第7讲 直线与圆的位置关系（3个知识点12大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第7讲 直线与圆的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 题型一：判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【典例1-2】圆与直线的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交且过圆心 【变式1-1】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【变式1-2】直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-3】（2025·高三·浙江·开学考试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·广东茂名·二模）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 【变式2-1】（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（   ） A． B． C． D．1 题型三：直线与圆的位置关系求距离的最值 【典例3-1】（2025·高二·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高二·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-1】（2025·高三·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·江苏南京·期中）若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：求直线与圆的交点坐标 【典例4-1】（2025·高三·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【典例4-2】（2025·高二·江苏徐州·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】已知圆：，直线：，直线交圆于，两点，设点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·山西大同·期中）圆与直线的交点个数是（ ） A．2 B．1 C．0 D．与m有关 【变式4-3】（2025·高一·广东深圳·期末）函数的图像与 轴，轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ） A．（0,－1） B．（0,1） C． D． 题型五：直线与圆相交的性质 【典例5-1】（2025·高二·广西南宁·期末）已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【典例5-2】（2025·高二·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【变式5-1】已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【变式5-2】已知圆关于直线对称，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点.若，求直线的斜率. 【变式5-3】已知圆C的方程为，且圆C与直线相交于M、N两点. (1)若，求圆的半径； (2)若（为坐标原点），求圆的方程. 题型六：求切线方程 【典例6-1】已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【典例6-2】已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【变式6-1】已知实数满足，则点的轨迹为 ，的取值范围为 【变式6-2】写出过点且与圆相切的一条直线方程 ． 【变式6-3】（2025·高二·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数 ． 题型七：切线长问题 【典例7-1】（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 【典例7-2】（2025·高三·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【变式7-1】过点向圆作切线，切点为，则 . 【变式7-2】若过点作圆的切线，切点为，则 ． 【变式7-3】（2025·高二·广东深圳·期中）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 题型八：坐标法的应用 【典例8-1】（2025·甘肃白银·二模）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 【典例8-2】（2025·高二·重庆·期中）已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【变式8-1】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【变式8-2】已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为 题型九：圆的弦长与中点弦问题 【典例9-1】（2025·全国·模拟预测）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．4 C． D． 【典例9-2】（2025·高二·河南信阳·期末）直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式9-1】（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【变式9-2】直线：与圆：交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（   ） A． B． C． D． 题型十：圆内接三角形问题 【典例10-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 【典例10-2】（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式10-1】（2025·高二·辽宁·期中）过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式10-3】巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 题型十一：切点弦问题 【典例11-1】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知圆过点，，，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积可能为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·全国·模拟预测）已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十二：直线与圆的实际应用 【典例12-1】（2025·高二·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【典例12-2】（2025·高一·云南红河·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱形木材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深寸，锯道尺，则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（    ）（注：，尺寸） A．30平方寸 B．40平方寸 C．50平方寸 D．60平方寸 【变式12-1】（2025·高二·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【变式12-2】（2025·高二·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式12-3】（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 1．（2025·高二·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．（海南省三亚市2024-2025学年高三学业水平诊断数学试题）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（    ） A． B．2 C． D．4 6．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．48 D．64 7．（2025·高二·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 11．（多选题）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知圆 与直线 和 都相切，且圆心 在 轴上，直线 与 轴相交于点 ，过点 作圆 的两条切线.切点分别为 ，直线 与 交于点 ， 则（   ） A．圆 的方程是 B．当 时，四边形 的面积为 C． 的取值范围为 D．若点 ，则 为定值 12．（多选题）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线，点是圆上的动点，则下列结论成立的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的弦长最大值为4 D．若点在直线上，的最大值为，则点的坐标可以是 13．（多选题）（2025·高二·云南昭通·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则或 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 14．直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线的方程为 . 15．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆交于两点，则 . 16．（2025·高二·全国·课前预习）圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0，0)的弦中，最长弦长为 ，最短弦长为 ． 17．（2025·高二·河北沧州·期末）已知，圆的圆心为，过点的圆的切线长是半径的2倍，则圆截直线所得的弦长为 ． 18．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ． 19．（2025·高二·江苏徐州·期中）已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 20．（2025·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 21．（2025·高二·河北石家庄·期中）已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 22．（2025·高二·浙江杭州·期中）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 23．（2025·高二·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. (1)求圆的方程； (2)设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 24．已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 25．（2025·高二·上海虹口·期末）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 直线与圆的位置关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 题型一：判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【解析】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 【典例1-2】圆与直线的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径， 直线即， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切． 故选：A 【变式1-1】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（　　） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解析】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上. 故选：A. 【变式1-2】直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】由题意可得圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故选：C 【变式1-3】（2025·高三·浙江·开学考试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【解析】将圆的方程化为标准方程为，所以圆心坐标为，圆的半径为. 直线可化为，恒过定点. ∵，∴点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：C. 题型二：由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 【典例2-2】（2025·广东茂名·二模）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 【答案】D 【解析】由题意有：圆心到直线的距离为2， 所以， 故选：D. 【变式2-1】（2025·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离. 因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2， 所以，即，又， 解得：. 故选：B 【变式2-2】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 【变式2-3】若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题设，直线过圆心，则， 由，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 题型三：直线与圆的位置关系求距离的最值 【典例3-1】（2025·高二·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 【典例3-2】（2025·高二·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 【变式3-1】（2025·高三·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，所以，点在圆上， 该圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 因此，到直线的距离的最大值为. 故选：D. 【变式3-2】圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 【变式3-3】（2025·高二·江苏南京·期中）若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C的半径为4，直线l上存在到圆C上一点的距离为3的点， 故圆心到直线l的距离，即，解得， 故选：A． 题型四：求直线与圆的交点坐标 【典例4-1】（2025·高三·河南南阳·期末）直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】联立解得：，， 所以. 故选：D 【典例4-2】（2025·高二·江苏徐州·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】联立，即（）， 解得，即交点为. 故直线与曲线的交点个数为1. 故选：B 【变式4-1】已知圆：，直线：，直线交圆于，两点，设点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，圆：，将直线l的方程代入化简得：， 解得：或. 因为直线l的斜率，所以. 故选：D. 【变式4-2】（2025·高二·山西大同·期中）圆与直线的交点个数是（ ） A．2 B．1 C．0 D．与m有关 【答案】A 【解析】把直线化为， 令，，解得，直线过定点， 把代入， 说明定点在圆内，则直线与圆必有2个交点. 故选：A. 【变式4-3】（2025·高一·广东深圳·期末）函数的图像与 轴，轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ） A．（0,－1） B．（0,1） C． D． 【答案】B 【解析】函数的图像与轴的交点分别为的图像与轴的交点，故圆心的横坐标为，设圆心，由可得，求得，即圆心，设此圆与坐标轴的另一个交点是为，则根据圆的弦的性质可得，故选B． 题型五：直线与圆相交的性质 【典例5-1】（2025·高二·广西南宁·期末）已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【解析】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得， 消得， ； 法3：设，联立方程组得， 消得，解得， 则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为， 又的面积， 所以当时取最大值8， 由，得， 解得，， 所以直线的方程为或. 【典例5-2】（2025·高二·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【解析】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为． （2）设，，直线， 联立得，， ，解得， 所以，， ， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线． 【变式5-1】已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【解析】（1）将化为标准方程，得， 则的圆心为，半径. 当直线的斜率不存在时，的方程为. 此时圆心到的距离，不符合题意. 故直线的斜率存在，设的方程为， 即. 圆心到的距离. 由垂径定理可得，即，解得. 故直线的方程为. （2）联立整理得. 设，则. . 故. 【变式5-2】已知圆关于直线对称，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点.若，求直线的斜率. 【解析】（1）由圆，可知圆心，半径为， 因为圆关于直线对称，所以，即 又圆与直线相切于点，所以，即则， 故圆的圆心为，半径. 则，则， 故圆的方程为. （2）依题意可设直线， 联立方程组，整理得， 故，解得， 则，. 由，解得， 所以直线的斜率为. 【变式5-3】已知圆C的方程为，且圆C与直线相交于M、N两点. (1)若，求圆的半径； (2)若（为坐标原点），求圆的方程. 【解析】（1） 如图，是的中点，则，. 由得，圆心为. 圆心到直线的距离为. 在中，有，， ，所以， 故圆的半径为. （2）由得， ∴，即， 由题意联立，可得. 则，所以. 设、，由韦达定理可得，， 因为，所以，则， 又，，即有， 整理可得，即有， 解得，满足，且. 则圆的方程为. 题型六：求切线方程 【典例6-1】已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【解析】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 【典例6-2】已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【解析】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 【变式6-1】已知实数满足，则点的轨迹为 ，的取值范围为 【答案】 圆 【解析】由题意，点为圆上的点，故其轨迹为圆，设，且，可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，如图所示: 在直角中，可得， 可得直线的斜率为； 在直角中，可得， 可得直线的斜率为， 所以的范围为. 故答案为：圆；. 【变式6-2】写出过点且与圆相切的一条直线方程 ． 【答案】或（写出一条即可） 【解析】依题意切线的斜率存在，设斜率为k，则切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以切线方程为或． 故答案为：或（写出一条即可）. 【变式6-3】（2025·高二·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数 ． 【答案】0或 【解析】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 题型七：切线长问题 【典例7-1】（2025·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 . 【答案】 【解析】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 【典例7-2】（2025·高三·山东枣庄·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【解析】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 【变式7-1】过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【解析】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 【变式7-2】若过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】2 【解析】 由题意得圆的圆心坐标，半径，， 则， 所以. 故答案为：2. 【变式7-3】（2025·高二·广东深圳·期中）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值为：． 故答案为：． 题型八：坐标法的应用 【典例8-1】（2025·甘肃白银·二模）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则 ，整理得，， 即点在圆上， 又点在直线上， 故直线与圆有交点， 即，则，解得. 故答案为：. 【典例8-2】（2025·高二·重庆·期中）已知动直线：若直线与直线平行，则的值为 ；若动直线被圆所截，则截得的弦长最短为 ． 【答案】 【解析】当时，显然不符合题意， 当时，由两直线平行，得，解得或， 当时，两直线重合，不符合，所以． 由得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 截得的弦长为， 当且仅当时，取等号． 故截得的弦长最短为． 故答案为：；. 【变式8-1】，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【解析】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 【变式8-2】已知直线和圆C：交于A、B两点，则的最小值为 【答案】4 【解析】直线恒过定点，圆圆心，半径 ，即点在圆内，当且仅当时，长最短， 所以. 故答案为：4 题型九：圆的弦长与中点弦问题 【典例9-1】（2025·全国·模拟预测）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，圆心，圆C的半径为3， 故C到的距离为， 故所求弦长为． 故选：C 【典例9-2】（2025·高二·河南信阳·期末）直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由配方得， 所以圆心为，半径为3，圆心到直线的距离， 所以，. 故选：C. 【变式9-1】（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【解析】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 【变式9-2】直线：与圆：交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为原点，半径，圆心到直线的距离， 所以，解得. 故选：C. 【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）已知过点作与轴不垂直的直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可设直线的方程为，即， 圆心到的距离，又， 所以，解得， 记直线的倾斜角为，，，． 故选：B． 题型十：圆内接三角形问题 【典例10-1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 【典例10-2】（2025·山西吕梁·三模）已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】注意到直线过点C，将直线方程与联立， 可得，其判别式为， 设，则. 又，， 则 ， 当且仅当时取等号. 故选：B 【变式10-1】（2025·高二·辽宁·期中）过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，可得， 所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为，   ， 当且仅当时，等号成立， 此时，原点到直线的距离为， 由图可知，直线的斜率存在，且， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，因为，解得， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 【变式10-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】当取得最大值时，，此时圆心O到直线的距离为， 又直线恒过点，所以直线斜率存在，设为，即， 由点到直线的距离公式得，平方并化简得， 解得或，此时直线的方程为或， 即或. 故选：B 【变式10-3】巳知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【解析】由，即， 由过定点，过定点， 所以在以为直径的圆上，且，要使面积最大，离最远即可， 故面积的最大值是. 故选：B 题型十一：切点弦问题 【典例11-1】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 【典例11-2】过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 【变式11-1】（2025·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 【变式11-2】已知圆过点，，，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于圆过点，，，则圆心在直线上，设为， 则，解得，故圆， 设线段为OD， 由于， 结合图形可知为等腰直角三角形，当，即M在线段OD的中点时， 最小，则最小，此时最小，最小值为， 此时以为直径作圆，圆的最小面积为； 当M位于D或O点时，最大，则最大，此时最大， 此时，最大值为， 此时以为直径作圆，圆的最大面积为； 结合选项可知符合题意， 故选：C 【变式11-3】（2025·全国·模拟预测）已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知当最小时，不经过点， 此时①， ②， 由①②可得，即， 所以当最小时，最小， 又因为点是直线上任意一点， 所以当时，取得最小值，且， 所以. 故选：B． 题型十二：直线与圆的实际应用 【典例12-1】（2025·高二·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【解析】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 【典例12-2】（2025·高一·云南红河·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯这木材，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有一类似问题：一圆柱形木材，有一部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深寸，锯道尺，则该木材埋在墙壁中的截面面积约为（    ）（注：，尺寸） A．30平方寸 B．40平方寸 C．50平方寸 D．60平方寸 【答案】C 【解析】设该圆的半径为，则， 因为，解得. 又因为，所以， 所以扇形的面积， 三角形的面积， 所以阴影部分面积为， 故该木材埋在墙壁中的截面面积约为50平方寸. 故选：C. 【变式12-1】（2025·高二·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解析】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 【变式12-2】（2025·高二·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解析】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式12-3】（2025·高二·内蒙古鄂尔多斯·期中）某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（    ） A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 【答案】C 【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C 1．（2025·高二·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    作与，作与， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 2．（2025·江苏苏州·三模）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线，，，为切点，当的最大值为时，的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】 如图， 当的最大值为时，， 当时，最小时，最大. 由题得， 所以，则； 故选：A. 3．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：B. 4．（海南省三亚市2024-2025学年高三学业水平诊断数学试题）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 5．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以，又因为的斜率为1，故直线的倾斜角为， 所以，所以.    故选：C. 6．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【解析】由有， 设点， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 所以当，即时，取最大值为. 故选：B. 7．（2025·高二·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 8．（2025·河南信阳·模拟预测）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：A. 9．（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，当与圆相切于点时，取得最小值，连接. 由题意得，，圆半径为，则， 所以，故. 过点E作x轴的垂线，垂足为N，则，所以， 所以，即的最小值为． 故选：B． 10．（多选题）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【解析】如图，圆的方程为，由于圆的对称性，不妨设， 因，则，则， 因，则点的轨迹为以为直径的圆，且位于圆内部， 中点为，，则以为直径的圆方程为， 设，则，则， 又与的交点坐标为， 则，则， 故AD正确，BC错误. 故选：AD 11．（多选题）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知圆 与直线 和 都相切，且圆心 在 轴上，直线 与 轴相交于点 ，过点 作圆 的两条切线.切点分别为 ，直线 与 交于点 ， 则（   ） A．圆 的方程是 B．当 时，四边形 的面积为 C． 的取值范围为 D．若点 ，则 为定值 【答案】ACD 【解析】 因为圆的圆心在x轴上，且与直线和都相切， 所以圆M的标准方程为，故A正确； 对于B，因为是圆的切线，所以. 在Rt△APM中，. 当时，，又，所以， 则，所以四边形PAMB的面积， 故B错误. 对于C， . 因为，所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以.故C正确. 对于D，由题意，知，，，， 所以四点共圆， 记此圆为圆D，则PM为圆D的直径，圆心，半径为， 圆D的方程为. 因为AB是圆D与圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为； 化简得，所以直线经过定点. 因为，所以， 因为点在直线AB上，所以，即点在以为直径的圆上. 因为，，所以圆心为点，恰为Q点，半径为. 因为点C在该圆上，所以为定值.故D正确. 故选：ACD. 12．（多选题）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线，点是圆上的动点，则下列结论成立的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的弦长最大值为4 D．若点在直线上，的最大值为，则点的坐标可以是 【答案】ABD 【解析】对于A，直线的斜率为， 当时，直线的斜率为，易知其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交，故B正确； 对于C，因为圆的圆心为，半径为，直径为4， 又直线过定点且斜率一定存在，所以直线不过圆心， 故直线被圆截得的弦长小于4，故C错误； 对于D选项，点是直线上一定点， 点是圆上的动点， 若的最大值为，且的坐标为， 则与圆相切，此时， 则，则，符合题意， 故的坐标可以为，故D正确．      故选：ABD 13．（多选题）（2025·高二·云南昭通·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则或 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 【答案】ABD 【解析】直线l过定点，圆，所以圆心为，半径为． 对于A，若，则圆心到直线的距离为，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离为，解得或，故B正确； 对于C，将代入到l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：ABD． 14．直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线的方程为 . 【答案】或 【解析】当截距不为0时，设直线，，即， 圆的圆心为，半径为， 故，解得（舍去）或4， 故直线方程为， 当截距为0时，设直线， 则，解得， 故直线方程为， 综上，直线方程为或. 故答案为：或 15．（2025·高二·江苏南京·期末）已知直线：与圆交于两点，则 . 【答案】 【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为， 又由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得. 故答案为：. 16．（2025·高二·全国·课前预习）圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0，0)的弦中，最长弦长为 ，最短弦长为 ． 【答案】 【解析】由圆，可得圆心，半径， 因为点在圆内，最长的弦为过的直径，所以最大弦长为，最短弦是过且与过的直径垂直的弦，因为与圆心的距离为1，所以最短弦长为. 故答案为：；. 17．（2025·高二·河北沧州·期末）已知，圆的圆心为，过点的圆的切线长是半径的2倍，则圆截直线所得的弦长为 ． 【答案】 【解析】由题知，设半径为，因为过点的圆的切线长是半径的2倍， 所以，，解得， 所以，圆心到直线的距离， 所以弦长为． 故答案为： 18．（2025·山东·三模）在平面直角坐标系中，已知点、，曲线上动点满足，与曲线交于、两点，则最小值为 ． 【答案】 【解析】设点，由得， 化简得，所以曲线是以点为圆心，半径为的圆， 直线的方程可化为， 由得，即直线过定点， 且，故点在圆内，易知轴， 当时，即当时，圆心到直线的距离取最大值，且， 故，即最小值为. 故答案为：. 19．（2025·高二·江苏徐州·期中）已知两定点，，动点M满足，其轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在斜率为的直线l，使得以l被曲线C截得的弦PQ为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由. 【解析】（1）设，则， 整理得； （2）设存在， 联立圆C方程有，整理得， 则，则， 此时弦PQ为直径的圆过原点， 即 ，即，符合题意； 即或. 20．（2025·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． 21．（2025·高二·河北石家庄·期中）已知点，动点P满足，点T为线段AP的中点． (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点作直线l与曲线C交于两点M，N，设直线BM，BN的斜率分别为，求． 【解析】（1）设，由可得， 又可得，即，化简可得. （2）当直线的斜率不存在时不满足题意，设直线的方程为，即，. 联立可得，化简得，则，. 由，解得. 又 即    22．（2025·高二·浙江杭州·期中）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； (3)过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【解析】（1）设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. （2）设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. （3） 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 23．（2025·高二·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆过点且圆心在轴上，与直线交于不同的两点、，且. (1)求圆的方程； (2)设圆与轴交于，两点，点为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且，在直线两侧，求证：直线过定点，并求出的值. 【解析】（1）因为圆心在轴上，故可设， 由，故点、点都在线段的垂直平分线上，所以， 则有，则，解得， 则，故圆的方程为：； （2）由圆的方程为：，令，则，则可设，， 设，，，则，， 设，则，直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， ，， 直线的方程为：， 代入圆的方程消去得：，， 则，， 设直线过定点，则直线斜率为：， 即有，整理得， 所以，故直线过定点. 24．已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【解析】（1）已知圆，则圆心为，. 设直线，圆心到直线的距离， 则. 直线与直线垂直，则直线. 当时，. 当且仅当时S取到最大值7. 当时，，， 综上，当时S取到最大值7. （2） 设，记，，直线，. 联立直线和圆，得. 恒成立，，，， 可得直线 ，解得， 所以点N恒在定直线. 25．（2025·高二·上海虹口·期末）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【解析】（1）由题设，所以圆的标准方程为． （2）由题意，，故，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以的长等于． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$