专题05：整式的乘法 讲义 2025--2026学年沪教版七年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新七年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题05 整式的乘法 知识点一、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型01：单项式乘单项式 【名师点拨】单项式与单项式相乘的三点注意： (1)积的系数等于各系数的积,要特别注意系数的符号. (2)凡是在单项式里出现过的字母,在它的计算结果中也应全部出现，不能漏掉. (3)若有乘法、乘方混合运算,则应按“先乘方,再乘法”的顺序进行运算. 【例1】计算： ． 【例2】计算： （1） ； （2）；（3）． 【例3】计算： （1） ； （2）； （3） （把作为整体看作一个因式的底数）． 【跟踪训练】 1.计算： ． 2．计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 3．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 题型02：单项式乘整式 【名师点拨】单项式与多项式相乘的一般步骤如下: 第1步:按顺序把单项式和多项式中的每一项相乘(做到不重不漏，多项式中的每一项都包括其前面的符号)，注意符号变化;第2步:把所得的积合并同类项，得到的结果化至最简 【例4】计算： ． 【例5】计算： （1） ； （2）； （3） ． 【例6】计算： （1） ； （2）． 【例7】一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.计算： ． 2．计算： （1） （为正整数，）； （2）； （3）； （4）． 3.一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 题型03：计算整式乘整式 【名师点拨】计算多项式乘以多项式时,要正确应用运算法则，避免漏乘项.避免的方法是在合并同类项之前,数一下积的项数，它应该等于两个多项式的项数之积 【例8】计算： ． 【例9】计算： （1）； （2）． 【例10】计算： （1）； （2）； （3）． 【例11】已知：，求代数式：的值． 【跟踪训练】 1．乘积的计算结果是 ． 2、计算： （1）； （2）． 3、计算： （1）； （2）． 4、解方程：． 题型04： (x+p) (x+q)型多项式乘法 【名师点拨】 【例12】若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【例13】如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.计算： ． 2.因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．11 B．13 C．8 D．7 3．若，则代数式的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 题型05：整式混合运算 【例14】计算： 【跟踪训练】 1.计算： 2.计算：． 3.计算：． 题型06：化简求值 【名师点拨】先利用多项式乘多项式的运算法则将代数式化简，并将已知的字母的值代入计算结果 【例15】先化简再求值：，其中． 【例16】已知，则的值为 ． 【跟踪训练】 1．已知，，则的值为 ． 2．先化简，再求值：，其中． 题型07：整式式乘积不含某项求字母的值 【名师点拨】不含某项字母的值，实际就是其前面的系数为0，再利用方程解出字母的值 【例17】若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【例18】已知，，，且的值与无关，则 ． 【例19】若对任意都成立，则 ． 【跟踪训练】 1.（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）若的乘积中不含和项， ． 2.多项式的积中项的系数是 ． 3.，求的值． 题型08：图形面积问题 【名师点拨】图形面积问题先将整个图形拆分成部分图形，根据部分图形面积等于整个图形面积，再根据多项式乘多项式的运算法则进行求解 【例20】如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 【例21】如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【跟踪训练】 1.如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2.如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 3．如图四边形是长方形，求下图阴影部分的面积． 题型09：规律性探究 【例22】我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【跟踪训练】 1.已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 2．阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 题型10：综合能力提升 【例23】观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 一、选择题 1．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 5．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6.如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　　） A． B． C． D． 二、填空题 7.（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么多项式等于 ． 9.（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）计算： ． 10.（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算： ； 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 12.（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 13.（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 14.（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 15.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，那么 ． 16．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，若要拼出一个面积为的长方形，则需要C号卡片 张． 3、 解答题 19．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 20．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：   21．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 22．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 23．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 24.化简求值：，其中，． 25．化简求值：，其中，． 26.（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）一个二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为，求的值． 27．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 28.如图，一个小长方形的长为，宽为b，将6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（无重叠）． (1)用含a、b的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，求图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题05 整式的乘法 知识点一、单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 题型01：单项式乘单项式 【名师点拨】单项式与单项式相乘的三点注意： (1)积的系数等于各系数的积,要特别注意系数的符号. (2)凡是在单项式里出现过的字母,在它的计算结果中也应全部出现，不能漏掉. (3)若有乘法、乘方混合运算,则应按“先乘方,再乘法”的顺序进行运算. 【例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则，准确计算． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2】计算： （1） ； （2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式=； （2） 原式=； （3）原式=． 【总结】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同． 【例3】计算： （1） ； （2）； （3） （把作为整体看作一个因式的底数）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式= 【跟踪训练】 1.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算： （1）； （2） ； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）原式=； （2） 原式=； （3） 原式=； （4） 原式=． 3．若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 题型02：单项式乘整式 【名师点拨】单项式与多项式相乘的一般步骤如下: 第1步:按顺序把单项式和多项式中的每一项相乘(做到不重不漏，多项式中的每一项都包括其前面的符号)，注意符号变化;第2步:把所得的积合并同类项，得到的结果化至最简 【例4】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式：“用单项式分别乘以多项式中的每一项，再将它们的积相加”，即可求解． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【例5】计算： （1） ； （2）； （3） ． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）原式=； （2） 原式=； （3） 原式=． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一项． 【例6】计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式=； （2）原式=． 【总结】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，计算时注意符号． 【例7】一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可． 【详解】解：， 即长方体的体积为， 故选：A． 【跟踪训练】 1.计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以多项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：原式； 故答案为． 2．计算： （1） （为正整数，）； （2）； 【答案】（1）；（2）； （3）； （4）． 【解析】（1）原式= = =； （2） 原式= = =； 3.一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式的运算法则． 根据长方形的面积为长宽，即可求解． 【详解】解：长方形的面积 故答案为：． 题型03：计算整式乘整式 【名师点拨】计算多项式乘以多项式时,要正确应用运算法则，避免漏乘项.避免的方法是在合并同类项之前,数一下积的项数，它应该等于两个多项式的项数之积 【例8】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例9】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式=； （2）原式=． 【总结】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，在题（2）中可初步认识平方差公式． 【例10】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）原式= ； （2）原式 = ； （3）原式= = ==． 【例11】已知：，求代数式：的值． 【答案】7420． 【解析】因为，又， 所以可得：，对代数式化简可得： 原式=， 将，，代入，则原式=． 【跟踪训练】 1．乘积的计算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的运算法则展开，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 2、计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式=； （2） 原式=． 3、计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）原式=； （2） 原式= = =． 4、解方程：． 【答案】． 【解析】 题型04： (x+p) (x+q)型多项式乘法 【名师点拨】 【例12】若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：． 【例13】如果等式成立，那么m和n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选B． 【跟踪训练】 1.计算： ． 【答案】 【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可． 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2.因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（    ） A．11 B．13 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，找到常数项的所有可能分解结果，即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴的最大值为 故选：A 3．若，则代数式的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型05：整式混合运算 【例14】计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪训练】 1.计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． 2.计算：． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算多项式乘多项式、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3.计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据多项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 题型06：化简求值 【名师点拨】先利用多项式乘多项式的运算法则将代数式化简，并将已知的字母的值代入计算结果 【例15】先化简再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】首先根据整式的乘法混合运算法则化简，然后代入求解即可． 【详解】 ， ∵， ∴原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 【例16】已知，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 【跟踪训练】 1．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型07：整式式乘积不含某项求字母的值 【名师点拨】不含某项字母的值，实际就是其前面的系数为0，再利用方程解出字母的值 【例17】若的计算结果中不含有项，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含有项， ∴， ∴． 故选A． 【例18】已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 【例19】若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 【跟踪训练】 1.（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）若的乘积中不含和项， ． 【答案】4 【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出，即可求出答案． 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 2.多项式的积中项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法法则的应用，根据多项式乘以多项式法则可知，相乘后积中的项为，然后再合并同类项即可，解题的关键是确定出的项． 【详解】根据多项式乘以多项式的法则可知，多项式的积中是项的是： ， ， ， 故答案为：． 3.，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘多项式，先对等式左边进行变形得，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，解得： 题型08：图形面积问题 【名师点拨】图形面积问题先将整个图形拆分成部分图形，根据部分图形面积等于整个图形面积，再根据多项式乘多项式的运算法则进行求解 【例20】如图，现有边长为a的正方形A、边长为b的正方形B和长为2b宽为a的长方形C的三类纸片（其中）．用这三类纸片拼一个长为、宽为的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C类纸片 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据大长方形的面积及A、B、C三类纸片的面积可进行求解． 【详解】解：长为、宽为的长方形的面积为， 正方形A的面积为，正方形B的面积为，长方形C的面积为， ∴需要A、B类纸片各6张，C类纸片10张； 故答案为10． 【例21】如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积； （2）当，时，代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）当，时，原式． 【跟踪训练】 1.如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．根据题意，运用多项式乘以多项式得到长方形的面积，结合卡片的面积即可求解． 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 2.如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 3．如图四边形是长方形，求下图阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，减法，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出的面积、的面积、矩形的面积，即可求出阴影的面积． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 的面积，的面积，矩形的面积， 阴影的面积矩形的面积的面积的面积． 故答案为：． 题型09：规律性探究 【例22】我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 【跟踪训练】 1.已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值及多项式乘多项式规律问题． （1）根据题意易得； （2）①把，代入（1）中规律计算即可； ②把代入（1）中规律计算即可； ③把代入（1）中规律计算即可；． 【详解】（1）解：， ， ∴； 故答案为：； （2）解：①把，代入可得； ②把代入可得， ∴， ∴， ∴； ③把代入可得， ∴． 故答案为：，，． 2．阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可． 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，， 题型10：综合能力提升 【例23】观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 一、选择题 1．已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含的一次项即可确定出的值． 【详解】解：， 由结果中不含的一次项，得到， 即． 故选：C． 5．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．利用单项式乘多项式的计算方法：先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算，逐一计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 6.如图1的8张宽为a，长为的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积S1和右下角的阴影部分的面积S2，两者求差，根据当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得a与b的数量关系． 【详解】解：设左上角阴影部分的面积为，右下角的阴影部分的面积为， S1=（BC-3）×，S2=（BC-）×5 =（BC -3）×-(BC-）×5． = = 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选择：． 【点睛】本题考查了多项式乘以单项式在几何图形问题中的应用，数形结合并根据题意正确表示出两部分阴影的面积之差是解题的关键． 二、填空题 7.（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式及积的乘方，先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如果，那么多项式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以单项式； 将两边同时乘，计算即可． 【详解】解：将两边同时乘， ， 故答案为：． 9.（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再按照单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则，准确计算． 10.（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算： ； 【答案】/ 【分析】根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以单项式的知识，掌握多项式乘以单项式的运算法则是解答本题的关键． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 12.（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13.（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可先去括号，然后再进行整式的加减运算． 【详解】解：原式； 故答案为． 14.（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按多项式乘以多项式展开，再进行加减运算，即可求解；掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15.（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．先计算出，再根据，可得，，求出、，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，若要拼出一个面积为的长方形，则需要C号卡片 张． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算，根据A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：∵； ∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， ∴可知需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片13张． 故答案为：13． 3、 解答题 19．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法展开再合并同类项即可． 【详解】解： 20．（23-24七年级上·上海闵行·期中）计算：   【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 21．（2023秋•奉贤区期中）计算：． 【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键． 22．（23-24七年级上·上海长宁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 23．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算：． 【答案】 【分析】 根据单项式乘以多项式法则计算，熟练掌握单项式乘以多项式法则：单项式分别乘以多项式的每一项，再将乘积相加，是解题的关键． 【详解】 解：原式． 24.化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据多项式乘多项式、去括号法则和合并同类项的方法，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 25．化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 26.（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）一个二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为，求的值． 【答案】的值为，的值为． 【知识点】加减消元法、已知多项式乘积不含某项求字母的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，先根据已知条件分别与进行相乘，再根据积中不出现一次项，且二次项系数为这个条件，列出方程组，然后解方程组求出的值即可，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ∵乘积中不出现一次项，且二次项系数为， ∴，解得：， ∴的值为，的值为． 27．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 28.如图，一个小长方形的长为，宽为b，将6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（无重叠）． (1)用含a、b的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，求图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值． 【答案】(1)， (2)阴影部分的面积为 (3)图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值为 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比，用代入，即可求解． 【详解】（1）大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 故阴影部分的面积： ； （3）当时， ， 故图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$