第01讲 集合的概念-2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版2019必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第01讲 集合的概念 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：集合的概念 考点2：元素与集合的关系 考点3：集合的表示方法 考点4：元素的个数 考点5：已知元素的特征求参数 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】集合的含义 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 【知识点2】元素与集合 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2．集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点3】集合的表示方法与分类 1．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2．集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：集合的概念 【例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【变式1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 考点2：元素与集合的关系 【例2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建宁德·期中）用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， . 【变式3】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 考点3：集合的表示方法 【例3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 【例4】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）集合，用描述法可表示为 ． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ． 【变式3】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 考点4：元素的个数 【例5】（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【变式3】（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 考点5：已知元素的特征求参数 【例6】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【例7】已知集合，则实数a的值为 ． 【变式1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【变式2】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【变式3】（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． （1）证明：； （2）若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 模块三 知识检测 考点1：集合的概念 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 考点2：元素与集合的关系 3．（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 5．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习） ；   ;     . 考点3：集合的表示方法 6．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 9．（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ． 考点4：元素的个数 10．设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知集合，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 12．若集合，，则中所含元素的个数为（ ） A． B．6 C． D．10 考点5：已知元素的特征求参数 13．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 14．（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 15．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 8．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·甘肃武威·期中）（多选）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 15．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 18．（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值． 19．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 21．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】集合的含义 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母 a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示． 3．对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是 描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集 合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 【知识点 2】元素与集合 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果 a是集合 A的元素，就说 a属于集合 A，记作 a∈A，读作 a属于 A． （2）不属于：如果 a不是集合 A的元素，就说 a不属于集合 A，记作 a∉ A，读作 a不属于 A． 【注意】符号“∈”和“∉ ”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2．集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在 这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互 异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点 3】集合的表示方法与分类 1．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 记法 N *N 或 +N Z Q R 2．集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于 10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不 能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设 A表示一个集合，把集合 A中所有具有共同特征 P（x）的元素 x所组成的集合 表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：集合的概念 【例 1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【变式 1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（ ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于 1的实数 D．最接近 1的实数 【变式 2】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（ ） A．南充高中高 2024级个子较高的学生 B．高中数学人教 A版必修第一册中的难题 C．关于 x的方程 2 1 0x - = 的所有实根 D．无限接近于 π的所有实数 【变式 3】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程 2 1 0x   在实数集内的解；③直角坐标平 面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 考点 2：元素与集合的关系 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 【例 2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（ ） A．0N B．0  C． 1 3 Q D． πR 【变式 1】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． 2 N B． π Q C． 0 N D． 3 Z 2  【变式 2】（24-25高一上·福建宁德·期中）用符号“”或“”填空：（1）若A为所有亚洲国家组成的集合， 则泰国 A；（2） 2 Q， 2 7 Q . 【变式 3】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列 6个关系：① 2 2 R，② 3Z ，③0 N ，④ 4N， ⑤ πQ ，⑥ 2 Z ．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 考点 3：集合的表示方法 【例 3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合： . 【例 4】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）集合 {1, 2,3, 4,5}A  ，用描述法可表示为 A ． 【变式 1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合 3N Z 1 A x x        ，则用列举法表示 A （ ） A． 2,0,1,2,4 B． 2,0,2,4 C． 0,2,4 D． 2,4 【变式 2】（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于 1且小于 6的整 数． ． 【变式 3】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合 B用描述法表示为 B  ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 考点 4：元素的个数 【例 5】（24-25高一上·广东·阶段练习）集合 3x x Z 中的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式 1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程 2 5 6 0x x   和 2 2 0x x   的解为元素组成集合 M ，则M 中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式 2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由 1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字 的自然数集合有（ ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【变式 3】（24-25高一上·河南·期中）若集合 {0,1,3}, { , }A B xy x A y A   ∣ ，则 B的元素个数 为 . 考点 5：已知元素的特征求参数 【例 6】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合  2 5 0A x x x m   ∣ ，若1 A ，则 A（ ） A． 1 B． 1, 4 C． 1,2 D． 1,4 【例 7】已知集合    2 2 22, 1, 4 , 0, 2 ,5A a a a B a a A       ，则实数 a的值为 ． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合  1, 1 , 2A a a   ，且 2 A ，则实数 a的值为 ． 【变式 2】已知集合A中有三个元素： 3a  ， 2 1a  ， 2 1a  ，集合 B中也有三个元素：0，1， x． （1）若 3 A  ，求实数 a的值； （2）若 2x B ，求实数 x的值． 【变式 3】（24-25高一上·云南红河·期中）记关于 x的方程 2 2( , )x ax b a b   R 的解集为M ，且M 恰有 3个元素． （1）证明： 2 4 8a b  ； （2）若以M 中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求 a,b的值． 模块三 知识检测 考点 1：集合的概念 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数 2 3 6 41,0,5, 3 7 9 5 ，，，组成的集合中有 7个元素 D．由不大于 4的自然数组成的集合的所有元素为1,2,3,4 2．（多选）下列集合是有限集的是（ ） A．不超过π的正整数构成的集合 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在 55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于 2的整数构成的集合 考点 2：元素与集合的关系 3．（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ） A． 1 Q 2  B． 2 R C． *0N D． π Z 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 5．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）0 N； 3 Z ; π R . 考点 3：集合的表示方法 6．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合 1 2x x  N 的另一种表示为（ ） A． 0,1, 2,3 B． 0,1,2 C． 0,1 D． 1,2 7．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式 21 3 0x  的解集是（ ） A．{ | 7}x x   B．{ | 7}x x   C．{ | 7}x x  D．{ | 7}x x  8．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于 x与 y的二元一次方程组 2 0 y x x y      的解集为 ． 9．（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式 2 2x  的解集为 ． 考点 4：元素的个数 10．设集合   , 1, ,A x y x y x Z y Z     ，则A中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知集合  2, 2A   ，  | , ,B m m x y x A y A     ，则集合 B等于（ ） A． 4, 4 B． 4,0,4 C． 4,0 D． 0 12．若集合  01 2 3A  ，，， ，    , ,B x y x A y A x y A    ， ，则 B中所含元素的个数为（ ） A．4 B．6 C． 7 D．10 考点 5：已知元素的特征求参数 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 13．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合  22, 4 ,12A a a a   ，且 3 A  ，则 a等于（ ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 14．（18-19高一上·江苏南通·期中）已知 2 {1,0, }x x ，则实数 x的值为（ ） A．0 B．1 C． 1 D． 1 15．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设m是实数，集合  2,M m m ，若1 M ，则m  . 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（ ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于 8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ① 2R ，② 2Z， ③0N ，④ 3 Q． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合  3, 2,0,1,2,3,4A    ，  ,B x x A x A    ，则 B （ ） A． 0,1,4 B． 1,4 C． 0,2,3 D． 0,1, 2,3, 4 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合 1 1 2 3       ， 中所有元素的和为（ ） A． 12 B． 1 5 C． 5 6 D． 2 5 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程 ( 2)( 3) 0x x   的解集表示不正确的是（ ） A．{2,3} B．{3,2} C．{(2,3)} D．{ | ( 2)( 3) 0}x x x   6．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合 { }2,0,1,3A = - ，集合  3B x x A x A    且 ，则 B （ ） A． 0,3 B． 2,1 C． 2, 1 D． 0,1,3 7．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合 * * 12N NM x x x         且 相等的集合是（ ） A． 2,3,4,6 B． 1,2,3,4,6,12 C． 2,3,4,6,12 D． 1,2,3,4,6 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 8．集合 * 3 2x x  N∣ 的另一种表示法是（ ） A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5} 9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合  1,2,3A  ，  3,5B  ，则  2 , ,C x x a b a A b B     中的 元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2024·四川乐山·三模）已知集合      1,0,1 , 1,2 , , ,A B C x x a b a A b B       ∣ ，则集合C的元素 个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．集合 4 , , 3 A y y x y x          Z Z 中的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2025·辽宁·二模）设集合  2 1A x x m  .若 2 A ，则m的取值范围是（ ） A． 3m  B． 3m  C． 3m  D． 3m  13．（24-25高一上·甘肃武威·期中）（多选）一次函数 3y x  与 2y x  的图象的交点组成的集合是（ ）. A．{1, 2} B． 2{ }1,x y   C．{(1, 2)} D． 3 {( , ) | } 2 y x x y y x      14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于 10的素数组成的集合用列举法表示为 . 15．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合  23, 2 1, 1A a a a    ，集合 {0,1, }B x . (1)若 3 A  ，求 a的值； (2)是否存在 a和 x的值使得 A B ，若存在，求出 a和 x的值；若不存在，请说明理由. 16．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合  2 2 1 0, R, RA x ax x a x      ． (1)若1 A ，求 a的值； (2)若A中只有一个元素，求 a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求 a的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合A中有三个元素，分别为 2， x， 2x ； (1)求实数 x应该满足哪些条件？ (2)若1 A ，求 x的取值． 18．（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合 2{ 3, 1,2 1}A a a a    ，若 3 A  ．求实数 a的值． 19．已知含有两个元素的集合 2 }3{A m m m , ，其中 Rm ． (1)实数 m不能取哪些数？ (2)若 4 A ，求实数 m的值． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合  22,3, 4 2A a a   ， 2{0,7, 4 2, 2B a a a    ，且7 A ， 求集合 B． 21．（2023·北京顺义·一模）已知实数集  1 2, , , ( 3)nA a a a n  ，定义  ( ) , ,i j i jA a a a a A i j    ． (1)若  2,0,1, 2A   ，求  A ； (2)若    0, 6, 8, 12,12,18,24A     ，求集合 A； (3)若 A中的元素个数为 9，求  A 的元素个数的最小值． 暑假优学 人教A版 必修第一册 第01讲 集合的概念 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：集合的概念 考点2：元素与集合的关系 考点3：集合的表示方法 考点4：元素的个数 考点5：已知元素的特征求参数 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】集合的含义 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 【知识点2】元素与集合 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2．集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【知识点3】集合的表示方法与分类 1．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2．集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：集合的概念 【例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 考点2：元素与集合的关系 【例2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见数集与元素之间的关系以及空集定义逐项判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知0是自然数，所以，即A正确； 对于B，空集中没有任何元素，是集合，而0是实数，两者不相等，所以错误； 对于C，是有理数，可得，即C正确； 对于D，是实数，因此，即D正确. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】A，2是自然数，故A正确；B，是无理数，不是有理数，故B错误； C，0是自然数，故C错误；D，是分数，不是整数，故D错误. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·福建宁德·期中）用符号“”或“”填空：（1）若为所有亚洲国家组成的集合，则泰国 ；（2） ， . 【答案】 【分析】根据各集合的定义，判断各元素与集合间的关系. 【详解】因为泰国属于亚洲，所以泰国； 因为表示有理数，不是有理数，是有理数， 所以，， 故答案为：，，. 【变式3】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 考点3：集合的表示方法 【例3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）用列举法表示“能整除的所有正整数”组成的集合： . 【答案】 【分析】首先写出能整除的正整数，然后用列举法写成集合的形式. 【详解】因为能整除的正整数有， 所以“能整除 9 的所有正整数”组成的集合为. 故答案为： 【例4】（24-25高一上·山西晋中·阶段练习）集合，用描述法可表示为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据集合元素特征和描述法定义得到答案. 【详解】. 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·天津宁河·期中）用列举法表示下列集合：大于1且小于6的整数． ． 【答案】 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可. 【详解】因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5， 所以该集合为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 考点4：元素的个数 【例5】（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据集合的描述法转化为列举法表示得解. 【详解】，该集合中的元素有5个． 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 考点5：已知元素的特征求参数 【例6】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 【例7】已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 【变式1】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 【变式2】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 【变式3】（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． （1）证明：； （2）若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【分析】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【详解】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 模块三 知识检测 考点1：集合的概念 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 考点2：元素与集合的关系 3．（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各个符号表示的含义及元素与集合的关系逐个分析判断即可. 【详解】A.因为为有理数，所以，选项A正确， B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误， C.因为0不是正整数，所以，选项C错误， D.因为为无理数，所以，选项D错误. 故选：A 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）用“”和“”表示，1 N. 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系解题. 【详解】N为自然数集，则. 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习） ；   ;     . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，以及常用数集的表示，即可求解. 【详解】因为是自然数，是整数，是实数，可得，， 故答案为：；；. 考点3：集合的表示方法 6．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 7．（24-25高一上·广西南宁·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出不等式，然后由描述法表示成集合即可. 【详解】解不等式可得：， 故其解集为：. 故选：C 8．（24-25高一上·上海长宁·期末）关于与的二元一次方程组的解集为 ． 【答案】； 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 9．（24-25高一上·广东珠海·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】先解出不等式，进而写出解集. 【详解】由，即或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 考点4：元素的个数 10．设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以当时，由可得：； 当时，由可得：； 当时，由可得：， 当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立， 所以, 因此中元素的个数为5.故选：C 11．已知集合，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 所以， 故选：B 12．若集合，，则中所含元素的个数为（ ） A． B．6 C． D．10 【答案】D 【解析】因为集合，， 当时，；则是集合中的元素； 当时，或，则，是集合中的元素； 当时，或或，则，，是集合中的元素； 当时，或或或，则，，，是集合中的元素. 即中所含元素的个数为个.故选：D. 考点5：已知元素的特征求参数 13．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 14．（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 15．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念确定集合的所有元素，求和即可. 【详解】集合的所有元素是，故所有元素的和为. 故选：C. 5．（24-25高一上·山东菏泽·期中）方程的解集表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设，应用列举法、描述法分析正确的集合表示方式，即可得答案. 【详解】方程的解为， 所以，，都可以表示该方程的解集， 表示的是含有点的集合． 故选：C 6．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 7．（24-25高一下·山西·开学考试）与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 8．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 10．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 11．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 12．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 13．（24-25高一上·甘肃武威·期中）（多选）一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】解方程组并结合一次函数图象交点组成的集合为点集，即可求得答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是或， 而，不是点集，不合题意； 故选：CD 14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可． 【详解】小于10的素数组成的集合为：． 故答案为：． 15．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 16．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 17．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 【答案】(1)且且且 (2) 【分析】（1）根据集合元素的互异性列不等式来求得正确答案. （2）结合（1）求得正确答案. 【详解】（1）根据集合元素的互异性可知， 解得且且且. （2）由于，结合（1）的结论可知， 所以，解得（舍去）. 18．（24-25高一上·天津蓟州·阶段练习）已知集合，若．求实数的值． 【答案】或 【分析】分与讨论，同时也需要验证是否满足互异性，从而解得． 【详解】解：若，则， 此时，，成立； 若，则； 此时，，故成立； 故实数或． 19．已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 21．（2023·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$