5.2 解一元一次方程-【基本功】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步练习（人教版2024）

第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 1 解一元一次方程 —— 合并同类项 知识点 1 利用合并同类项解一元一次方程 1.方程3𝑥 − 𝑥 = 4 的解是( ) A.𝑥 = −2 B.𝑥 = 2 C.𝑥 = −1 D.𝑥 = 1 2.下面解方程的结果正确的是( ) A.方程4 = 3𝑥 − 4𝑥的解为𝑥 = 4 B.方程−9 = 5𝑥 − 2𝑥的解为𝑥 = 3 C.方程3 2 𝑥 − 𝑥 = 1 3 的解为𝑥 = 2 3 D.方程1 − 4 = 3𝑥的解为𝑥 = −9 3.若代数式4𝑥 − 5与3𝑥 − 9的值互为相反数，则𝑥2 − 2𝑥 + 3 的值为___. 4.一元一次方程 𝑥 −4×5 + 𝑥 −5×6 + 𝑥 −6×7 +⋯+ 𝑥 −9×10 = 6 的解为_________. 5.解方程： （1）13𝑥 − 6𝑥 = −15 − 27 ； （2）− 5 2 𝑥 + 6𝑥 = 7 3 ； （3）−0.5𝑚 + 7.5𝑚 − 4𝑚 − 1.5𝑚 = 2 × (−3) − 2 × 1.5 . 64/103 第 5章 一元一次方程 知识点 2 利用合并同类项解一元一次方程的应用 6.有一列数，按一定规律排列成 1，−2，4，−8 ，16，−32，⋯ .其中某三个相邻数的和是− 384 ，则这三个数中，中间的一个数为( ) A.128 B.256 C.−256 D.−128 7.“中国杂交水稻之父”袁隆平一生致力于水稻研究.现有 A、B两块试验田各 30亩，A块试 验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的 1.2倍，两块 试验田单次共收获水稻 56 100千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克.（注：1亩≈ 666.67 平方米） 8.甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位爱心人士捐赠图书的 册数之比是5: 8: 9 ，如果他们共捐了 748 册图书，那么这三位爱心人士各捐赠多少册图书？ 65/103 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 2 解一元一次方程 —— 移项 知识点 1 利用移项解一元一次方程 1.在下面的移项中，正确的是( ) A.若𝑥 − 4 = 8，则𝑥 = 8 − 4 B.若3𝑠 = 2𝑠 + 5，则−3𝑠 − 2𝑠 = 5 C.若5𝑤 − 2 = 4𝑤 + 1，则5𝑤 − 4𝑤 = 1 + 2 D.若8 + 𝑥 = 2𝑥，则8 − 2𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 2.下列方程中，与𝑥 − 1 = −𝑥 + 3 的解相同的是( ) A.𝑥 + 2 = 0 B.2𝑥 − 3 = 0 C.𝑥 − 2 = 2𝑥 D.𝑥 − 2 = 0 3.若3𝑥 + 1的值比2𝑥 − 3的值小 1，则𝑥 的值为( ) A.−5 B.−1 C.−3 D.1 5 4.若某数除以 4再减去 2，等于这个数的 1 3 加上 8，则这个数是______. 5.对于两个不相等的有理数𝑎,𝑏,我们规定符号min{𝑎，𝑏} 表示𝑎，𝑏两数中较小的数，例如min {2，−4} = −4，则方程min{𝑥，−𝑥} = 3𝑥 + 4 的解为________. 6.解方程： （1）5 − 2𝑥 = 3𝑥 − 6 ； （2） 4 3 𝑥 + 5 = 𝑥 − 17 . 66/103 第 5章 一元一次方程 知识点 2 利用移项解一元一次方程的应用 7.爸爸比儿子大 27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的 4倍，则今年爸爸____岁,儿子___岁. 8.某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物.如果每人制作 9 个，那么就比计划少做 17 个；如果每人制作 12个，那么就比计划多做 4 个.问这个手工兴趣 小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？ 9.解方程： 11 5 𝑥 + 5 = − 4 5 𝑥 − 1 .佳佳的解题过程如下： 解：移项，得 11 5 𝑥 + 4 5 𝑥 = 5 − 1 .① 合并同类项，得3𝑥 = 4 .② 系数化为 1，得𝑥 = 4 3 .③ 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来. 67/103 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 3 解一元一次方程 —— 去括号 知识点 1 利用去括号解一元一次方程 1.解方程1 − 2(2𝑥 − 1) = 𝑥 ，以下去括号正确的是( ) A.1 − 4𝑥 − 2 = 𝑥 B.1 − 4𝑥 + 1 = 𝑥 C.1 − 4𝑥 + 2 = 𝑥 D.1 − 4𝑥 + 2 = −𝑥 2.如果2(𝑥 + 3)的值与−3(1 − 𝑥)的值相等，那么𝑥 的值为( ) A.9 B.−9 C.3 D.− 3 5 3.小明在解方程3𝑥 − (𝑥 − 2𝑎) = 4 去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为𝑥 = −2 ，那么方程正确的解为( ) A.𝑥 = 2 B.𝑥 = 4 C.𝑥 = 6 D.𝑥 = 8 4.已知关于𝑥的方程3𝑥 − (𝑎𝑥 − 2) = 6 有正整数解，则整数𝑎 的所有可能的取值之和为___. 5.解方程： （1）3(2𝑥 + 6) = −𝑥 − 17 ； （2）4(𝑥 − 2) − 1 = 3(𝑥 − 1) ； （3）4(𝑥 + 1) − 5(𝑥 − 3) = 11 ； （4）4(𝑥 − 1) − 1 2 (2𝑥 + 6) = 11 . 68/103 第 5章 一元一次方程 知识点 2 利用去括号解一元一次方程的应用 6.甲、乙两站相距 275千米，一辆慢车以 50千米/时的速度从甲站出发开往乙站.若 1小时后， 一辆快车以 75千米/时的速度从乙站出发开往甲站，则快车开出后与慢车相遇所需要的时间是 ( ) A.1.8 小时 B.1.7小时 C.1.6小时 D.1.5小时 7.如图所示，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，将三个完全相同的小长方形，沿“横-竖-横”的顺序排列， 若𝐴𝐵 = 6 cm，𝐵𝐶 = 8 cm ，则一个小长方形的周长等于 ______. 8.嘉琪同学在解方程2(3 − 𝑥) = 9 时，步骤如下： 解：去括号，得 6−𝑥=9 . 第①步 移项，得−𝑥=9−6 . 第②步 合并同类项，得−𝑥=3 . 第③步 系数化为 1，得𝑥=−3 . 第④步 嘉琪的解方程的步骤从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程. 69/103 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 4 解一元一次方程 —— 去分母 知识点 1 利用去分母解一元一次方程 1.把方程 𝑥−1 2 = 1 − 𝑥+3 4 去分母，得( ) A.2(𝑥 − 1) = 1 − (𝑥 + 3) B.2(𝑥 − 1) = 4 + (𝑥 + 3) C.2(𝑥 − 1) = 4 − 𝑥 + 3 D.2(𝑥 − 1) = 4 − (𝑥 + 3) 2.若代数式 𝑎+3 4 比 2𝑎−3 7 的值大 1，则𝑎 = ( ) A.−5 B.− 1 5 C.5 D.1 5 3. 数学老师在黑板上写了如图所示的两个关于𝑥 的方程，并解出方程①的解比方程②的解小 4，则𝑎 的值为( ) ① 𝑥+𝑎 2 = 𝑥+𝑎 3 ；②6𝑎 − 2𝑥 = 𝑥 + 6 A.3 2 B.− 3 2 C.2 D.−2 4. 请你写出一个一元一次方程，且符合下面的要求：①方程的解是𝑥 = −2 ；②含分母，且 去分母时会出现括号.你写的方程是_____________________. 5.解方程： （1） 2𝑥−1 3 − 5𝑥−1 2 = 1 ； （2）2 − 𝑥−1 2 = 2𝑥+1 3 − 𝑥 . 70/103 第 5章 一元一次方程 知识点 2 利用去分母解一元一次方程的应用 6.一列火车通过 600米长的大桥要 30秒（从车头上桥到车离桥），以相同的速度通过 400米 长的隧道要 25秒（从车头进隧道到车尾离开隧道），那么该列火车的速度是( ) A.16 米/秒 B.20米/秒 C.30米/秒 D.40米/秒 7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著.《算法统宗》中记载了这样一个题目：九 百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大 意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以 买甜果九个，问苦果和甜果各有几个？设苦果有𝑥个，则𝑥 的值为_____. 8.以下是乐乐解方程 𝑥+1 2 − 𝑥−3 3 = 1 的过程. 解：去分母，得3(𝑥 + 1) − 2𝑥 − 3 = 1 .…………① 去括号，得3𝑥 + 3 − 2𝑥 − 3 = 1 .…………② 移项、合并同类项，得𝑥 = 1 .…………③ （1）乐乐解方程的过程从第____步开始出现错误； （2）请正确解方程. 71/103 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 1 解一元一次方程 —— 合并同类项 知识点 1 利用合并同类项解一元一次方程 1.方程3𝑥 − 𝑥 = 4 的解是( ) A.𝑥 = −2 B.𝑥 = 2 C.𝑥 = −1 D.𝑥 = 1 解析：合并同类项，得2𝑥 = 4，系数化为 1，得𝑥 = 2 .故选 B. 2.下面解方程的结果正确的是( ) A.方程4 = 3𝑥 − 4𝑥的解为𝑥 = 4 B.方程−9 = 5𝑥 − 2𝑥的解为𝑥 = 3 C.方程3 2 𝑥 − 𝑥 = 1 3 的解为𝑥 = 2 3 D.方程1 − 4 = 3𝑥的解为𝑥 = −9 解析：A选项，合并同类项，得4 = −𝑥，所以𝑥 = −4 ，解答错误；B选项，合并同类项，得−9 = 3𝑥，两边同除以 3，得𝑥 = −3 ，解答错误；C 选项，合并同类项，得 1 2 𝑥 = 1 3 ，两边同乘 2， 得𝑥 = 2 3 ，解答正确；D选项，合并同类项，得−3 = 3𝑥 ，两边同除以 3，得𝑥 = −1 ，解答错 误.故选 C. 3.若代数式4𝑥 − 5与3𝑥 − 9的值互为相反数，则𝑥2 − 2𝑥 + 3 的值为___. 解析：根据题意得4𝑥 − 5 + 3𝑥 − 9 = 0.合并同类项，得7𝑥 − 14 = 0 .两边加 14， 得7𝑥 = 14.系数化为 1，得𝑥 = 2 ，所以𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 22 − 2 × 2 + 3 = 4 − 4 + 3 = 3 .故答 案为 3. 4.一元一次方程 𝑥 −4×5 + 𝑥 −5×6 + 𝑥 −6×7 +⋯+ 𝑥 −9×10 = 6 的解为_________. 解析： 𝑥 −4×5 = − 𝑥 4 + 𝑥 5 , 𝑥 −5×6 = − 𝑥 5 + 𝑥 6 , 𝑥 −6×7 = − 𝑥 6 + 𝑥 7 ,⋯ , 𝑥 −9×10 = − 𝑥 9 + 𝑥 10 ,所以原方程可化为 − 𝑥 4 + 𝑥 5 − 𝑥 5 + 𝑥 6 − 𝑥 6 + 𝑥 7 +⋯+ (− 𝑥 9 ) + 𝑥 10 = 6，化简得− 𝑥 4 + 𝑥 10 = 6 ，合并同类项，得− 3 20 𝑥 = 6， 系数化为 1，得𝑥 = −40.故答案为𝑥 = −40 . 5.解方程： （1）13𝑥 − 6𝑥 = −15 − 27 ； 解：合并同类项，得7𝑥 = −42 .系数化为 1，得𝑥 = −6 . 90/144 第 5章 一元一次方程 （2）− 5 2 𝑥 + 6𝑥 = 7 3 ； 解：合并同类项，得 7 2 𝑥 = 7 3 .系数化为 1，得𝑥 = 2 3 . （3）−0.5𝑚 + 7.5𝑚 − 4𝑚 − 1.5𝑚 = 2 × (−3) − 2 × 1.5 . 解：整理，得−0.5𝑚 + 7.5𝑚 − 4𝑚 − 1.5𝑚 = −6 − 3 . 合并同类项，得1.5𝑚 = −9 .系数化为 1，得𝑚 = −6 . 知识点 2 利用合并同类项解一元一次方程的应用 6.有一列数，按一定规律排列成 1，−2，4，−8 ，16，−32，⋯ .其中某三个相邻数的和是− 384 ，则这三个数中，中间的一个数为( ) A.128 B.256 C.−256 D.−128 解析：由题意可知，相邻两数中后一个数与前一个数的商为−2 .设相邻三个数的中间的数为𝑥， 则第一个数和第三个数分别为− 𝑥 2 ,−2𝑥 .由题意，得− 𝑥 2 + 𝑥 − 2𝑥 = −384，解得𝑥 = 256 .故 选 B. 7.“中国杂交水稻之父”袁隆平一生致力于水稻研究.现有 A、B两块试验田各 30亩，A块试 验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的 1.2倍，两块 试验田单次共收获水稻 56 100千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克.（注：1亩≈ 666.67 平方米） 解：设普通水稻的亩产量是𝑎千克.根据题意得30𝑎 + 30 × 1.2𝑎 = 56 100 ， 解得𝑎 = 850，所以1.2𝑎 = 850 × 1.2 = 1 020. 答：杂交水稻的亩产量是 1 020千克. 8.甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位爱心人士捐赠图书的 册数之比是5: 8: 9 ，如果他们共捐了 748 册图书，那么这三位爱心人士各捐赠多少册图书？ 解：设甲捐赠图书5𝑥册，则乙捐赠图书8𝑥册，丙捐赠图书9𝑥 册. 依题意得5𝑥 + 8𝑥 + 9𝑥 = 748，解得𝑥 = 34， 所以5𝑥 = 5 × 34 = 170 ，8𝑥 = 8 × 34 = 272，9𝑥 = 9 × 34 = 306 . 答：甲捐赠 170册图书，乙捐赠 272册图书，丙捐赠 306册图书. 91/144 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 2 解一元一次方程 —— 移项 知识点 1 利用移项解一元一次方程 1.在下面的移项中，正确的是( ) A.若𝑥 − 4 = 8，则𝑥 = 8 − 4 B.若3𝑠 = 2𝑠 + 5，则−3𝑠 − 2𝑠 = 5 C.若5𝑤 − 2 = 4𝑤 + 1，则5𝑤 − 4𝑤 = 1 + 2 D.若8 + 𝑥 = 2𝑥，则8 − 2𝑥 = 2𝑥 − 𝑥 解析：A选项，若𝑥 − 4 = 8，则𝑥 = 8 + 4 ，故 A不符合题意；B选项，若3𝑠 = 2𝑠 + 5，则3𝑠 − 2𝑠 = 5，故 B 不符合题意；C 选项，若5𝑤 − 2 = 4𝑤 + 1 ，则5𝑤 − 4𝑤 = 1 + 2，故 C 符合题意； D 选项，若8 + 𝑥 = 2𝑥，则8 − 2𝑥 = −𝑥 ，故 D不符合题意.故选 C. 2.下列方程中，与𝑥 − 1 = −𝑥 + 3 的解相同的是( ) A.𝑥 + 2 = 0 B.2𝑥 − 3 = 0 C.𝑥 − 2 = 2𝑥 D.𝑥 − 2 = 0 解析：𝑥 − 1 = −𝑥 + 3，解得𝑥 = 2 .依次解各方程可知 D选项符合题意. 3.若3𝑥 + 1的值比2𝑥 − 3的值小 1，则𝑥 的值为( ) A.−5 B.−1 C.−3 D.1 5 解析：因为3𝑥 + 1的值比2𝑥 − 3的值小 1，所以3𝑥 + 1 + 1 = 2𝑥 − 3 ，移项，得3𝑥 − 2𝑥 = −3 − 1 − 1，合并同类项，得𝑥 = −5 .故选 A. 4.若某数除以 4再减去 2，等于这个数的 1 3 加上 8，则这个数是______. 解析：设这个数是𝑥.依题意得 𝑥 4 − 2 = 1 3 𝑥 + 8，移项，得 1 4 𝑥 − 1 3 𝑥 = 8 + 2 .合并同类项，得− 1 12 𝑥 = 10.系数化为 1，得𝑥 = −120.故答案为−120 . 5.对于两个不相等的有理数𝑎,𝑏,我们规定符号min{𝑎，𝑏} 表示𝑎，𝑏两数中较小的数，例如min {2，−4} = −4，则方程min{𝑥，−𝑥} = 3𝑥 + 4 的解为________. 解析：根据题意可知𝑥 ≠ −𝑥，则𝑥 ≠ 0. 𝑥 > 0时，𝑥 > −𝑥.因为min{𝑥 ，−𝑥} = 3𝑥 + 4，所以−𝑥 = 3𝑥 + 4，解得𝑥 = −1（舍去）. 𝑥 < 0时，𝑥 < −𝑥 .因为min{𝑥，−𝑥} = 3𝑥 + 4，所以𝑥 = 3𝑥 + 4， 解得𝑥 = −2.故方程min{𝑥 ，−𝑥} = 3𝑥 + 4的解为𝑥 = −2 . 92/144 第 5章 一元一次方程 6.解方程： （1）5 − 2𝑥 = 3𝑥 − 6 ； 解：移项，得−2𝑥 − 3𝑥 = −6 − 5 . 合并同类项,得−5𝑥 = −11 . 系数化为 1，得𝑥 = 11 5 . （2） 4 3 𝑥 + 5 = 𝑥 − 17 . 解：移项，得 4 3 𝑥 − 𝑥 = −17 − 5 . 合并同类项，得 1 3 𝑥 = −22 . 系数化为 1，得𝑥 = −66 . 知识点 2 利用移项解一元一次方程的应用 7.爸爸比儿子大 27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的 4倍，则今年爸爸____岁,儿子___岁. 解析：设今年儿子𝑥岁，则爸爸(𝑥 + 27)岁.根据题意得𝑥 + 27 = 4𝑥，解得𝑥 = 9 ， 所以𝑥 + 27 = 36 ，所以今年儿子 9岁，爸爸 36岁. 8.某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物.如果每人制作 9 个，那么就比计划少做 17 个；如果每人制作 12个，那么就比计划多做 4 个.问这个手工兴趣 小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？ 解：设这个手工兴趣小组共有𝑥人.由题意可得9𝑥 + 17 = 12𝑥 − 4，解得𝑥 = 7 ， 所以9𝑥 + 17 = 80 . 答：这个手工兴趣小组共有 7人，计划要做的这批中国结有 80个. 93/144 第 5章 一元一次方程 9.解方程： 11 5 𝑥 + 5 = − 4 5 𝑥 − 1 .佳佳的解题过程如下： 解：移项，得 11 5 𝑥 + 4 5 𝑥 = 5 − 1 .① 合并同类项，得3𝑥 = 4 .② 系数化为 1，得𝑥 = 4 3 .③ 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来. 解：有误，从第①步开始出错的. 正确的解题过程： 移项，得 11 5 𝑥 + 4 5 𝑥 = −5 − 1 . 合并同类项,得3𝑥 = −6 . 系数化为 1，得𝑥 = −2 . 94/144 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 3 解一元一次方程 —— 去括号 知识点 1 利用去括号解一元一次方程 1.解方程1 − 2(2𝑥 − 1) = 𝑥 ，以下去括号正确的是( ) A.1 − 4𝑥 − 2 = 𝑥 B.1 − 4𝑥 + 1 = 𝑥 C.1 − 4𝑥 + 2 = 𝑥 D.1 − 4𝑥 + 2 = −𝑥 解析：1 − 2(2𝑥 − 1) = 𝑥，去括号，得1 − 4𝑥 + 2 = 𝑥 ，故选 C. 2.如果2(𝑥 + 3)的值与−3(1 − 𝑥)的值相等，那么𝑥 的值为( ) A.9 B.−9 C.3 D.− 3 5 解析：根据题意得2(𝑥 + 3) = −3(1 − 𝑥)，去括号得2𝑥 + 6 = −3 + 3𝑥 ，移项、 合并同类项得−𝑥 = −9，系数化为 1得𝑥 = 9 ，故选 A. 3.小明在解方程3𝑥 − (𝑥 − 2𝑎) = 4 去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为𝑥 = −2 ，那么方程正确的解为( ) A.𝑥 = 2 B.𝑥 = 4 C.𝑥 = 6 D.𝑥 = 8 解析：把𝑥 = −2代入3𝑥 − 𝑥 − 2𝑎 = 4中得−4 − 2𝑎 = 4，解得𝑎 = −4.把𝑎 = −4 代入已知方程得3𝑥 − (𝑥 + 8) = 4，去括号,得3𝑥 − 𝑥 − 8 = 4 ，移项、合并同类项, 得2𝑥 = 12，系数化为 1，得𝑥 = 6 .故选 C. 4.已知关于𝑥的方程3𝑥 − (𝑎𝑥 − 2) = 6 有正整数解，则整数𝑎 的所有可能的取值之和为___. 解析：3𝑥 − (𝑎𝑥 − 2) = 6，去括号，得3𝑥 − 𝑎𝑥 + 2 = 6 ，移项、合并同类项， 得(3 − 𝑎)𝑥 = 4.因为原方程有正整数解，且𝑎为整数，所以3 − 𝑎 = 1 ，2，4，且3 − 𝑎 ≠ 0， 解得𝑎 = 2，1，−1且𝑎 ≠ 3，所以整数𝑎 的所有可能的取值之和为2 + 1 + (−1) = 2 . 故答案为 2. 5.解方程： （1）3(2𝑥 + 6) = −𝑥 − 17 ； 解：去括号，得6𝑥 + 18 = −𝑥 − 17.移项及合并同类项，得7𝑥 = −35 .系数化为 1，得𝑥 = −5 . 95/144 第 5章 一元一次方程 （2）4(𝑥 − 2) − 1 = 3(𝑥 − 1) ； 解：去括号，得4𝑥 − 8 − 1 = 3𝑥 − 3.移项，得4𝑥 − 3𝑥 = −3 + 8 + 1 .合并同类项，得𝑥 = 6 . （3）4(𝑥 + 1) − 5(𝑥 − 3) = 11 ； 解：去括号，得4𝑥 + 4 − 5𝑥 + 15 = 11.移项，得4𝑥 − 5𝑥 = 11 − 4 − 15 .合并同类项，得−𝑥 = −8.系数化为 1，得𝑥 = 8 . （4）4(𝑥 − 1) − 1 2 (2𝑥 + 6) = 11 . 解：去括号，得4𝑥 − 4 − 𝑥 − 3 = 11.移项，得4𝑥 − 𝑥 = 11 + 4 + 3 .合并同类项，得3𝑥 = 18. 系数化为 1，得𝑥 = 6 . 知识点 2 利用去括号解一元一次方程的应用 6.甲、乙两站相距 275千米，一辆慢车以 50千米/时的速度从甲站出发开往乙站.若 1小时后， 一辆快车以 75千米/时的速度从乙站出发开往甲站，则快车开出后与慢车相遇所需要的时间是 ( ) A.1.8 小时 B.1.7小时 C.1.6小时 D.1.5小时 解析：设快车开出后𝑥小时与慢车相遇.由题意得50(1 + 𝑥) + 75𝑥 = 275 ，解得𝑥 = 1.8 .故选 A. 7.如图所示，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，将三个完全相同的小长方形，沿“横-竖-横”的顺序排列， 若𝐴𝐵 = 6 cm，𝐵𝐶 = 8 cm ，则一个小长方形的周长等于 ______. 解析：方法一:设小长方形的长为𝑥 cm ，则小长方形的宽为(8 − 2𝑥)cm.根据题意得𝑥 + 2(8 − 2𝑥) = 6，解得𝑥 = 10 3 ，所以2[𝑥 + (8 − 2𝑥)] = 2 × [ 10 3 + (8 − 2 × 10 3 )] = 28 3 ，所以一个小长 方形的周长等于 28 3 cm . 方法二:设一个小长方形的周长为𝑦 cm，根据题意得3𝑦 = 2 × (8 + 6)，解得𝑦 = 28 3 ，所以一 个小长方形的周长等于 28 3 cm . 96/144 第 5章 一元一次方程 8.嘉琪同学在解方程2(3 − 𝑥) = 9 时，步骤如下： 解：去括号，得 6−𝑥=9 . 第①步 移项，得−𝑥=9−6 . 第②步 合并同类项，得−𝑥=3 . 第③步 系数化为 1，得𝑥=−3 . 第④步 嘉琪的解方程的步骤从第几步开始出错？错误的原因是什么？请给出正确的解答过程. 解：嘉琪的解方程的步骤从第①步开始出错，错误的原因是去括号时括号里的第 2项漏乘 2. 正确的解答过程如下： 去括号，得6 − 2𝑥 = 9 . 移项，得−2𝑥 = 9 − 6 . 合并同类项，得−2𝑥 = 3 . 系数化为 1，得𝑥 = − 3 2 . 97/144 第 5章 一元一次方程 5.2解一元一次方程 课时 4 解一元一次方程 —— 去分母 知识点 1 利用去分母解一元一次方程 1.把方程 𝑥−1 2 = 1 − 𝑥+3 4 去分母，得( ) A.2(𝑥 − 1) = 1 − (𝑥 + 3) B.2(𝑥 − 1) = 4 + (𝑥 + 3) C.2(𝑥 − 1) = 4 − 𝑥 + 3 D.2(𝑥 − 1) = 4 − (𝑥 + 3) 解析： 𝑥−1 2 = 1 − 𝑥+3 4 ，去分母，得2(𝑥 − 1) = 4 − (𝑥 + 3) ，故选 D. 2.若代数式 𝑎+3 4 比 2𝑎−3 7 的值大 1，则𝑎 = ( ) A.−5 B.− 1 5 C.5 D.1 5 解析：根据题意得 𝑎+3 4 − 2𝑎−3 7 = 1.去分母，得7(𝑎 + 3) − 4(2𝑎 − 3) = 28 .去括号，得7𝑎 + 21 − 8𝑎 + 12 = 28.移项，得7𝑎 − 8𝑎 = 28 − 21 − 12 .合并同类项，得−𝑎 = −5.系数化为 1，得 𝑎 = 5 .故选 C. 3.数学老师在黑板上写了如图所示的两个关于𝑥 的方程，并解出方程①的解比方程②的解小 4， 则𝑎 的值为( ) ① 𝑥+𝑎 2 = 𝑥+𝑎 3 ；②6𝑎 − 2𝑥 = 𝑥 + 6 A.3 2 B.− 3 2 C.2 D.−2 解析：方程①去分母,得3(𝑥 + 𝑎) = 2(𝑥 + 𝑎)，解得𝑥 = −𝑎 .解方程②得𝑥 = 2𝑎 − 2.因为解出 方程①的解比方程②的解小 4，所以−𝑎 + 4 = 2𝑎 − 2 ，解得𝑎 = 2 .故选 C 4. 请你写出一个一元一次方程，且符合下面的要求：①方程的解是𝑥 = −2 ；②含分母，且 去分母时会出现括号.你写的方程是_____________________. 答案 𝑥 − 𝑥−1 3 = −1 （答案不唯一） 5.解方程： （1） 2𝑥−1 3 − 5𝑥−1 2 = 1 ； 98/144 第 5章 一元一次方程 解： 2𝑥−1 3 − 5𝑥−1 2 = 1 . 去分母，得2(2𝑥 − 1) − 3(5𝑥 − 1) = 6 . 去括号，得4𝑥 − 2 − 15𝑥 + 3 = 6 . 移项，得4𝑥 − 15𝑥 = 6 + 2 − 3 . 合并同类项，得−11𝑥 = 5 . 系数化为 1，得𝑥 = − 5 11 . （2）2 − 𝑥−1 2 = 2𝑥+1 3 − 𝑥 . 解：2 − 𝑥−1 2 = 2𝑥+1 3 − 𝑥 ， 12 − 3(𝑥 − 1) = 2(2𝑥 + 1) − 6𝑥 ， 12 − 3𝑥 + 3 = 4𝑥 + 2 − 6𝑥 ， −3𝑥 + 2𝑥 = 2 − 15 ， −𝑥 = −13 ， 𝑥 = 13 . 知识点 2 利用去分母解一元一次方程的应用 6.一列火车通过 600米长的大桥要 30秒（从车头上桥到车离桥），以相同的速度通过 400米 长的隧道要 25秒（从车头进隧道到车尾离开隧道），那么该列火车的速度是( ) A.16 米/秒 B.20米/秒 C.30米/秒 D.40米/秒 解析：设该列火车长𝑥米.根据题意得 600+𝑥 30 = 400+𝑥 25 ，解得𝑥 = 600 ，所以 600+𝑥 30 = 40 ，所以该 列火车的速度是 40米/秒，故选 D. 7. 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著.《算法统宗》中记载了这样一个题目：九 百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大 意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以 买甜果九个，问苦果和甜果各有几个？设苦果有𝑥个，则𝑥 的值为_____. 解析：苦果有𝑥个，则甜果有(1 000 − 𝑥) 个.依题意得 4 7 𝑥 + 11 9 × (1 000 − 𝑥) = 999，方程 整理得41𝑥 = 14 063，解得𝑥 = 343 ，故答案为 343. 99/144 第 5章 一元一次方程 8.以下是乐乐解方程 𝑥+1 2 − 𝑥−3 3 = 1 的过程. 解：去分母，得3(𝑥 + 1) − 2𝑥 − 3 = 1 .…………① 去括号，得3𝑥 + 3 − 2𝑥 − 3 = 1 .…………② 移项、合并同类项，得𝑥 = 1 .…………③ （1）乐乐解方程的过程从第____步开始出现错误； 答案：① （2）请正确解方程. 解：去分母，得3(𝑥 + 1) − 2(𝑥 − 3) = 6.去括号，得3𝑥 + 3 − 2𝑥 + 6 = 6 .移项、合并同类项， 得𝑥 = −3 . 100/144