13.3.1 三角形的内角-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 13.3.1 三角形的内角——课时 1 三角形的内角 知识点 1 三角形内角和定理 1.如图，在证明△𝐴𝐵𝐶内角和等于180∘ 时，延长𝐵𝐶至𝐷 ，过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵，得到∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐸𝐶𝐷， ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐸，由于∠𝐵𝐶𝐷 = 180∘ ，可得到∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 + ∠𝐵𝐴𝐶 = 180∘ ，这个证明方法 体现的数学思想是( ) A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化 2.在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴:∠𝐵: ∠𝐶 = 1: 2: 6 ，则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴 = 40∘ ，∠𝐵 = 68∘ ，𝐸是△𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐶𝐹 延长线上一动点（不 与𝐹点重合），过𝐸点作𝐸𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于𝐷点，当𝐸 点运动时，∠𝐸 的度数( ) A.随𝐸点运动而变化，离𝐹 点越近，度数越大 B.不变，为16∘ C.随𝐸点运动而变化，离𝐹 点越远，度数越大 D.不变，为14∘ 12/115 8 数上 基本功 4.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 60∘ ，按图中虚线将∠𝐶 剪去后，∠1 + ∠2 = ______. 5.【模型理解】 （1）如图（1），𝐴𝐵和𝐶𝐷交于点𝑂，求证：∠𝐴 + ∠𝐶 = ∠𝐵 + ∠𝐷 ； 【模型应用】 （2）如图（2），𝐴𝐸，𝐶𝐸分别平分∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐵𝐶𝐷 ，求证：∠𝐵 + ∠𝐷 = 2∠𝐸 . 13/115 8 数上 基本功 知识点 2 三角形内角和定理与平行线的综合 6.如图所示，以下描述错误的是( ) A.点𝐴位于点𝐵北偏西20∘ 方向 B.点𝐴位于点𝐶北偏东40∘ 方向 C.点𝐶位于点𝐵北偏西63∘ 方向 D.∠𝐴𝐵𝐶 = 53∘ 7.如图，∠𝑃 的两边被一张长方形纸片遮挡部分，若∠1 = 120∘ ，∠2 = 68∘ ，则∠𝑃 = ____. 14/115 8 数上 基本功 13.3.1 三角形的内角——课时 2 直角三角形的性质与判定 知识点 1 直角三角形的性质 1.如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角 的度数是( ) A.45∘ B.35∘ C.55∘ D.25∘ 2.在Rt △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90∘ ，∠𝐴 = 2∠𝐵，则∠𝐴 = ( ) A.60∘ B.30∘ C.45∘ D.90∘ 3.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘ ,𝐴𝐶 ≠ 𝐴𝐵,𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐶,𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐵，𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 ,则图中 与∠𝐶(∠𝐶 除外)相等的角的个数是( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 4.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt △ 𝐴𝐵𝐶 ，∠𝐶 = 90∘ ，并画出了两锐角的平 分线𝐴𝐷，𝐵𝐸及其交点𝐹 .小明发现，无论怎样变动Rt △ 𝐴𝐵𝐶的形状和大小，∠𝐴𝐹𝐵 的度数是 定值.这个定值为______. 15/115 8 数上 基本功 5.如图，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐶 = 90∘ ，∠𝐴 = 30∘ ，过𝐴𝐵边上一点𝐷剪下△𝐴𝐷𝐸，点𝐸在 𝐴𝐶上，当△𝐴𝐷𝐸是直角三角形时，∠𝐴𝐸𝐷 的度数是__________. 6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶 = 90∘ ，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶 . （1）若∠𝐶 = 40∘ ，求∠𝐴𝐷𝐵 的度数. （2）在图中画出△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶上的高𝐴𝐸，与𝐵𝐷 交于点 F.试说明： ①∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐶；②∠𝐴𝐹𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐹 . 16/115 8 数上 基本功 知识点 2 直角三角形的判定 7.如图，在Rt △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 = 90∘ ，直线𝐷𝐸与𝐴𝐶，𝐵𝐶 分别交于𝐷，𝐸两点.若∠𝐷𝐸𝐶 = ∠𝐴， 则△𝐸𝐷𝐶 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 8.如图，𝐶𝐸 ⊥ 𝐴𝐷，垂足为𝐸，∠𝐴 = ∠𝐶 .求证：△𝐴𝐵𝐷 是直角三角形. 9.在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴:∠𝐵: ∠𝐶 = 1:𝑚: 3，则𝑚 的值是______. 17/115 8数上基本功 13.3.1三角形的内角 课时1三角形的内角 知识点1三角形内角和定理 1如图，在证明△ABC内角和等于180°时，延长BC至D,过点C作CE/AB,得到∠ABC=∠ECD, ∠BAC=∠ACE,由于LBCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法 体现的数学思想是( E B D A数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D转化 答案：D 解析：~CE/AB,·∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE.∠BCD=180°， 即∠ECD+∠ACB+∠ACE=180°，÷∠ABC+∠ACB+∠BAC=180° 这个证明方法体现了转化的数学思想，故选D 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:6,则此三角形是( A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D.无法判断 答秦：C 解析∠A:∠B:LC=1:2:6,设∠A=x,∠B=2x, ∠C=6x.∠A+∠B+∠C=180°，即x+2x+6x=180°，解得x=20°， 最大角为∠C=120°，·此三角形是钝角三角形，故选C. 3.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=68°，E是△ABC的角平分线CF延长线上一动点（不 与F点重合)，过E点作ED1AB于D点，当E点运动时，∠E的度数() 17/176 8数上基本功 B D A随E点运动而变化，离F点越近，度数越大 B.不变，为16 C随E点运动而变化，离F点越远，度数越大 D.不变，为14 答案：D 解析：×∠A=40°，∠B=68°，∠A+∠B+∠BCA=180° LBCA=180°-40°-68°=72°.：CF平分∠BCA,∴LBCF=LBCA=36°， ∠BFC=EFD=180°-36°-68°=76°.：ED1AB,∠FDE=90°， ÷∠FED=180°-90°-76°=14°， 当E点运动时，∠E的度数不变，为14°.故选D. 4.如图，在△ABC中，∠C=60°，按图中虚线将LC剪去后，∠1+∠2 答案：240 解析：如图 18/176 8数上基本功 B :∠1+∠DEC=180°，∠2+∠EDC=180°， ÷∠1+∠2+∠DEC+∠EDC=360°.∠C=60°，÷∠DEC+∠EDC=180°-60°=120°， ∠1+∠2=360°-（∠DEC+∠EDC)=240°，故答案为240° 5.【模型理解】 (1)如图(1)，AB和CD交于点0，求证：∠A+∠C=∠B+∠D; B 【证明】在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°，在△B0D中， ∠B+∠D+∠BOD=180°，'∠AOC=∠BOD,+∠A+∠C=∠B+∠D, 【模型应用】 (2)如图(2)，AE,CE分别平分LBAD,∠BCD,求证：LB+∠D=2∠E. E A C 【解】同(1)中模型可得，在△ABF和△CEF中，有∠B+∠BAF=∠E+∠ECF, 19/176 8数上基本功 在△CDG和△AEG中，有LD+LDCE=LE+LEAD, ÷∠B+∠D+∠DCE+∠BAF=2∠E+∠ECF+∠EAD.:AE,CE分别平分∠BAD,∠BCD,· LDCE=LECF,∠BAF=∠EAD,÷∠B+∠D=2LE 知识点2三角形内角和定理与平行线的综合 6如图所示，以下描述错误的是() A.点A位于点B北偏西20°方向 B.点A位于点C北偏东40°方向 C点C位于点B北偏西63°方向 D.∠ABC=53° 北 40 东 C467 20° B 答案：C 解析：如图.由题意得AD/BE,÷∠ABE=∠BAD=20°， ∠CAB=40°+20°=60°.∠ACB=67°，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=53°， ·∠CBE=∠ABC+∠ABE=73°， A 北 409 东 D CQ67 E 20° B 20/176 8数上基本功 7.如图，∠P的两边被一张长方形纸片遮挡部分，若L1=120°，L2=68°，则∠P= 答案：52° 解析：如图，由题意可得∠1=∠3=120°， ÷∠4=180°-120°=60°.∠2=68°， .∠P=180°-∠2-∠4=180°-68°-60°=52°故答案为52°. 21/176 8数上基本功 13.3.1三角形的内角 课时2直角三角形的性质与判定 知识点1直角三角形的性质 1如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角 的度数是( 55 A.45 B.35 C.55 D.25° 答案：B 解析：~直角三角形的两锐角互余，需要补的角的度数为90°-55°=35”，故选B. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2LB,则∠A=() A.60 B.30 C.45 D.90° 答案：A 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°.：∠A=2LB, 3∠B=90°，∠B=30°，∠A=60°故选A 3.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB,DE1AC,DF1AB,AD1BC,则图中 与∠C(LC除外)相等的角的个数是() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 D B 答案：A 22/176 8数上基本功 解析：∠BAC=90°，AD1BC,DF1AB,∠C+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∠BDF +∠B=90°，÷∠C=∠BDF=∠BAD.同理，∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，六∠C =∠ADE,·题图中与∠C(LC除外)相等的角的个数是3个，故选A 4.如图，小明在计算机上用“几何画板画了一个Rt△ABC,∠C=90°，并画出了两锐角的平 分线AD,BE及其交点F小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是 定值这个定值为 答案：135° 解析：~∠C=90°，·∠CAB+∠CBA=90°.：AD平分LCAB,BE平分LABC, LFAB=∠CAB,∠PBA=∠CBA, LFAB+∠FBA=(LCAB+∠CBA)=45°，÷∠AFB=180°-45°=135°故 答案为135 5如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，过AB边上一点D剪下△ADE,点E在 AC上，当△ADE是直角三角形时，∠AED的度数是 D ch B 答案：60°或90 23/176 8数上基本功 解析：当点D为直角顶点时，如图(1)所示，则∠ADE=90,:∠A=30°， ∴∠AED=90°-30°=60°.当点E为直角顶点时，如图(2)所示，则∠AED=90°， 综上，∠AED的度数为60°或90°. A D E D E 图)C B 图(2)C B 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC· B (1)若∠C=40°，求∠ADB的度数 【解】在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，÷∠ABC=90°-40°=50°.：BD 平分∠ABC,∠ABD=∠DBC=号∠ABC=25°，÷∠ADB=90°-∠ABD=65° (2)在图中画出△ABC的边BC上的高AE,与BD交于点F试说明： ①LBAE=∠C;②∠AFD=∠ADF A B E C 【解】如图所示①：AE是BC边上的高线，÷∠AEC=90°， 24/176 8数上基本功 ·∠C+∠CAE=90°.∠BAC=90°，·∠BAE+LCAE=90°，∠BAE=∠C+ ②~AE是BC边上的高线，÷∠AEB=90°， ÷∠DBC+∠BFE=90°.：∠BFE=LAFD,∠ABD=∠DBC, ÷∠AFD+∠ABD=90°.：∠ABD+∠ADF=90°，÷∠AFD=∠ADF. 知识点2直角三角形的判定 7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直线DE与AC,BC分别交于D,E两点.若∠DEC=LA, 则△EDC是() E A锐角三角形 B直角三角形 C.钝角三角形 D无法判断 答案：B 解析：在Rt△ABC中，LB=90°，÷LA+LC=90°.：LDEC=∠A, ·∠DEC+LC=90°，·△EDC是直角三角形故选B 8如图，CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C,求证：△ABD是直角三角形 B 【证明】'CE1AD,LCED=90°，÷∠C+∠D=90°.：∠A=∠C, ∠A+∠D=90°，∠ABD=90°，△ABD是直角三角形 25/176 8数上基本功 9在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:m:3,则m的值是 答案：2或4 解析：设LA=x°，∠C=3x°当2C=90°时，3x°=90°，解得x=30, ∠A=30°，∠B=90°-30°=60°，∠A:∠B:∠C=1:2:3,m=2: 当∠B=90°时，∠A+∠C=90°，即x°+3x°=90°，解得x=22.5, ∠A=22.5°，∠C=67.5°，∠A:∠B:∠C=1:4:3,m=4,故m的值是2或4. 26/176