16.3.1 平方差公式-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 16.3 乘法公式——16.3.1 平方差公式 知识点 1 平方差公式 1. 下列各式中不能用平方差公式计算的是( ) A.( 1 2 𝑎 + 2𝑏)( 1 2 𝑎 − 2𝑏) B.(−2𝑥 + 3𝑦)(−3𝑦 − 2𝑥) C.(−2𝑥 + 𝑦)(−2𝑥 − 𝑦) D.(𝑥 − 1)(−𝑥 + 1) 2. 如图，在边长为𝑎的正方形中挖掉一个边长为𝑏 的小正方形(𝑎 > 𝑏) ，将余下部分剪拼成一 个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于𝑎,𝑏 的恒等式为( ) A.(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 B.(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 C.(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 D.𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 − 𝑏) 3. 已知𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 ，则代数式(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 2) 的值为___. 4. 如果(𝑎2 + 𝑏2 + 1)(𝑎2 + 𝑏2 − 1) = 8，那么𝑎2 + 𝑏2 的值为___. 5.计算： （1）(3𝑚2 + 2𝑛3)(−3𝑚2 + 2𝑛3) ； （2）(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(4𝑥2 + 1) . 81/115 8 数上 基本功 知识点 2 平方差公式的应用 6. 3(22 + 1)(24 + 1) × ⋯ × (232 + 1) + 1 计算结果的个位数字是( ) A.4 B.6 C.2 D.8 7. 若𝑎 = 1 954 × 1 946，𝑏 = 1 957 × 1 943 ，𝑐 = 1 949 × 1 951，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为_ ___（用“< ”连接）. 8.如图是一道例题及部分解答过程，其中𝐴，𝐵是两个关于𝑥，𝑦 的二项式.请仔细观察上面的例 题及解答过程，完成下列问题： （1）直接写出多项式𝐴和𝐵 ，并求出该例题的运算结果. （2）求多项式𝐴与𝐵 的平方差. 82/115 8 数上 基本功 16.3 乘法公式——16.3.1 平方差公式 知识点 1 平方差公式 1. 下列各式中不能用平方差公式计算的是( ) A.( 1 2 𝑎 + 2𝑏)( 1 2 𝑎 − 2𝑏) B.(−2𝑥 + 3𝑦)(−3𝑦 − 2𝑥) C.(−2𝑥 + 𝑦)(−2𝑥 − 𝑦) D.(𝑥 − 1)(−𝑥 + 1) 解析：A 选项,( 1 2 𝑎 + 2𝑏)( 1 2 𝑎 − 2𝑏) = ( 1 2 𝑎)2 − (2𝑏)2 = 1 4 𝑎2 − 4𝑏2 ， 能用平方差公式计算，不符合题意；B 选项, (−2𝑥 + 3𝑦)(−3𝑦 − 2𝑥) = (−2𝑥)2 − (3𝑦)2 = 4𝑥2 − 9𝑦2 ， 能用平方差公式计算，不符题意； C 选项,(−2𝑥 + 𝑦)(−2𝑥 − 𝑦) = (−2𝑥)2 − 𝑦2 = 4𝑥2 − 𝑦2 ， 能用平方差公式计算，不符题意； D 选项,(𝑥 − 1)(−𝑥 + 1) ， 不能用平方差公式计算，符合题意.故选 D. 2. 如图，在边长为𝑎的正方形中挖掉一个边长为𝑏 的小正方形(𝑎 > 𝑏) ，将余下部分剪拼成一 个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于𝑎,𝑏 的恒等式为( ) A.(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 B.(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 C.(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 D.𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑎(𝑎 − 𝑏) 解析：第一个图形中阴影部分的面积为𝑎2 − 𝑏2 ， 第二个图形中阴影部分的面积为(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). ∵第二个图形中阴影部分的面积等于第一个图形中阴影部分的面积， ∴ (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 ，故 A 正确.故选 A. 126/176 8 数上 基本功 3. 已知𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 ，则代数式(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 2) 的值为___. 解析：(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥2 − 1 + 𝑥2 − 2𝑥 = 2𝑥2 − 2𝑥 − 1. ∵ 𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0，∴ 𝑥2 − 𝑥 = 3，则2𝑥2 − 2𝑥 = 6， ∴ 原式= 6 − 1 = 5 ，故答案为 5. 4. 如果(𝑎2 + 𝑏2 + 1)(𝑎2 + 𝑏2 − 1) = 8，那么𝑎2 + 𝑏2 的值为___. 解析：∵ (𝑎2 + 𝑏2 + 1)(𝑎2 + 𝑏2 − 1) = 8，∴ (𝑎2 + 𝑏2)2 − 1 = 8 ， ∴ (𝑎2 + 𝑏2)2 = 9，∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 3 （负值舍去），故答案为 3. 5.计算： （1）(3𝑚2 + 2𝑛3)(−3𝑚2 + 2𝑛3) ； 解：原式= −(3𝑚2 + 2𝑛3)(3𝑚2 − 2𝑛3) = −(9𝑚4 − 4𝑛6) = −9𝑚4 + 4𝑛6 . （2）(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(4𝑥2 + 1) . 解：原式= (4𝑥2 − 1)(4𝑥2 + 1) = 16𝑥4 − 1 . 知识点 2 平方差公式的应用 6. 3(22 + 1)(24 + 1) ×⋯× (232 + 1) + 1 计算结果的个位数字是( ) A.4 B.6 C.2 D.8 解析：原式= (22 − 1)(22 + 1)(24 + 1) ×⋯× (232 + 1) + 1 = (24 − 1)(24 + 1) ×⋯× (232 + 1) + 1 = 264 − 1 + 1 = 264. ∵ 21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32 ,26 = 64,⋯ , 个位数字按照 2，4，8，6 依次循环，而64 = 16 × 4， ∴原式计算结果的个位数字为 6.故选 B. 127/176 8 数上 基本功 7. 若𝑎 = 1 954 × 1 946，𝑏 = 1 957 × 1 943 ，𝑐 = 1 949 × 1 951，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为_ ___（用“< ”连接）. 解析：𝑎 = 1954 × 1946 = (1950 + 4)(1950 − 4) = 19502 − 16 ， 𝑏 = 1957 × 1943 = (1950 + 7)(1950 − 7) = 19502 − 49， 𝑐 = 1949 × 1 951 = (1950 − 1)(1950 + 1) = 19502 − 1. ∵ 19502 − 49 < 19502 − 16 < 19502 − 1， ∴ 𝑏 < 𝑎 < 𝑐，故答案为𝑏 < 𝑎 < 𝑐 . 8.如图是一道例题及部分解答过程，其中𝐴，𝐵是两个关于𝑥，𝑦 的二项式.请仔细观察上面的例 题及解答过程，完成下列问题： （1）直接写出多项式𝐴和𝐵 ，并求出该例题的运算结果. 解：𝐴 = 2𝑥 − 3𝑦，𝐵 = 2𝑥 + 3𝑦，原式= 4𝑥 − 6𝑦 − 6𝑥 − 9𝑦 = −2𝑥 − 15𝑦 . （2）求多项式𝐴与𝐵 的平方差. 解：𝐴2 − 𝐵2 = (2𝑥 − 3𝑦)2 − (2𝑥 + 3𝑦)2 = (2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦)(2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦) = 4𝑥 ⋅ (−6𝑦) = −24𝑥𝑦 . 128/176