3.2 代数式的值-【基本功】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步练习（人教版2024）

第 3 章 代数式 3.2 代数式的值 课时 1 代数式的值 知识点 1 直接代入求值 1.当𝑚 = −1时，代数式2𝑚2 −𝑚 + 1 的值是( ) A.−2 B.0 C.2 D.4 2.下列代数式满足表中条件的是( ) x 0 1 2 3 代数式的值 −3 −1 1 3 A.−𝑥 − 3 B.𝑥2 + 2𝑥 − 3 C.2𝑥 − 3 D.𝑥2 − 2𝑥 − 3 3.如图所示是一个运算程序示意图.若第 1 次输入𝑘 的值为 125，则第 2024 次输出的结果是___. 4.已知有下列两个代数式：①𝑎2 − 𝑏2；②(𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) ． （1）当𝑎 = 5，𝑏 = 4 时，代数式①的值是___，代数式②的值是___． （2）当𝑎 = −2，𝑏 = 3 时，代数式①的值是____,代数式②的值是_____． （3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式𝑎2 − 𝑏2和(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 的关系为____ ___________________． （4）利用你发现的规律，求2 0222 − 2 0212 ． 45/103 第 3 章 代数式 知识点 2 先确定字母值的情况，再代入求值 5.如果|𝑎 + 2| + (𝑏 − 1)2 = 0，那么代数式(𝑎 + 𝑏)2 024 的值是( ) A.1 B.−1 C.±1 D.2 021 6.当𝑥 = 1时，代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 1的值为2 023，当𝑥 = −1 时，代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 1 的值为_ _______. 7.已知代数式3( 1 3 −𝑚)的值为𝑝 ． （1）当𝑚 = 2时，求𝑝 的值； （2）若𝑚的取值为小于 0 且不小于−2的整数，求𝑝 的值． 8.嘉嘉在解决问题“当𝑥 = 3 2 ，𝑦 = −6时，求代数式𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 的值”时，解题过程如下： 解：当𝑥 = 3 2 ，𝑦 = −6 时， 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 32 2 − 2 × 3 2 × (−6) − 62 = 9 2 + 18 − 36 = −13 1 2 ． 你认为嘉嘉的计算正确吗？若不正确，请写出正确答案. 46/103 第 3 章 代数式 3.2 代数式的值 课时 2 求代数式的值的应用 知识点 1 在实际应用问题中求代数式的值 1.淇淇在长为2 000 m 的路段上进行骑车训练，若行驶全程(2000m)所用的时间为𝑡 s，行驶的 平均速度为𝑣 m/s ，则下列说法错误的是( ) A.若𝑡 = 400，则𝑣 = 5 B.若𝑣 = 8，则𝑡 = 250 C.若𝑡减小，则𝑣也减小 D.若𝑡减小一半，则𝑣 增大一倍 2.某城市大剧院地面的一部分为扇形,观众席的座位按下列方式设置: 排数 n/ 排 1 2 3 4 … 座位数 m/个 50 53 56 59 … 按这种方式排下去. （1）第 5,6 排分别有多少个座位? （2）写出用𝑛表示𝑚 的式子. （3）当𝑛 = 28时,求𝑚 的值. 47/103 第 3 章 代数式 知识点 2 在几何图形问题中求代数式的值 3.如图，在一块长为𝑎，宽为2𝑏的长方形铁皮中，以2𝑏 为直径在长方形铁皮的两边分别剪掉两 个半圆，若𝑎 = 4，𝑏 = 1 ，则剩下的铁皮的面积为（π 取 3）( ) A.5 B.7 C.8 D.12 4.如图，一个长方形推拉窗，窗高1.4 m ，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉 开长度𝑏(m) 的变化，窗户的通风面积𝐴(m2)也发生了变化．在这个变化过程中，当拉开长度𝑏 从0.1 m 变化到0.4 m时，通风面积𝐴从____m2变化到____m2 ．下列选项正确的是( ) A.0.14 5.6 B.0.24 0.48 C.0.14 0.56 D.2.4 5.6 5.如图，在一个底为𝑎，高为ℎ 的三角形铁皮上剪去一个半径为𝑟的半圆.当𝑎 = 8，ℎ = 6，𝑟 = 3 时，剩余铁皮的面积𝑆 的值为______.（结果保留π ） 48/103 第 3 章 代数式 6. 如图是一幢公寓窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下 部的小正方形的边长为𝑎 m . （1）窗户的总面积是多少？（窗框面积忽略不计） （2）窗框的总长是多少？ （3）如果窗户上安装的是玻璃，购买玻璃的费用是 40 元/m2 ，购买窗框的费用是 24 元/m， 当𝑎 = 0.5时，制作一扇窗户需要的费用是多少元？（π 取 3）. 49/103 第 3 章 代数式 3.2 代数式的值 课时 1 代数式的值 知识点 1 直接代入求值 1.当𝑚 = −1时，代数式2𝑚2 −𝑚 + 1 的值是( ) A.−2 B.0 C.2 D.4 解析：当𝑚 = −1时，原式= 2 × (−1)2 − (−1) + 1 = 4 .故选 D. 2.下列代数式满足表中条件的是( ) x 0 1 2 3 代数式的值 −3 −1 1 3 A.−𝑥 − 3 B.𝑥2 + 2𝑥 − 3 C.2𝑥 − 3 D.𝑥2 − 2𝑥 − 3 解析：A 选项，当𝑥 = 1时，−𝑥 − 3 = −1 − 3 = −4 ，不符合题意；B 选项，当𝑥 = 1时，𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 1 + 2 − 3 = 0，不符合题意；C 选项，当𝑥 = 0 时，2𝑥 − 3 = −3，当𝑥 = 1时，2𝑥 − 3 = 2 − 3 = −1，当𝑥 = 2时，2𝑥 − 3 = 4 − 3 = 1 ，当𝑥 = 3时，2𝑥 − 3 = 6 − 3 = 3，符合题意；D 选项，当𝑥 = 1 时，𝑥2 − 2𝑥 − 3 = −4 ，不符合题意.故选 C. 3.如图所示是一个运算程序示意图.若第 1 次输入𝑘 的值为 125，则第 2024 次输出的结果是___. 解析：第 1 次输入𝑘 = 125， 1 5 × 125 = 25，所以第 1 次输出 25； 1 5 × 25 = 5 ，所以第 2 次输 出 5； 1 5 × 5 = 1，所以第 3 次输出 1；1 + 4 = 5 ，所以第 4 次输出 5； 1 5 × 5 = 1 ，所以第 5 次输出 1；….按此规律可知输出结果从第 2 次开始每两次一循环.(2 024 − 1) ÷ 2 = 1 011⋯⋯ 66/144 第 3 章 代数式 1 ，则第 2 024 次输出的结果为 5，故答案为 5. 4.已知有下列两个代数式：①𝑎2 − 𝑏2；②(𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) ． （1）当𝑎 = 5，𝑏 = 4 时，代数式①的值是___，代数式②的值是___． 解：把𝑎 = 5，𝑏 = 4代入①得𝑎2 − 𝑏2 = 52 − 42 = 9；把𝑎 = 5，𝑏 = 4 代入②得(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏 ) = (5 + 4) × (5 − 4) = 9 .故答案为 9，9. （2）当𝑎 = −2，𝑏 = 3 时，代数式①的值是____,代数式②的值是_____． 解析：把𝑎 = −2，𝑏 = 3代入①得𝑎2 − 𝑏2 = (−2)2 − 32 = 4 − 9 = −5 ；把𝑎 = −2，𝑏 = 3代 入②得(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = (−2 + 3) × (−2 − 3) = 1 × (−5) = −5 .故答案为−5，−5 . （3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式𝑎2 − 𝑏2和(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 的关系为____ ___________________． 解析：由（1）和（2）可知𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) ，故答案为𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) . （4）利用你发现的规律，求2 0222 − 2 0212 ． 解：2 0222 − 2 0212 = (2 022 + 2 021) × (2 022 − 2 021) = 4 043 × 1 = 4 043 ． 知识点 2 先确定字母值的情况，再代入求值 5.如果|𝑎 + 2| + (𝑏 − 1)2 = 0，那么代数式(𝑎 + 𝑏)2 024 的值是( ) A.1 B.−1 C.±1 D.2 021 解析：因为|𝑎 + 2| + (𝑏 − 1)2 = 0，|𝑎 + 2| ≥ 0，(𝑏 − 1)2 ≥ 0 ，所以|𝑎 + 2| = 0，(𝑏 − 1)2 = 0， 所以𝑎 = −2，𝑏 = 1 ，所以(𝑎 + 𝑏)2 024 = (−2 + 1)2 024 = (−1)2 024 = 1． 6.当𝑥 = 1时，代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 1的值为2 023，当𝑥 = −1 时，代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 1 的值为_ _______. 67/144 第 3 章 代数式 解析：因为当𝑥 = 1时，𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 1 = 𝑎 + 𝑏 + 1 = 2 023，即𝑎 + 𝑏 = 2 022 ，所以当𝑥 = −1 时，代数式𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 + 1 = −𝑎 − 𝑏 + 1 = −(𝑎 + 𝑏) + 1 = −2 022 + 1 = −2 021 .故答案为− 2 021 . 7.已知代数式3( 1 3 −𝑚)的值为𝑝 ． （1）当𝑚 = 2时，求𝑝 的值； 解：当𝑚 = 2时，𝑝 = 3( 1 3 −𝑚) = 3 × ( 1 3 − 2) = −5，即𝑝的值为−5 . （2）若𝑚的取值为小于 0 且不小于−2的整数，求𝑝 的值． 解：因为𝑚的取值为小于 0 且不小于−2的整数，所以𝑚 = −1或𝑚 = −2 . 当𝑚 = −1时，𝑝 = 3( 1 3 −𝑚) = 3 × ( 1 3 + 1) = 4 ； 当𝑚 = −2时，𝑝 = 3( 1 3 −𝑚) = 3 × ( 1 3 + 2) = 7 . 综上，𝑝 的值为 4 或 7． 8.嘉嘉在解决问题“当𝑥 = 3 2 ，𝑦 = −6时，求代数式𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 的值”时，解题过程如下： 解：当𝑥 = 3 2 ，𝑦 = −6 时， 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 32 2 − 2 × 3 2 × (−6) − 62 = 9 2 + 18 − 36 = −13 1 2 ． 你认为嘉嘉的计算正确吗？若不正确，请写出正确答案. 解：嘉嘉的计算不正确.正确解题过程如下： 当𝑥 = 3 2 ，𝑦 = −6 时， 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = ( 3 2 )2 − 2 × 3 2 × (−6) + (−6)2 = 9 4 + 18 + 36 = 56 1 4 . 易错——求代数式的值时，如果代入的数是负数或分数，那么一定要加括号，否则容易出现错 误. 68/144 第 3 章 代数式 3.2 代数式的值 课时 2 求代数式的值的应用 知识点 1 在实际应用问题中求代数式的值 1.淇淇在长为2 000 m 的路段上进行骑车训练，若行驶全程(2000m)所用的时间为𝑡 s，行驶的 平均速度为𝑣 m/s ，则下列说法错误的是( ) A.若𝑡 = 400，则𝑣 = 5 B.若𝑣 = 8，则𝑡 = 250 C.若𝑡减小，则𝑣也减小 D.若𝑡减小一半，则𝑣 增大一倍 解析：根据题意得𝑡 = 2 000 𝑣 ,𝑣 = 2 000 𝑡 . A选项，当𝑡 = 400时，𝑣 = 2 000 400 = 5 ，故选项 A 说法正 确，不符合题意；B 选项，当𝑣 = 8时，𝑡 = 2 000 8 = 250 ，故选项 B 说法正确，不符合题意； C 选项，若𝑡减小，则𝑣 将变大，故选项 C 说法错误，符合题意；D 选项，若𝑡减小一半，则𝑣 增大一倍，故选项 D 说法正确，不符合题意.故选 C. 2.某城市大剧院地面的一部分为扇形,观众席的座位按下列方式设置: 排数 n/ 排 1 2 3 4 … 座位数 m/个 50 53 56 59 … 按这种方式排下去. （1）第 5,6 排分别有多少个座位? 解：第 5 排有座位59 + 3 = 62 （个）;第 6 排有座位62 + 3 = 65 （个）. 答:第 5,6 排分别有 62 个,65 个座位. （2）写出用𝑛表示𝑚 的式子. 解：𝑚 = 50 + 3(𝑛 − 1) = 3𝑛 + 47 . （3）当𝑛 = 28时,求𝑚 的值. 69/144 第 3 章 代数式 解：当𝑛 = 28时,𝑚 = 3𝑛 + 47 = 3 × 28 + 47 = 131 . 知识点 2 在几何图形问题中求代数式的值 3.如图，在一块长为𝑎，宽为2𝑏的长方形铁皮中，以2𝑏 为直径在长方形铁皮的两边分别剪掉两 个半圆，若𝑎 = 4，𝑏 = 1 ，则剩下的铁皮的面积为（π 取 3）( ) A.5 B.7 C.8 D.12 解析：根据题意，得剩下的铁皮的面积= 长方形的面积-圆的面积= 2𝑎𝑏 − π𝑏2 = 2 × 4 × 1 − 3 × 12 = 5 .故选 A. 4.如图，一个长方形推拉窗，窗高1.4 m ，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉 开长度𝑏(m) 的变化，窗户的通风面积𝐴(m2)也发生了变化．在这个变化过程中，当拉开长度𝑏 从0.1 m 变化到0.4 m时，通风面积𝐴从____m2变化到____m2 ．下列选项正确的是( ) A.0.14 5.6 B.0.24 0.48 C.0.14 0.56 D.2.4 5.6 解析：由长方形面积公式可以得出通风面积𝐴 = 1.4𝑏 m2.当拉开长度为0.1 m 时，通风面积为1 .4 × 0.1 = 0.14(m2)．当拉开长度为0.4 m 时，通风面积为1.4 × 0.4 = 0.56(m2) ．故选 C. 5.如图，在一个底为𝑎，高为ℎ 的三角形铁皮上剪去一个半径为𝑟的半圆.当𝑎 = 8，ℎ = 6，𝑟 = 3 时，剩余铁皮的面积𝑆 的值为______.（结果保留π ） 70/144 第 3 章 代数式 解析：剩余铁皮的面积𝑆 = 𝑆 三角形 − 𝑆 半圆 = 1 2 𝑎ℎ − 1 2 π𝑟2.当𝑎 = 8，ℎ = 6，𝑟 = 3 时，𝑆 = 1 2 × 8 × 6 − 1 2 π × 32 = 24 − 9 2 π = 48−9π 2 . 6. 如图是一幢公寓窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下 部的小正方形的边长为𝑎 m . （1）窗户的总面积是多少？（窗框面积忽略不计） 解：窗户的总面积是(4𝑎2 + 1 2 π𝑎2) m2 . （2）窗框的总长是多少？ 解：窗框的总长为15𝑎 + 1 2 × 2π𝑎 = (15𝑎 + π𝑎)m . （3）如果窗户上安装的是玻璃，购买玻璃的费用是 40 元/m2 ，购买窗框的费用是 24 元/m， 当𝑎 = 0.5时，制作一扇窗户需要的费用是多少元？（π 取 3）. 解： 当𝑎 = 0.5时，(4𝑎2 + 1 2 π𝑎2) × 40 + (15𝑎 + π𝑎) × 24 = (4 × 0.52 + 1 2 × 3 × 0.52) × 40 + (15 × 0.5 + 3 × 0.5) × 24 = (1 + 0.375) × 40 + (7.5 + 1.5) × 24 = 271 （元），即制作一扇窗 户需要的费用是 271 元. 71/144