的四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大 正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是() 图(1) 图(2 A.(m+n)(m-n)=m2-n2 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 C.(m+n)2-(m-n)2=4mn D.(m-n)2=m2-2mn+n2 解析：题图(1)中大正方形的边长为m-n,因此面积为(m-n)2, 题图(2)中阴影部分的面积为m2-2mn+n2,所以有(m-n)2=m2-2mm+n2,故选D. 3.已知x2-5x+1=0,则(x-)2= 解折：：x2-5x+1=0,x≠0，六x-5+是=0， x+=5.:(x+2-4x是=x2+是-2=52-4×1=21， (x-2=x2+是-2=21故答案为21 129/176 8数上基本功 4计算： (1)(-a-b)2; 解：原式=【-a+b)]2=(Ga+b)2=a2+ab+b2. (2)(a-2)2-(a+2)(a-2) 解：(a-2)2-(a+2)(a-2) =(a2-4a+4)-(a2-4) =a2-4a+4-a2+4=-4a+8. 知识点2完全平方公式的应用 5若x2+y2=(x+y)2+A=(x-y)2-B,则A,B的数量关系为() A.A=B B.A=-B C.AB=1 D无法确定 解析：“x2+y2=(x+y)2+(-2xy)=(x-y)2-(-2xy), ·A=-2xy,B=-2xy,A=B,故选A 6.若x+y=2a,x-y=2b,则xy的值为() A.ab B.a2+b2 C.a2-b2 D4(a2+b3) 解析：'x+y=2a,x-y=2b, (x+y)2=4a2,(x-y)2=4b2, x2+2xy+y2=4a2,① x2-2xy+y2=4b2,② ①-②得4xy=4a2-4b2, xy=a2-b2,故选C 130/176 8数上基本功 7.若x+y=2,x2+y2=4,则x2024+y2024的值是( ) A.4 B.20242 C.22024 D.42024 解析：x+y=2,(x+y)2=22,÷x2+2xy+y2=4. 又：x2+y2=4,2xy=0,六x,y中有-个数为0. 不妨设x=0,则y=2, ÷x2024+y2024=02024+22024=22024,故选C 8.如图是长与宽分别为a,b的长方形，若它的周长为20，面积为32，则a2+b2的值为， 解析：长方形的周长为20，a+b=10.:长方形的面积为32，ab=32. (a+b)2=a2+b2+2ab, a2+b2=(a+b)2-2ab=100-64=36. 故答案为36. 9.已知(2023-x)(2025-x)=2024,则(2023-x)2+(2025-x)2= 解析：(2023-x)(2025-x)=2024, [(2023-x)-(2025-x)]2 =(2023-x)2+(2025-x)2-2(2023-x)(2025-x), ÷(2023-x)2+(2025-x)2 =[(2023-x)-(2025-x)]2+2(2023-x)(2025-x) =(2023-x-2025+x)2+2×2024 =4052. 故答案为4052 方法：求形如a+b,a-b,(a±b)2,a2+b2,2ab等式子的值，均可通过变形完全平方公 式求解 131/176 8数上基本功 10.如图，某校园内有一块长为(4a-b)米，宽为(2a+b)米的长方形空地，学校计划在中 间留一块边长为（α+b)米的正方形空地修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化 4a-b a+b 2a+b (1)用含a,b的代数式表示绿化部分的面积（结果需化简）； 解：S验=(4a-b)(2a+b)-(a+b2 =8a2+4ab-2ab-b2-(a2+2ab+b2) =8a2+2ab-b2-a2-2ab-b2 =(7a2-2b2)平方米 (2)当a=5,b=4时，求绿化部分的面积 解：当a=5,b=4时，7a2-2b2=7×52-2×42=143(平方米)， 132/176 8数上基本功 16.3.2完全平方公式一课时2添括号法则 知识点1添括号法则 1.下列添括号，正确的是( A.b+c=-(b+c) B.-2x+4y=-2(x-4y) C.a-b=+(a-b)D.2x-y-1=2x-(y-1) 解析：A选项，b+c=-(-b一c)，因此A不正确，故A不符合题意； B选项，-2x+4y=-2(x-2y),因此B不正确，故B不符合题意； C选项，a-b=+(a-b),因此C正确，故C符合题意； D选项，2x-y-1=2x-(y+1),因此D不正确，故D不符合题意 故选C. 2.计算：(a+b-c)(a-b-c),下列步骤出现错误的是( 解：原式=(a-c+b)(a-c-b)① =[(a-c)+b][(a-c)-b]② =(a-c)2-b2③ =a2-2ac-c2-b2.④ A.① B.② C.③ D.④ 解析：(a+b-c)(a-b-c) =(a-c+b)(a-c-b) =[(a-c)+b][(a-c)-b] =(a-c)2-b2 =a2-2ac+c2-b2, ·步骤①②③正确，④错误， 故选D. 133/176 8数上基本功 3.已知a-b=2,c+d=5,则(b+c)-(a-d)= 解析：(b+c)-(a-d)=b+c-a+d=-(a-b)+(c+d)=-2+5=3,故答案为3. 4把多项式5a3b-2ab+3ab3一2b2按下列要求进行变形：将二次项放在前面带有+号的 括号里，将四次项放在前面带有“号的括号里 解：5a3b-2ab+3ab3-2b2 =5a3b+3ab3-2ab-2b2 =-(-5a3b-3ab3)+(-2ab-2b2) 知识点2添括号法则在乘法公式中的应用 5.已知(x-2015)2+(x-2017)2=34,则(x-2016)2的值是() A.4 B.8 C.12D.16 解析：(x-2015)2+(x-2017)2=34, ·[(x-2016)+1]2+[(x-2016)-1]2 =(x-2016)2+2(x-2016)+1+(x-2016)2-2(x-2016)+1 =2(x-2016)2+2=34, 2(x-2016)2=32,÷(x-2016)2=16. 6计算： (1)(3m+n-p)(3m-n+p); 解：原式 =[3m+(n-p)][3m-(m-p】=(3m)2-(n-p)2=9m2-n2+2mp-p2. (2)(a-2b+c)2; 解：原式=[(a-2b)+c] =(a-2b)2+2(a-2b)c+c2 a2-4ab+4b2 2ac-4bc c2 134/176 8数上基本功 (3)(a+b-3)(a+b+3); 解：原式=[(a+b)-3][(a+b)+3]=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9. (4)(x-2y-3z)2 解：原式=[(x-2y)-3z]2 =(x-2y)2-6z(x-2y)+9z2 =x2-4xy+4y2-6xz+12yz+9z2. 7.乘法公式的探究及应用： 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图(2)，通过比较图(1)、 图(2)阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： 解：大正方形边长为a,面积为a2,小正方形边长为b,面积为b2. ~题图(1)阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积， ∴题图(1)阴影部分面积为a2-b2题图(2)阴影部分面积为(a+b)(a-b). ~题图(1)阴影部分与题图(2)阴影部分的面积相等，÷(a+b)(a-b)=a2一b2, 故答案为(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各式： ①102×98； 解：102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996 ②(2m+n-3)(2m-n-3) 解：(2m+n-3)(2m-n-3) =[(2m-3)+m]·[(2m-3)-] =(2m-3)2-n2=4m2-12m+9-n2 135/176 8数上基本功 8在括号内填入适当的式子： (a-b+c)(a+b-c) =[a-()][a+()] =a2-()2. 莉莉往里填的答案依次为b+c,b一c,b一c请问莉莉的答案正确吗？如果不正确，请写出正确 答案 解：莉莉的答案不正确 (a-b+c)(a+b-c) =[a-(b-c)][a+(b-c)] =a2-(b-c)2. 故正确答案为b-c,b-c,b-c· 136/176