15.3.2 等边三角形-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8数上基本功 15.3.2等边三角形 课时1等边三角形的性质与判定 知识点1等边三角形的性质 1.如图，平移图形①，与图形队②可以拼成一个等边三角形，则图中L《的度数是( 1609 2 702 B A.110° B.120° C.140° D.150° 解析：~可以拼成一个等边三角形，÷∠A=LB=60° ∠a=540°-60°-60°-(180°-70)-160°=150°故选D. 2如图，直线11/1儿2，将等边三角形如图放置若∠a=35°，则上B等于() A.35 B.30 C.25° D.15 解析： B C 如图，过点A作AD//几1，则∠BAD=∠a=35°.L1/L2,AD/儿2， 95/176 8数上基本功 ·∠DAC=∠B.:△ABC是等边三角形，·LBAC=60°， ∠B=∠DAC=∠BAC-∠DAB=60°-35°=25°故选C. 3.如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，∠1=∠2，∠DFE=70°， 则∠EDF= E 解析：~△ABC是等边三角形， ∠A=∠B=∠C=60°.'∠DEC=∠2+∠DEF=∠1+∠B,∠1=∠2， ∠DEF=∠B=60°.：∠DFE=70°， ÷∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-70°=50°故答案为50 4如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D,连接BD,CD (1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； 解：如图所示 96/176 8数上基本功 M (2)若∠ACN=40°，求LBDC的度数 解：A,D关于CN对称，CN垂直平分AD,AC=CD, ∠ACN=∠NCD=40°.△ABC是等边三角形，·∠ACB=60°，AC=BC, ÷∠BCD=∠BCA+∠ACN+∠NCD=60°+2×40°=140°，BC=CD, ∠CBD=∠CDB,÷∠BDC=180-140=20° 2 知识点2等边三角形的判定 5.下列条件中，不能判定△ABC为等边三角形的是( A.∠A=∠B=60° B.∠B+∠C=120° C.∠B=60°，AB=AC D.LA=60°，AB=AC 解析： “LA=∠B=60°，∴LC60°，LA=∠B=LC,△ABC是等边三角形，故选项A不符 A 合题意 B :∠B+LC-120°，∠A=60°，△ABC不一定是等边三角形，故选项B符合题意 C ∠B-60°，AB=AC,△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意 D 'LA60°，AB=AC,÷△ABC是等边三角形故选项D不符合题意 归纳总结 判定等边三角形的方法 (1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形 97/176 8数上基本功 (2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)判定定理2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形 6.如图，一艘轮船由海平面上A地出发，向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地 向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则4，C两地相距( A.100海里 B.80海里 C.60海里 D.40海里 北 北 B 解析：连接AC.:点B在点A的南偏西40°方向上，点C在点B的北偏西20°方向上，÷LCBA =60°又BC=BA,·△ABC为等边三角形，·AC=BC=AB=80海里故选B 7在△ABC中，∠B=∠C，若添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 (写出一个即可) 解析：当∠B=LA时，~LB=LC,六LA=LB=LC,·△ABC是等边三角形 故答案为∠B=∠A(答案不唯一)· 8如图，△ECB中，∠CEB=∠B,延长BE至点A,过点A作AD/CE,∠A=60°，连接CD. 求证：△ECB是等边三角形 E B 98/176 8数上基本功 【证明】AD/CE,÷∠A=LCEB=60°.：LCEB=∠B,CE=CB, ·△CEB是等腰三角形又：∠CEB=60°，△CEB是等边三角形 知识点3等边三角形的性质与判定的综合应用 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠A=60°，点E为AD上一点，连接BD, CE交于点F,CE/IAB, B (1)判断△DEF的形状，并说明理由： 解：△DEF是等边三角形理由如下：AB=AD,∠A=60°， △ABD为等边三角形，÷∠ADB=∠ABD=60°.'CE/AB, ÷∠DEF=∠A=60°，∠EFD=∠ABD=60°，∠EFD=∠EDF=∠DEF, ∴△DEF是等边三角形 (2)若AD=13,CE=9,则CF的长为 99/176 8数上基本功 E B 解析：连接AC交BD于点O,如图 ~AB=AD,CB=CD,·AC垂直平分BD,÷AC平分∠BAD, ∠BAO=∠DAO.'CE/AB,∠ACE=∠BAO=∠DAO,·AE=CE=9, DE=AD-AE=13-9=4.△DEF是等边三角形，÷EF=DE=4, CF=CE-EF=9-4=5故答案为5. 100/176 8数上基本功 15.3.2等边三角形 课时2含30。角的直角三角形的性质 知识点含30°角的直角三角形的性质 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E. 若DB=12cm,则AC=() E D B A.4 cm B.5cm C.6cm D.7 cm 解析：连接AD,如图 E B D :DE是AB的垂直平分线，AD=DB=12cm,∠DAE=∠B=15°， 又：∠C=90°，∠CAD=180°-∠C-∠B-∠DAE=60°，÷LADC=30°. 在直角三角形ACD中，AC=AD=6cm故选C 2如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠BCA=1:2:3,CD1AB于点D,AB=12,则DB等于() B A.3 B.4 C.6 D.9 解析：在△ABC中，∠A:∠B:∠BCA=1:2:3, ∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°.AB=12, BC=6.CD1AB,·∠BDC=90°，÷∠BCD=30°， 101/176 8数上基本功 .BD=3 3如图，Rt△ABC中，LACB=90°，∠B=30°，AC=2.D为BC上一动点，连接AD,AD的 垂直平分线分别交AC,AB于点E,F,则线段BF长的最大值是() B A.1 B.4 C.8 D.4 2 3 3 解析：过点F作FH⊥BC于H,连接DF,如图：EF垂直平分 D H B AD,AF=DF设AF=DF=x.'∠B=30°，∠C=90°，AC=2,·AB=4,则BF=4-x, FH=BF=2-x,x≥2-x,解得x≥AF长的最小值为， 故BF长的最大值为 4-青号故选C 4.如图，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上， 2小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮 船续向前航行，触礁的危险.（填有或无） 102/176 8数上基本功 北 309 B A 30 15o 解析：如图，过点P作PC上AB· :∠PBC=30°，∠PAB=15°，·∠APB=30°-15°=15°，∠PAB=∠APB, PB=AB.:AB=15×2=30(海里)，PB=30海里，PC=PB=15海里 :15<18,有触礁的危险故答案为有 5如图，LMAN=60°，点B在射线AM上，且AB=2,点C在射线AN上若△ABC是锐角三角 形，则AC的取值范围是 人60° A B M 解析：如图，过点B作BC11AN,垂足为C,BC21AM,交AN于点C2· 103/176 8数上基本功 C, A 60°B M 在Rt△ABC中，AB=2,∠A=60°，∠ABC1=30°，AC1=AB=1. 在Rt△ABC2中，AB=2,∠A=60°，÷∠AC2B=30°，AC2=2AB=4 当点C在C1和C2之间时，△ABC是锐角三角形，÷AC的取值范围是1<AC<4, 故答案为1<AC<4. 6.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A的坐标是(0,9)，以0A为边在其右侧作等边三角 形0AA1,过A1作x轴的垂线，垂足为点01，以01A1为边在其右侧作等边三角形01A1A2,过 点A2作x轴的垂线，垂足为点02，以02A2为边在其右侧作等边三角形02A2A3,…,按此规 律继续作下去，得到等边三角形02025A2025A2026,则点A2025的纵坐标为 A 4 0 0102 解析：·点A的坐标是(0,9)，以0A为边在其右侧作等边三角形0AA1,过点A1作x轴的垂线， 垂足为点01，∠A1001=90°-60°=30°，∠001A1=90°，0A1=0A=9, 01A1=0A1=9×,点A1的纵坐标是9×生 :以01A1为边在其右侧作等边三角形01A1A2,过点A2作x轴的垂线，垂足为点02， ∠A20102=90°-60=30°，∠010242=90°，014=0141=9×， 104/1768 数上 基本功 15.3.2 等边三角形 课时 1 等边三角形的性质与判定 知识点 1 等边三角形的性质 1. 如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中∠𝛼 的度数是( ) A.110∘ B.120∘ C.140∘ D.150∘ 2.如图，直线𝑙1//𝑙2，将等边三角形如图放置.若∠𝛼 = 35 ∘ ，则∠𝛽 等于 ( ) A.35∘ B.30∘ C.25∘ D.15∘ 3. 如图，△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点𝐷，𝐸，𝐹分别在𝐴𝐵 ，𝐵𝐶，𝐴𝐶上，∠1 = ∠2，∠𝐷𝐹𝐸 = 70∘ ， 则∠𝐸𝐷𝐹 =____∘ . 61/115 8 数上 基本功 4.如图，𝐶𝑁是等边△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝑀 内部的一条射线，点𝐴关于𝐶𝑁的对称点为𝐷，连接𝐵𝐷,𝐶𝐷 . （1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠𝐴𝐶𝑁 = 40∘ ，求∠𝐵𝐷𝐶 的度数. 知识点 2 等边三角形的判定 5.下列条件中，不能判定△𝐴𝐵𝐶 为等边三角形的是( ) A.∠𝐴 = ∠𝐵 = 60∘ B.∠𝐵 + ∠𝐶 = 120∘ C.∠𝐵 = 60∘ ，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 D.∠𝐴 = 60∘ ，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 6.如图，一艘轮船由海平面上𝐴地出发，向南偏西40∘ 的方向行驶 80 海里到达𝐵地，再由𝐵地 向北偏西20∘ 的方向行驶 80 海里到达𝐶 地，则𝐴，𝐶 两地相距( ) A.100 海里 B.80 海里 C.60 海里 D.40 海里 7.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 = ∠𝐶 ，若添加一个条件使△𝐴𝐵𝐶 是等边三角形，则添加的条件可以是___ _____________________.（写出一个即可） 62/115 8 数上 基本功 8.如图，△𝐸𝐶𝐵中，∠𝐶𝐸𝐵 = ∠𝐵，延长𝐵𝐸至点𝐴，过点𝐴 作𝐴𝐷//𝐶𝐸，∠𝐴 = 60∘ ，连接𝐶𝐷 . 求证：△𝐸𝐶𝐵 是等边三角形. 知识点 3 等边三角形的性质与判定的综合应用 9.如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 ，𝐶𝐵 = 𝐶𝐷，∠𝐴 = 60∘ ，点𝐸为𝐴𝐷上一点，连接𝐵𝐷， 𝐶𝐸交于点𝐹 ，𝐶𝐸//𝐴𝐵 . （1）判断△𝐷𝐸𝐹 的形状，并说明理由； （2）若𝐴𝐷 = 13，𝐶𝐸 = 9，则𝐶𝐹 的长为 _________ 63/115 8 数上 基本功 15.3.2 等边三角形 课时 2 含 30∘ 角的直角三角形的性质 知识点 含𝟑𝟎∘ 角的直角三角形的性质 1. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90∘ ，∠𝐵 = 15∘ ，𝐴𝐵 的垂直平分线交𝐵𝐶于点𝐷，交𝐴𝐵于点𝐸. 若𝐷𝐵 = 12 cm，则𝐴𝐶 = ( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴: ∠𝐵: ∠𝐵𝐶𝐴 = 1: 2: 3，𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 于点𝐷，𝐴𝐵 = 12，则𝐷𝐵 等于( ) A.3 B.4 C.6 D.9 3.如图，Rt △ 𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐵 = 30∘ ，𝐴𝐶 = 2.𝐷为𝐵𝐶 上一动点，连接𝐴𝐷，𝐴𝐷的 垂直平分线分别交𝐴𝐶，𝐴𝐵于点𝐸，𝐹，则线段𝐵𝐹 长的最大值是( ) A.1 2 B.4 3 C.8 3 D.4 64/115 8 数上 基本功 4.如图，一艘轮船以 15 海里/时的速度由南向北航行，在𝐴处测得小岛𝑃在北偏西15∘ 方向上， 2 小时后，轮船在𝐵处测得小岛𝑃在北偏西30∘ 方向上，在小岛𝑃 周围 18 海里内有暗礁，若轮 船继续向前航行，____触礁的危险.（填“有”或“无”） 第 4 题图 第 5 题图 5.如图，∠𝑀𝐴𝑁 = 60∘ ，点𝐵在射线𝐴𝑀上，且𝐴𝐵 = 2，点𝐶在射线𝐴𝑁 上.若△𝐴𝐵𝐶是锐角三角 形，则𝐴𝐶 的取值范围是___________. 6.如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦 中，已知点𝐴的坐标是(0,9)，以𝑂𝐴为边在其右侧作等边三角 形𝑂𝐴𝐴1 ，过𝐴1作𝑥轴的垂线，垂足为点𝑂1，以𝑂1𝐴1 为边在其右侧作等边三角形𝑂1𝐴1𝐴2，过 点𝐴2作𝑥轴的垂线，垂足为点𝑂2，以𝑂2𝐴2 为边在其右侧作等边三角形𝑂2𝐴2𝐴3，⋯ ，按此规 律继续作下去，得到等边三角形𝑂2 025𝐴2 025𝐴2 026，则点𝐴2 025 的纵坐标为___________. 65/115 8 数上 基本功 7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 90∘，∠𝐵 = 30∘ ，𝐴𝐶 = 6 cm，点𝐷从点𝐴出发以1cm/s的速度向点 𝐶运动，同时点𝐸从点𝐶 出发以2cm/s的速度向点𝐵运动，运动的时间为𝑡s ，解决以下问题： （1）当𝑡为何值时，△𝐷𝐸𝐶 为等边三角形? （2）当𝑡为何值时，△𝐷𝐸𝐶 为直角三角形? 66/115