第07讲 相似三角形的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第07讲 相似三角形的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用两角对应相等判定相似 题型二 利用三边对应成比例判定相似 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型四 相似三角形的判定综合 题型五 选择或补充条件使两个三角形相似 知识清单 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 题型方法 【题型一】利用两角对应相等判定相似 【例1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 3．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【题型二】利用三边对应成比例判定相似 【例2】已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1． 已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． (1)猜想：的度数为______； (2)请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 3． 如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【题型三】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例3】 如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1． 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 2． 如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【题型四】相似三角形的判定综合 【例4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，．下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【题型五】选择或补充条件使两个三角形相似 【例5】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，D是的边上一点，要使，则必须具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    3．（九年级上·安徽合肥·期中）如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 好题必刷 一、单选题 1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 2．如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是(　　) A． B． C． D． 3．如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 5．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（      ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，下列条件不能判定∽的是（   ） A．， B． C．， D．， 8．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（    ） A． B．∠ADE=∠ACB C．AE﹒AC=AB﹒AD D． 9．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 10．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，） 二、填空题 11．如图，在中，D为边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件为 ． 12．如图，△ABC经过平移到△DEF位置，它们的重叠部分的面积是△ABC的一半，若BC=，则BE= ． 13．矩形纸片按如图所示的方法折纸，并在图中连结后，下面所有正确结论的序号是 ． ①和一定相似；②和不可能全等； ③和不可能全等；④和有可能相似． 14．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是 ．(填序号) 三、解答题 15．如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 16．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．    17．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 18．如图，与相似吗？为什么？ 19．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 20．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD． 21．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA 22．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1=∠2，求证：△AFG∽△ABC． 23．是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件EFHG，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F在AB、AC上， 求证：EF：：AD； 设，，用含x的代数式表示y； 设矩形EFHG的面积是S，求S与x的函数关系式，并求当x为何值时S取得最大值，最大值为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 相似三角形的判定 （知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用两角对应相等判定相似 题型二 利用三边对应成比例判定相似 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型四 相似三角形的判定综合 题型五 选择或补充条件使两个三角形相似 知识清单 知识点．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 题型方法 【题型一】利用两角对应相等判定相似 【例1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用两角对应相等判定相似、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，点P在边上，过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 过点作于点，作于点，作交于点，利用相似三角形的判定可得，，，于是可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作交于点， ， 又，，， ，，， 过P画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画条， 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、利用两角对应相等判定相似、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 3．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有 对． 【答案】4/四 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 【题型二】利用三边对应成比例判定相似 【例2】已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1． 已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． (1)猜想：的度数为______； (2)请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-相似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． （2）结合相似三角形的判定与性质，画即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，画，即为所求． ， 则． 3． 如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【题型三】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例3】 如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 【举一反三】 1． 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 2． 如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 【题型四】相似三角形的判定综合 【例4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，．下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B不符合题意； C、根据两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、根据两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明． 【详解】证明：，，，， ， ， ， ． 【题型五】选择或补充条件使两个三角形相似 【例5】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的三角形相似，根据三边对应成比例的三角形相似得判定方法逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴能判定两个三角形相似，符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，D是的边上一点，要使，则必须具备的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的证明，两三角形的有公共角，故添加夹这角的对应边成比例即可证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴只要添加，即 ∴， 故添加即可证明， 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【答案】4 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可． 【详解】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似． 3．（九年级上·安徽合肥·期中）如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 【答案】3或 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【详解】试题分析：在Rt△ABC和Rt△ACD中，进行分类讨论即可． 试题解析：在Rt△ACD中，∵AC＝，AD＝2 ∴CD＝．要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有 ∴ （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 ∴ 答：当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似． 考点：相似三角形的判定． 好题必刷 一、单选题 1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 【答案】D 【详解】解：A．当∠ABP=∠C时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； C．当时， 又∵∠A=∠A， ∴△ABP∽△ACB， 故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 2．如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过相似三角形的判定方法分别对各选项进行判断． 【详解】A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似； B．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似； C．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似； D．不满足相似三角形的判定方法． 故选D． 【点睛】考查了相似三角形的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法． 3．如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，D是AB边的中点， ∴， ∴． 又∵于点E， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴图中与相似的三角形共有3个． 故选B． 4．如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【答案】C 【分析】中，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C． 【详解】解：由题意可得，中，，， ． A、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； B、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； C、中，，，， ∵， ∴， 即与相似，故本选项符合题意； D、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，三组对应边的比相等的两个三角形相似． 5．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE：BC的值． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵EC＝1，AC＝3， ∴AE＝AC−EC＝2， ∴． ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 6．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可． 【详解】根据题意得：BC=B′C，AB=A′B′，AC=A′C，∠B=∠B′，∠A=∠A′=30°，∠ACB=∠A′CB′=90° ∵∠A=30°，∠ACB=90° ∴∠B=60° ∴BB′=BC=B′C，∠B=∠BCB′=∠BB′C=60° ∴∠B′CA=30°，∠ACA′=60°，A′B′∥BC ∴∠B′FC=∠B′FA=90° ∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C∽△A′CF∽△CFB′ ∴有4个 故选D． 【点睛】考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 7．如图，下列条件不能判定∽的是（   ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，依次判断即可． 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽，不符合题意； 、∵， ∴∽，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵，不是两边夹角， ∴不能判定∽，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽，不符合题意； 故选：． 8．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（    ） A． B．∠ADE=∠ACB C．AE﹒AC=AB﹒AD D． 【答案】D 【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可． 【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意； 两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意； 由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意； 而D不是夹角相等，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 9．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故A不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、由图形可知，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 10．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，） 【答案】B 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM，MO＝3，进而得出答案． 【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N， 过点C作CM⊥x轴于点M． ∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°， ∴∠EAO=∠COM， 又∵∠AEO=∠CMO=90°， ∴△AEO∽△OMC， ∴， ∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°， ∴∠BAN=∠EAO=∠COM， 在△ABN和△OCM中， ， ∴△ABN≌△OCM（AAS）， ∴BN=CM． ∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是， ∴BN， ∴CM， ∴， ∴MO=3， ∴点C的坐标是：（3，）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键. 二、填空题 11．如图，在中，D为边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据题意可知，则可添加，利用两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，△ABC经过平移到△DEF位置，它们的重叠部分的面积是△ABC的一半，若BC=，则BE= ． 【答案】-1. 【详解】由题意可知：OE∥AB， ∴△OEC∽△ABC， ∴，即，解得：EC=1. ∴BE=BC-EC=. 13．矩形纸片按如图所示的方法折纸，并在图中连结后，下面所有正确结论的序号是 ． ①和一定相似；②和不可能全等； ③和不可能全等；④和有可能相似． 【答案】①③④ 【分析】先由轴对称的性质证明再证明从而可判断①，在①正确的前提下，只要有一边对应相等，可判断②，由再利用反证法证明③，由只需要另外有一组角的相等，可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由翻折的性质可得： 矩形纸片， 故①正确； 由①正确，则当时，则和全等；故②错误； 如图，连接 由 当和全等时，则 这与是直角三角形，且是斜边最长互相矛盾， 所以和不可能全等；故③正确； 由所以当时， 则和相似，故④正确， 综上；正确的有：①③④ 【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定，同时考查反证法，掌握以上知识是解题的关键． 14．如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：∵, ∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故①满足题意； ∵, ∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故②满足题意； ∵ ∴ ∴根据 “两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故③满足题意； ∵，而与不一定相等，故④不满足题意， ∴综上可得：①②③符合题意． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 三、解答题 15．如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．    【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理． 17．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵， ∴． 18．如图，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据网格求出三角形的边长，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：△ABC与△EFG相似，理由是： 设小正方形的边长为1，则AC＝5，AB＝，BC＝，EF＝2，GF＝，EG＝， ∵，， ∴， ∴△ABC∽△EFG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：三组对应边的比相等的两个三角形相似． 19．如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 20．如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD． 【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：由CE=CD，利用等边对等角得到一对角相等，利用等角的补集相等得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证． 证明：∵CE=CD， ∴∠CED=∠CDE， ∴∠AEC=∠ADB， ∵∠DAC=∠B， ∴△ACE∽△BAD． 考点：相似三角形的判定． 21．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA 【答案】见解析 【分析】通过角度转化，先求出∠D=∠B，然后根据∠C=∠DFG=90°，可证相似． 【详解】∵ DF⊥BC于F，∠C=90° ∴∠DFG＝∠C＝90° 又DE⊥AB于点E ∴∠DGB＋∠B＝90° 又∠DGB＋∠D＝90° ∴∠B=∠D ∴△DFG∽△BCA． 【点睛】本题考查证相似，解题关键是通过角度转化，得出∠D=∠B． 22．在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1=∠2，求证：△AFG∽△ABC． 【答案】见解析 【分析】由条件可证得∠AFG=∠B，结合公共角，可证得结论． 【详解】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB， ∴∠EDB=∠CFA=90°， ∴∠1+∠B=∠2+∠AFG=90°，且∠1=∠2， ∴∠AFG=∠B，且∠FAG=∠GAB， ∴△AFG∽△ABC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即有两角对应相等的两个三角形相似． 23．是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件EFHG，使矩形的一边GH在BC上，其余两个顶点E、F在AB、AC上， 求证：EF：：AD； 设，，用含x的代数式表示y； 设矩形EFHG的面积是S，求S与x的函数关系式，并求当x为何值时S取得最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）见解析 （2）   （3） 【详解】分析：（1）根据EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，进而得出EF：BC=AM：AD； （2）设EF=x，EG=y，利用相似三角形的性质用x表示出y即可； （3）根据矩形面积公式求出S与x之间的解析式，即可得出结论． 详解：证明：四边形EFHG是矩形， ， ∽， ； 解：设，， 故， 解得：． ． 即． 当时，矩形EGHF的面积最大最大值． 点睛：本题主要考查了相似三角形的应用、矩形EGHF的面积的表达，把问题转化为二次函数，利用二次函数的性质是解决问题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$