第07讲 实际问题与二次函数 （知识清单+10大题型+好题必刷） 【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第07讲 实际问题与二次函数 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 题型九 面积问题(二次函数综合) 题型十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型方法 【题型一】图形问题(实际问题与二次函数) 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）一个矩形周长为，不能围成的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、矩形性质理解 【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，设矩形的宽为，则长为，设面积为，根据矩形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则长为，设面积为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴当时，y有最大值为256， 即矩形的面积最大值为， 观察四个选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积与边长的关系式．设矩形的长为，面积为，再根据矩形的面积公式得出、的关系式，求出的最大值即可． 【详解】解：设矩形的长为，则宽为， ∴矩形的面积． ∵−， ∴（）． 故矩形的最大面积是． 故选：． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，又墙长为米，从而可得，故，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为米， ∴． ∴． 又菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是， 即垂直于墙的边长为米时，可围成的菜园的最大面积是平方米． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． (1)求出关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)当该矩形菜园的面积为，求边的长； (3)当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）根据题意可得，进而根据矩形的面积公式可列出函数解析式，在根据和可求出的取值范围； （）把代入（）所得函数解析式计算即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意列出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形菜园的边的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴的取值范围为， ∴； （2）解：当时，， 解得（不合，舍去），， ∴的长为； （3）解：∵， ∴当时，该矩形菜园的面积最大， 即的长为时，该矩形菜园的面积最大． 【题型二】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【例2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值． 根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ∴当时，S取得最小值． 故选：C． 【举一反三】 1．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项的图象符合题意， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对的位置进行分类讨论，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键． 【详解】解：由知点，点， 将，代入， 可得， 解得， ， 由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况， 如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示， 设点， 则点， 当时，的最大值为， 当取大于时，在上方无法找到点， 综上所述：当时，对应的点有且只有两个． 故答案为： 3．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【题型三】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【例3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为3米时，水面的宽度为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式求解即可得出答案，掌握二次函数中、的实际意义是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：或， ∴水面的宽度为：（米）， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 【答案】20 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出抛物线解析式是解题关键． 设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面的宽． 【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，则， 解得：， ， 故答案为：20． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)卡车能顺利通过隧道，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点C坐标代入解析式，求出对应的函数解析式，再令函数值为0，求出x的值得到A、B坐标即可得到答案； （2）把代入解析式求出此时y的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为且过顶点， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴； （2）解：卡车能顺利通过隧道，理由如下： 在中，当时，， ∴卡车能顺利通过隧道． 【题型四】销售问题(实际问题与二次函数) 【例4】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得解． 【详解】解：如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东滨州·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·新疆喀什·期末）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是 ． 【答案】 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：与的函数关系是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为筹集爱心基金资助贫困生，小北组织了线上的爱心售卖活动，线上直播中推出的一款“雅美”文创礼盒，每盒的成本为10元，若按每盒35元销售，则同时段每小时可售出50盒．为了让利全国网友，小北决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加10盒．设该礼盒售价为每盒元，则降价元，每小时的销售利润为元． (1)求关于的函数关系式； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2000元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)销售价应定为每盒20元 (3)当销售价定为25元时每小时的利润最大，为元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出关系式即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 解得：， ∵让利顾客， ∴； 答：销售价应定为每盒20元； （3）∵， ∴当时，最大为， ∴当销售价定为25元时每小时的利润最大，为元． 【题型五】投球问题(实际问题与二次函数) 【例5】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）日渐强大的祖国给了我们安静样和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确代入数据进行计算是解题关键． 令，代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：令， 则， 解得：，， 一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为50秒， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）具有的函数关系，下列解释正确的是（   ） A．小球从飞出到落地要用 B．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是 C．小球的飞行高度可以达到 D．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升 【答案】A 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故B不符合题意； ， ∴对称轴直线为：，最大值为，故C不符合题意； 时，，此时小球继续下降，故D不符合题意； ∵当时，，， ， ∴小球从飞出到落地要用，故A符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 【答案】7 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，令，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据题意，令，则， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即此时羽毛球飞行到与点的水平距离是， 故答案为：7． 3．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中能得满分，理由见解析． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵当水平距离为时，实心球行进至最高点处， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中能得满分，理由如下： ∵对于二次函数，当时，有 解得：， （舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中能得满分． 【题型六】喷水问题(实际问题与二次函数) 【例6】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点到地面的高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器与围墙的距离为（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】D 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m． 【答案】5 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点D和点P的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点D的坐标求得函数的解析式，再求出点C的坐标即可得到的长度． 【详解】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， ∵点P是最高点， ∴设抛物线的解析式为：， 将点D坐标代入，可得：， 解得：， ∴， 令，解得：，， ∴点， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为（单位：），如果在离水面竖直距离为（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系式为． 应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔． (1)写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少? (2)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程达到，求垫高的高度． 【答案】(1)，当时，有最大值为 (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入即可求解解析式，以及求最值； （2）设垫高的高度为m，写出此时关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，即， ∵，， ∴当时，有最大值为， 即当时，有最大值为； （2）解：设垫高的高度为， 则， ∵ 当时，， ∴， ∴垫高． 【题型七】增长率问题(实际问题与二次函数) 【例7】（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【详解】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据平均增长率的定义列式表示出2、3月份的利润即可． 【详解】解：由题意知，2月份的利润为万元，3月份的利润为万元， 因此关于的函数关系式是， 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 【题型八】其他问题(实际问题与二次函数) 【例8】（23-24九年级上·四川南充·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了求二次函数的应用． 根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2． ∵， ∴弹起的最高高度（米）是5． 故选：B． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为 秒． 【答案】20 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解当飞机滑行停止时，取得最大值时解题关键．利用二次函数的性质，求出当取得最大值时，的值即可得． 【详解】解：将函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止， 所以这种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为20秒， 故答案为：20． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）综合与实践：小宇不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为，与y轴交点为，对称轴为，且． (1) ； (2)当与恰好相等时，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)； (3)在大棚内上找不到符合条件的固定点．理由见解析 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查二次函数的应用． （1）根据勾股定理求出； （2）由对称轴得到，由，即当时，，得到，即可得到函数解析式； （3）求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为．令，解得；令，解得（负值不合题意，已舍去），即可进行判断得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，，即， ∴． ∵，即当时，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为． 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵与平行， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ， 直线的解析式为， 令，解得； 令，解得（负值不合题意，已舍去） ， 故在大棚内上找不到符合条件的固定点． 【题型九】面积问题(二次函数综合) 【例9】（九年级上·全国·单元测试）若，符号 表示函数的图象与过点，且和轴垂直的直线及轴围成图形的面积．如图，表示梯形的面积．设，，，则，，中最大的是（        ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】根据题意中介绍的符号的意义，说明A、B、C三个点代表的意义，即在1≤x≤2时，分别处在不同的函数图象上与x轴所围成的面积，然后相比较即可． 【详解】根据题意中介绍的符号的意义可得A、B、C的几何意义； 分别表示在1≤x≤2上，y=，y=-x+3，y=-x2+x的图象与x轴围成图形面积，作图比较可得C＞B＞A． 故C最大． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，培养了学生解决开放性问题的能力，要求学生有较强的阅读理解能力；并能作图比较面积的大小． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 ． 【答案】平方米 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为平方米，矩形的面积为平方米， 其面积为， ∴当边长为2米时，矩形的最大面积为平方米． 故答案为：平方米． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出的图象． (2)用配方法将函数的解析式化为的形式，并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及增减性； (3)设该函数的图象与x轴交于点、，点在点左侧，与y轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)函数图像见解析 (2)，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小 (3)4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与四边形综合，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用描点法画图即可； （2）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标,进而可得增减性； （3）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 【详解】（1）解：列表如下： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 0 1 0 …… 根据题意画图如下所示： （2）解：抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标； ∵函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； （3）解；在中，令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 3．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知如图：抛物线交x轴于点、点，交y轴于点，点B、点D关于y轴对称． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线上对称轴右侧一点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式． （1）设交点式，然后把点坐标代入求出，从而得到抛物线的解析式； （2）利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，再利用关于轴对称的坐标特征得到，则利用待定系数法可求出直线的解析式为，接着求出抛物线与直线相交于点和，过点作轴交直线于点，如图，设，则，所以，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，点关于轴对称， 而， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴抛物线与直线相交于点和， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， 当时，面积的没有最大值； 当， ∴， ∴， ∴当时，面积的有最大值，最大值为． 【题型十】其他问题(二次函数综合) 【例10】（23-24九年级上·四川广安·期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且与y轴的交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数，比如：与是友好同轴二次函数，写出的友好同轴二次函数为： ． 【答案】 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，根据已经解析式求出其友好同轴二次函数，弄清定义是解题的关键． 根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解． 【详解】∵中，对称轴为直线，， ∴的友好同轴二次函数中，对称轴为直线，， ∴． 故答案为：． 【举一反三】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，若抛物线的图象与第三象限中的线段AB有公共点，且点A为，点B为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】当抛物线的对称轴左侧过点B时，b取最大值；当抛物线的对称轴的右侧经过点A时，b取最小值，计算解答即可． 本题考查了抛物线与线段的交点，熟练掌握图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，得， 解得或， 当抛物线经过点A时，得， 解得或， 故b的取值范围是， 故选B． 2．（2025·江苏泰州·二模）已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． (1)若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)是定值， 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，①，②，进而可得，根据（2）可得③，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； （2）在的函数图像上， ， ， ， ， ，； （3）和在上， ①，②， 由②①得，， 在， ③， 由①③得，， ， ． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，．求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题： (1)直接写出函数的“旋转函数”． (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【知识点】其他问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：根据题意得， ∴ ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：设小正方形边长为xcm，由题意知： 现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm， 则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键． 2．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式可得：，这是一个二次函数，根据实际意义，图象应该在第一象限，即可得出答案． 【详解】解：由正方形的面积公式可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 3．已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为，圆柱的侧面积为  ， 则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为，再根据矩形的面积计算方法进行列式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，矩形的一条边长为，则另一边长为：， 则圆柱体的侧面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意列出函数关系式是解决本题的关键． 4．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得：当0≤x≤2时，y=2x×2÷2=2x，当2≤x≤4时，y=， 故选A 5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(       ) A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 【答案】C 【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可． 【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得: ②－①和③－②得 ⑤－④得,解得a=﹣0.2． 将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5． 对称轴=． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案． 6．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距O点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为1：2 【答案】A 【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D． 【详解】当y=7.5时，7.5=4x﹣x2， 整理得x2﹣8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5cm，选项A错误，符合题意； y=4x﹣x2 =﹣（x﹣4）2+8， 则抛物线的对称轴为x=4， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数y=x刻画， ∴斜坡的坡度为1：2，选项D正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 7．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图像如图2，则下列说法正确的是（    ） A．矩形的最大面积为8平方米 B．与之间的函数关系式为 C．当时，矩形的面积最大 D．的值为12 【答案】D 【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图像最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，解得， 由此判断：A．矩形最大面积是4平方米，选项错误； B．二次函数解析式为，选项错误； C．矩形面积最大时，，选项错误； D．当时，矩形面积取最大值，，，选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，解题的关键是识别函数图像，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值，并利用待定系数法求得函数解析式． 8．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，再根据总长求出x与y的等式关系，然后根据矩形的面积公式列出函数，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，则 由所有围栏的总长（不含门）可得： 整理得： 由，即得： 则能建成的饲养室的面积为 整理得： 由二次函数的性质可知，在的范围内，当时，S取得最大值，最大值为75 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，依据题意，正确求出矩形饲养室的长与宽、以及长的取值范围是解题关键． 9．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．36° C．41° D．58° 【答案】C 【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°， ∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键． 10．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作过作轴于点，过点作轴于点，交抛物线于点，由结合，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，再由点、的坐标即可得出、的长度，进而得出周长的最小值． 【详解】解：作过作轴于点， 由题意可知：， ∴周长=， 又∵点到直线之间垂线段最短， ∴当、、三点共线时 最小，此时周长取最小值， 过点作轴于点 ，交抛物线于点，此时周长最小值， 、， ，， 周长的最小值． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键． 二、填空题 11．二次函数实际问题学了 和 【答案】 几何问题 销售利润 【解析】略 12．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ，每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ．（以上关系式只列式不化简）． 【答案】 y＝2000－5（x－100） w＝[2000－5（x－100）]（x－80） 【解析】略 13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来． 【答案】480 【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数的最大值，因此将函数化为顶点式即可． 【详解】解：∵， ∴当时，该函数有最大值480， ∴飞机着陆后滑行480米才能停止． 故答案为：480． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 14．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s． 【答案】2 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2． 15．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，该同学的成绩是 ． 【答案】 【分析】由题可知，该同学的成绩是站立位置到铅球落点间的水平距离，即原点到抛物线与x轴右交点间的距离，求出交点横坐标即可得到结论. 【详解】解：在抛物线中，当y=0时，解方程得：，故该同学的成绩是； 故答案为. 【点睛】本题考查二次函数实际应用，关键把抽象的函数问题与实际问题结合，此题容易将成绩距离理解为抛物线顶点到x轴右交点间的水平距离，造成错误答案. 16．如图，在中，，mm， mm，动点从点开始沿边向以1mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】4 【分析】设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 即经过4秒，四边形的面积最小， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 17．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为 ． 【答案】8 【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1， 此时D点横坐标为5，则CD=8， 当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4， 故C（0，0），D（8，0）， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解此题的关键． 18．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【答案】8 【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 三、解答题 19．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 20．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【答案】（1）20元；（2）降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元． 【分析】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据“利润＝销售的数量每件的盈利”，列方程可求得； （2）设利润为w元，列出w的表达式，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设每件衬衫应降价x元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元； （2）设每件衬衫应降价x元时，平均每天利润为w元，则 由题意得： 由二次函数的性质可知：当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w有最大值为2500元 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键. 21．某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）． (1)当x＝50时，总利润为 　 　元； (2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； (3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)（元）； (2)； (3)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元 【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得； （2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w与x的函数关系式； （3）由每天的销售量不少于38件，可得，进而可求出；根据（2）中结论整理为顶点式，根据二次函数的基本性质可得，当时，w随x的增大而增大，所以当时，w有最大值，代入求解即可得． 【详解】（1）解：当时， ， ∴销售量为40件， 利润为：（元）， 故答案为：400； （2）解：由题意得： ， ， ， ∴w与x的函数关系式为， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 解得：； ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为：（元）， ∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 22．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长； （2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450， 解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； （2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点． 23．某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元 【分析】设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：设每月租出辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益为元． 根据题意得：， 即：． 配方得：． 故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． 24．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大． 【答案】每件定价为元时利润最大． 【分析】设一星期所获利润为y,然后讨论:若每件涨价x元或每件降价a元,根据一星期利润等于每件的利润×销售量分别得到y＝ (60 ＋x－40)(300－ 10x) 或y＝ (60－40－a)(300 ＋ 20a)然后把它们配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案. 【详解】设涨价元，利润为， 则 因此当时，有最大值． 元 每件定价为元时利润最大． 设每件降价元，总利润为， 则 因此当时，有最大值． 每件定价为元时利润最大． 综上所知每件定价为元时利润最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用:根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式y＝a(x－h)2＋k，然后利用当a ＜ 0,x＝ h时,y有最大值k;当a＞ 0,x＝ h时,y有最小值k等性质解决实际问题. 25．某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（）元，销售量为y套． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元 【分析】（1）由销售单价为x元得到销售减少量，用200减去销售减少量得到y与x的函数关系式； （2）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：，然后利用配方法求最值． 【详解】（1）销售单价为x元，则销售量减少， 故销售量为； （2）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得： ． ∵， 当时，w的最大值为4500． 故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握数学建模思想方法，求出表达式是解题的关键． 26．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度可以用公式来表示，其中表示足球被踢出后经过的时间． （1）画出函数的图象； （2）当时，足球距地面的高度分别是多少？ （3）方程的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）球离开地面及落地的时间，足球高度是时的时间．图象见解析 【分析】（1）根据题意画出函数图象即可； （2）把t＝1，t＝2代入h＝﹣4.9t2+19.6t即可得到结论； （3）解方程由此时y＝0，y＝14.7即足球的高度为0和14.7可知方程的根表示的实际意义 【详解】解：（1）画出函数h＝﹣4.9t2+19.6t的图象如图所示； （2）把t＝1，t＝2分别代入h＝﹣4.9t2+19.6t得， h＝﹣4.9+19.6＝14.7，h＝﹣4.9×22+19.6×2＝19.6， 故当t＝1，t＝2时，足球距地面的高度分别是14.7和19.6； （3）解﹣4.9t2+19.6t＝0，得t1＝0，t2＝4， 其中t1＝0表示足球离开地面的时间，t2＝4表示足球落地的时间； 解﹣4.9t2+19.6t＝14.7得，t3＝1，t4＝3， 其中t3＝1表示足球离开地面的高度是14.7m时的时间，t2＝4离开地面的高度是14.7m时的时间， 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握自变量与因变量的实际意义和二次函数的顶点式是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 实际问题与二次函数 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 题型九 面积问题(二次函数综合) 题型十 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型方法 【题型一】图形问题(实际问题与二次函数) 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）一个矩形周长为，不能围成的面积是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，张大爷想用长为米的栅栏围成一个矩形的菜园，一边靠房屋外墙，已知房屋外墙长米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为． (1)求出关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)当该矩形菜园的面积为，求边的长； (3)当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？ 【题型二】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【例2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（   ）秒，四边形的面积最小． A． B．1 C． D．2 【举一反三】 1．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【题型三】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【例3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为3米时，水面的宽度为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 2．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 米． 3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某公路有一个抛物线形状的隧道，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点．（长度单位：） (1)求该隧道截面的最大跨度（即的长度）是 米． (2)该隧道为双向车道，现有一辆货运卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【题型四】销售问题(实际问题与二次函数) 【例4】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）某一芯片实现国产化后，每片芯片的单价为300元，现准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东滨州·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 2．（24-25九年级上·新疆喀什·期末）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是 ． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）为筹集爱心基金资助贫困生，小北组织了线上的爱心售卖活动，线上直播中推出的一款“雅美”文创礼盒，每盒的成本为10元，若按每盒35元销售，则同时段每小时可售出50盒．为了让利全国网友，小北决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加10盒．设该礼盒售价为每盒元，则降价元，每小时的销售利润为元． (1)求关于的函数关系式； (2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2000元，销售价应定为每盒多少元？ (3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润． 【题型五】投球问题(实际问题与二次函数) 【例5】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）日渐强大的祖国给了我们安静样和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）具有的函数关系，下列解释正确的是（   ） A．小球从飞出到落地要用 B．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是 C．小球的飞行高度可以达到 D．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ． 3．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【题型六】喷水问题(实际问题与二次函数) 【例6】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）随着自动化设备的普及，许多家庭庭院也引入了自动喷灌系统．如图，喷灌器喷水点到地面的高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m达到最高0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙与地面的交界点处．若喷灌器喷出的水柱是抛物线，则喷灌器与围墙的距离为（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱的最高点为P，，，水嘴高，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离是 m． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为（单位：），如果在离水面竖直距离为（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系式为． 应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔． (1)写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少? (2)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程达到，求垫高的高度． 【题型七】增长率问题(实际问题与二次函数) 【例7】（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某商店月份的利润是万元，，月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为，月份的利润为，则关于的函数关系式是 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【题型八】其他问题(实际问题与二次函数) 【例8】（23-24九年级上·四川南充·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（   ） A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为 秒． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）综合与实践：小宇不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为，与y轴交点为，对称轴为，且． (1) ； (2)当与恰好相等时，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 【题型九】面积问题(二次函数综合) 【例9】（九年级上·全国·单元测试）若，符号 表示函数的图象与过点，且和轴垂直的直线及轴围成图形的面积．如图，表示梯形的面积．设，，，则，，中最大的是（        ） A． B． C． D．无法比较 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 ． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出的图象． (2)用配方法将函数的解析式化为的形式，并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及增减性； (3)设该函数的图象与x轴交于点、，点在点左侧，与y轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 3．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知如图：抛物线交x轴于点、点，交y轴于点，点B、点D关于y轴对称． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线上对称轴右侧一点，连接，求面积的最大值． 【题型十】其他问题(二次函数综合) 【例10】（23-24九年级上·四川广安·期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且与y轴的交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数，比如：与是友好同轴二次函数，写出的友好同轴二次函数为： ． 【举一反三】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，若抛物线的图象与第三象限中的线段AB有公共点，且点A为，点B为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·二模）已知二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、，记y的最小值为p． (1)若，请直接写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)若，求m的值； (3)点与也在该函数图像上，判断是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，．求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题： (1)直接写出函数的“旋转函数”． (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 好题必刷 一、单选题 1．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．正方形的面积与边长的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为，圆柱的侧面积为  ， 则y与x的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 4．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（     ） A．B．C． D． 5．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(       ) A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 6．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．小球落地点距O点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为1：2 7．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图像如图2，则下列说法正确的是（    ） A．矩形的最大面积为8平方米 B．与之间的函数关系式为 C．当时，矩形的面积最大 D．的值为12 8．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（    ） A． B． C． D． 9．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．36° C．41° D．58° 10．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数实际问题学了 和 12．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ，每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ．（以上关系式只列式不化简）． 13．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝﹣1.2x2+48x，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来． 14．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s． 15．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，该同学的成绩是 ． 16．如图，在中，，mm， mm，动点从点开始沿边向以1mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 17．如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段上，与轴交于，两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点D的横坐标的最大值为 ． 18．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 三、解答题 19．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 20．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 21．某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）． (1)当x＝50时，总利润为 　 　元； (2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　； (3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 22．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 23．某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 24．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大． 25．某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（）元，销售量为y套． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围； (2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 26．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度可以用公式来表示，其中表示足球被踢出后经过的时间． （1）画出函数的图象； （2）当时，足球距地面的高度分别是多少？ （3）方程的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$