专题02：整式的加法和减法 讲义 2025--2026学年沪教版七年级数学暑假班预修提升课程

2025年新七年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题02 整式的加法和减法 知识点一、去括号法则 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 要点诠释： 1. 去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变” . 2. 当括号前是一个非 “±1”的因数时，去括号时可以先用括号前面的数字因数与括号内的每一项相乘，然后再把所得的积相加. 知识点二、添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 要点诠释： 添括号是否正确，可以用去括号法则检验. 知识点三、整式的加减运算 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 要点诠释： 1. 整式加减的结果要最简： (1)不能有同类项； (2)含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数； (3)一般不含括号. 2. 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列. 题型01：去括号 【名师点拨】去括号技巧： 去括号法则可以简单地记为“正不变，负全变”其中正、负是指括号前面的符号. 【例1】（1）多项式去掉括号后是______________. （2）多项式去掉括号后是______________. 【答案】（1）；（2） 【分析】直接根据去括号法则：括号前面是正号，括号里面不变号；括号里面是负号，括号里面全变号；解答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查了整式的加减－去括号法则，熟练掌握去括号法则是解本题的关键． 【例2】下列式子去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】括号前是负号，去括号后各项需要改变符号，否则不用改变． 【详解】解：A、原式，故错误，不合题意； B、原式，故错误，不合题意； C、原式，故错误，不合题意； D、原式，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查去括号法则，解题的关键是熟练应用去括号法则，本题属于基础题型． 【跟踪训练】 1.化简的结果为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键． 2．若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据去括号法则可得所求代数式即为 ，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 3.去括号：=（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则（括号的前面是负号时，去括号后括号内各项负号改变）解决此题． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题主要考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键． 4.下列各式变形，正确的个数是（    ） ①；②； ③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据添括号以及添括号法则即可判断． 【详解】①a-（b-c）=a-b+c，正确； ②（x2+y）-2（x-y2）=x2+y-2x+2y2，故错误； ③-（a+b）-（-x+y）=-a-b+x-y，故错误； ④-3（x-y）+（a-b）=-3x+3y+a-b，故错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，正确理解去括号法则并注意符号的改变与否是解题的关键． 题型02：添括号 【名师点拨】添括号,分两步： 第1步:明确给哪几项添括号以及括号前面是“十”号还是“-”号. 第2步:若是“十”号,则直接添括号;若是“-”号,则括号内的各项都要变号. 【例3】下列添括号错误的是(    ) A．3-4x=-(4x-3) B．(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b) C．-x2+5x-4=-(x2-5x+4) D．-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5) 【答案】D 【分析】根据添括号法则, 当括号前添正号时直接添括号即可,当括号前添负号时括号里面的各项都要变号,即可解题. 【详解】解：A,B,C都是正确的,其中, D项的右侧展开为-a2+4a-a3-5,与等号左侧不相等, 故错误项选D. 【点睛】本题考查了添括号的性质,属于简单题,熟悉去括号和添括号的性质与联系,特别的注意括号前为负号时要变号是解题关键. 【例4】按下列要求，给多项式添括号： （1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （2）把多项式的前两项括起来，括号前面有“”号； （3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （4）把多项式中间的两项括起来，括号前面有“”号． 【分析】根据添括号的法则把给出的式子按要求进行变形，即可得出答案． 【解答】解：（1）多项式后三项括起来，括号前面带有“”号是； （2）多项式的前两项括起来，括号前面带“”号是：； （3）多项式后三项括起来，括号前面带有“”号是：； （4）多项式中间的两项括起来，括号前面“”号是． 【点评】本题考查了添括号的法则，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【例5】已知代数式，则______． 【答案】5 【分析】利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查整式的代入求值，理解熟练运用整体思想是解题关键． 【跟踪训练】 1．不改变多项式的值，把后三项放在前面是“—”号的括号中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：3b3-2ab2+4a2b-a3=3b3-（2ab2-4a2b+a3）； 故选：A． 2．在括号内填上适当的式子，使等号左右两边相等： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )． 【答案】 【分析】根据添括号法则即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了添括号知识，解题关键是熟练掌握添括号法则． 3．已知代数式的值是3，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，掌握“添括号的法则与整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键． 题型03：整式的加减 【例6】合并下列各式的同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项， （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例7】去括号： (1)； (2)； （3） (4)； 【详解】（1）解： （2） （3） ． （4）原式． 【例8】先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【详解】 解：（1） = = =； （2） = = 将代入， 原式==． 【跟踪训练】 1.化简：（1）（2）（2） （4）． 解：（1） = =； （2） = =； （2） ． 【分析】先去括号，然后合并同类项进行化简即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号、合并同类项，将结果按的降(升)幂排列即可； （2）去括号、合并同类项，将结果按的降(升)幂排列即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键． 3．请将下列代数式先化简，再求值 （1），其中． （2），其中． 【答案】（1），1；（2）， 【详解】 解：（1） = = 将代入， 原式==1； （2） = = 将代入， 原式==． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】先化简整式，再根据绝对值的意义、乘法法则确定、的值，最后代入求值． 【解答】解： ． 其中， ，． 当，时， 原式 ． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则、绝对值的意义、有理数的混合运算是解决本题的关键． 题型04：多重符号的整式化简与求值 【例9】去括号：． 【答案】． 【分析】直接利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而判断得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了去括号法则，正确去括号是解题关键． 【例10】先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】此题应先对整式去括号，然后再合并同类项，化简后再把、的值代入即可求得结果． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查了整式的化简求值，应先对整式进行化简，然后再代入求值，解题的关键是注意整式的混合运算顺序． 【跟踪训练】 1．计算：（1）． (2)． (3) ． （4）． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】（1） ． (2)= （3）原式， ， ． （4）= 2．先化简，再求值：，其中 【答案】． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， 当，时，原式 【点评】多重括号，一般遵循从里到外的顺序，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号;每去一次括号若有同类项，宜先合并同类项. 题型04：多个整式的和差问题 【例11】一个多项式与的和是，则这个多项式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意可得被减式为，减式为，根据差被减式减式可得出这个多项式． 【解答】解：由题意得：这个多项式， ， ． 故选：． 【点评】本题考查整式的加减，难度不大，注意在合并同类项时要细心． 【跟踪训练】 1．一个多项式加上的和是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：该多项式为： ． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 2．一个多项式减去的差是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】用差加减式即得被减式，再去括号合并同类项即得答案． 【解答】解：根据题意得这个多项式是： ， 答：这个多项式是． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 题型06：整式加减的代数应用 【名师点拨】不含某项、与某字母的取值无关、mA-nB型、污染遮住等问题、看错问题、作差法比较整式的大小 【例12】已知关于、的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为　　． 【分析】直接将两多项式相减进而合并同类项即可得出的值，即可得出答案． 【解答】解：两个多项式与的差中不含项， ， 则， 解得：， 故． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 【例13】若代数式的值与字母的取值无关，求代数式 的值． 【分析】本题式子与字母无关，将原式化简提出，则含的项为0，由此可得与的关系，再将原代数式化简，代入与的关系式即可． 【解答】解： ， ， ． 【点评】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 【例14】已知，，求，并按的降幂排列． 【答案】，按降幂排列为：． 【分析】把，代入即可得到答案，再按的降幂排列即可． 【解答】解：，， ， 按降幂排列为：． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则，并能按一个字母降（升幂排列． 【例15】小杰准备完成题目：化简■，发现系数“■”印刷不清楚． （1）他把“■”猜成3，请你化简； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】（1）； （2）原题中的“■”是4． 【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得； （2）设“■”是，将看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出的值． 【解答】解：（1） ； （2）设“■”是， 则原式 ， 标准答案的结果是常数， ， 解得， 故原题中的“■”是4． 【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 【例16】小刚在解数学题时，由于粗心把原题“两个代数式A和B，其中A＝？，B＝4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”中的“A+B”错误的看成“A﹣B”，结果求出的答案是﹣7x2+10x+12，请你帮他纠错，正确地算出A+B的值． 【答案】A+B＝x2 【分析】根据错误的计算可求得A的结果，再计算A+B的值即可． 【详解】由题意可知：A﹣B＝﹣7x2+10x+12， ∴A＝4x2﹣5x﹣6﹣7x2+10x+12＝﹣3x2+5x+6； ∴A+B＝（﹣3x2+5x+6）+（4x2﹣5x﹣6）＝x2； 【点睛】本题考查了整式的加法运算，关键是掌握加法与减法是互逆的两种运算，才能由错误的计算求出代数式A的值． 【例17】若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，判断M与N的大小关系，可将M与N作差，比较结果与0的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵x的值不确定， ∴的符号也是不确定的． 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知：，，若不含有的项，求：的值． 【答案】8． 【分析】直接利用整式的加减运算法则合并同类项，进而得出，的值，即可得出答案． 【解答】解：，，不含有的项， ， 则，， 解得：，， ． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 2.已知：，且，求． 【答案】． 【分析】根据，且，可以计算出的值． 【解答】解：，且， ． 【点评】本题考查整式的加减．进行整式加减运算时，有括号的先去括号，然后合并同类项．合并同类项时注意：连同前面的符号一起进行运算． 3．在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 　　． 【答案】． 【分析】先列出算式求出手遮住的代数式，再代入计算即可． 【解答】解：由题意知，手遮住的代数式为 ， 当时，原式 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 4．两个四次整式的和的次数是　　 A．不高于四次 B．不低于四次 C．四次 D．八次 【答案】 【分析】由于两个四次多项式的和，那么它们每一个多项式的次数都是四次，从而可以确定和的次数． 【解答】解：两个四次多项式它们每一个多项式的次数都是四次， 它们和的次数为不会高于四次． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，解题的关键是利用了多项式的次数的定义解决问题． 5．若、都是三次四项整式，那么它们的和的次数一定是　　 A．六次 B．三次 C．不超过三次 D．以上都不对 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高，但当最高次数项的系数互为相反数，相加后最高次数项就会消失，次数就低于3． 【解答】解：若两个三次四项式中，三次项的系数不互为相反数，它们的和就会是三次多项式或单项式， 若两个三次四项式中，三次项的系数互为相反数，它们的和就会变为低于三次的整式， 故选：． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 6．已知式子，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”，计算的结果是． (1)求式子． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知代数式，的结果是，由此即可求代数式， （2）利用（1）求得的代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，的结果是， ∴， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 7．已知代数式，，则无论x取何值，它们的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 用作差法比较大小即可判断． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 题型07：整式加减的几何应用 【名师点拨】整式加减的实际应用把整式加减应用到实际问题中时，关键是审清题意,根据等量关系列出整式. 【例18】如图，长为a，宽为b的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3． (1)求小长方形的长；（用含a的代数式表示） (2)若，求阴影部分的周长． 【答案】(1) (2)阴影部分的周长为46 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）由图可知，小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）用a、b分别表示出阴影部分2个长方形的周长，再相加求出阴影部分的周长，再代入即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，小长方形的长． （2）解：由图可得，阴影部分的周长为 ． 当时，原式． 阴影部分的周长为46． 【跟踪训练】 1．学校某间教室的建筑平面图如图所示（图中长度单位：m），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这个教室的面积用一个整式表示，这个整式是_____，次数是_____．（　　） A．，2 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式，解题关键是理解题意，列出代数式． 先根据这间教室的建筑面积＝I，II，III，IV四个区域的面积和，列出代数式，合并同类项，最后判断即可． 【详解】解：由题意得这间教室的建筑面积为： ∴这个整式的次数为2， 故选：D． 2．如图，两个正方形边长分别为，4，且． (1)用含的式子表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查代数式表示图形面积，掌握整式的运算，代入求值是解题的关键． （1）根据题意，代入计算即可； （2）把代入（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴ ； （2）解： ． 题型08：新定义运算 【名师点拨】解决定义新运算问题时，我们要围绕理解新运算的定义、掌握其基本性质和规则，以及灵活运用这些规则来解决问题. 【例19】定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． （1）填空：34、48的“翠屏数”分别是 　　、　　； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）若一个两位数为，它的个位数字记为，十位数字记为，与它“翠屏数”之和与11的商记为，若，直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）43，84； （2）见解答过程； （3）70，80，90，81，91，82，92，93． 【分析】（1）结合“翠屏数”的定义进行求解即可； （2）根据题意列出相应的式子进行求解即可； （3）分别表示出和，再结合条件进行分析即可． 【解答】解：（1）34的“翠屏数”是43； 48的”翠屏数”是84， 故答案为：43，84； （2）设一个两位数的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数是：， 这个两位数的”翠屏数”是：， 这个数与它的“翠屏数”之和为： ， 个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）由题意得：， 则与它“翠屏数”之和为：， ， ， ， 整理得：， ， 当时，或8或9，则或80或90； 当时，或9，则或91； 当时，或9，则或92； 当时，，则； 当时，不存在； 当时，符合条件的的值为：70，80，90，81，91，82，92，93． 【点评】本题主要考查整式的加减，有理数的除法，解答的关键是理解清楚“翠屏数”的含义． 【跟踪训练】 1．对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称与互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为（A），例如当时，． （1）　9　，　　； （2）求的值； （3）对于任意三位数，其百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，满足：，求（A）的值． 【答案】（1）9；15； （2）； （3）． 【分析】（1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据新定义直接列式计算出，，再相减即可； （3）用代数式表示三位数和其“对称数”，再按新定义计算即可． 【解答】解：（1）， ； 故答案为：9；15； （2）， ， ； （3）（A）， ， ，， （A）． 【点评】本题考查新定义运算，列代数式，绝对值，整式的运算，理解新定义是解题的关键． 2．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习正整数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”． 定义：对于正整数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个正整数为“纯数”．例如，32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是不是“纯数”，请说明理由； （2）在不大于100的所有正整数中，“纯数”的个数是 　13　个（直接写出答案）． 【答案】（1）2019不是“纯数”；2020是“纯数”； （2）13． 【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”； （2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决． 【解答】解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”， 理由：当时，，， 个位是，需要进位， 不是“纯数”； 当时，，， 个位是，不需要进位，十位是，不需要进位，百位为，不需要进位，千位为，不需要进位， 是“纯数”； （2）由题意可得， 连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位， 当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个， 当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个， 当这个数是三位自然数时，只能是100， 由上可得，不大于100的“纯数”的个数为， 即不大于100的“纯数”的有13个． 故答案为：13． 【点评】本题考查有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答． 一、选择题 1.（24-25七年级上·上海·期中）代数式去括号后应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号．括号前是正号，去掉括号和它前面的正号括号里各项符号不变；括号前是负号，去掉括号和它前面的负号括号里各项符号改变．解决本题的关键是先根据去括号的法则去掉小括号得到，再根据去括号法则去掉中括号得到． 【详解】解： ， 故选：C． 2．对整式进行添括号，正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：根据添括号的法则可知，=-（a-b+2c）． 故选：A． 3．减去得的式子为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：-3x+（x2-3x+6） =-3x+x2-3x+6 =x2-6x+6 故选：D． 4．（23-24七年级上海闵行期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减，根据题意可知多项式为，再根据运算法则计算即可． 【规范解答】解：这个多项式为 ． 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）设，，已知为任意有理数，那么的值（    ） A．一定为正 B．一定为0 C．一定为负 D．不能确定 【答案】A 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，先整体代入求出，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A． 6.如图，用含m，n的代数式表示阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用周长等于各边之和进行计算，即可得出结果． 【详解】解：阴影部分的周长为：； 故选C． 【点睛】本题考查列代数式，正确的识图，是解题的关键． 二、填空题 7．去括号：_______． 【答案】/ 【分析】根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减，合并同类项即可求解；掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案：． 9．（23-24七年级上·上海·期末）在横线上填入正确的整式让等式成立： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据整式加减法则列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意： ， 则横线上应该填入：， 故答案为：． 10.（2024七年级上·上海·专题练习）去括号： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号的法则，掌握去括号法则是解题的关键． 去括号时，括号前面是负号，去掉括号后，括号内各项符号改变；括号前面是正号时，去掉括号后，括号内各项符号不变，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式加减运算法则，先去括号，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 12.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·上海宝山·期末）多项式与的差是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运用运算规则是解题的关键． 根据题意列出算式，然后去括号合并同类项即可求解． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 14.（22-23七年级上·上海浦东新·期中）在中的括号内应填的代数式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号法则和添括号法则进行解答即可． 【详解】解：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号和添括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则和添括号法则． 15.（24-25七年级上·上海·期末）已知，比较M与N的大小关系：M N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了整式的加减及作差法比较大小，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用作差法比较大小即可得解． 【详解】 即， 故答案为：< 16．若a﹣b＝2020，c＋d＝2021，则（b＋c）﹣（a﹣d）的值为________． 【答案】1 【分析】将代求式(b+c)−(a−d)去括号后，重新组合成含a−b和c+d的式子，再整体代入求值． 【详解】解：（b+c）﹣（a－d） =b+c-a+d =﹣（a﹣b）+（c+d）， 当a﹣b＝2020，c+d＝2021时， 原式=﹣（a﹣b）+（c+d）， =﹣2020+2021 =1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了整式的化简和加减运算，整体代换思想的应用，熟练掌握整式加减运算是本题的解题关键． 17．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为 用含，的式子表示． 【答案】/ 【分析】根据图形可知剩余白色长方形的长为，宽为，根据长方形的周长公式进行计算即可求解． 【详解】解：剩余白色长方形的长为，宽为， 所以剩余白色长方形的周长：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 18.（2024松江区七年级期末）某客车上原有人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客人，则上车乘客是______人． 【答案】/ 【分析】直接根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴上车乘客是人， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式加减计算的应用，正确理解题意列出算式是解题的关键． 3、 解答题 19．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减，根据去括号合并即可得到结果． 【详解】解： ． 20．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，合并同类项，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：， ， ． 21．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 22．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）求多项式减去的差． 【答案】 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】根据题意可得，再根据去括号法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意得， ． 【点睛】本题考查去括号法则和整式的加减法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23.（24-25七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． 先去小括号，再去中括号，再合并同类项可得化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式． 24．（2024七年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中，且． 【答案】； 【知识点】绝对值的几何意义、有理数四则混合运算、去括号、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的知识点是整式的化简求值、去括号、绝对值的意义、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握整式的化简求值． 先化简整式，再根据绝对值的意义、有理数的混合运算确定、的值，最后代入求值． 【详解】解： ， 其中，且， ，， 当，时， 原式， ， ． 25.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的无关项问题，先根据整式的混合运算计算出的值，再根据无关项计算出的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与字母取值无关， ∴， ∴， ∴． 26.（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知整式、、满足，其中，． (1)求整式； (2)当时，，求当时，整式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查整式的加减的化简求值问题和绝对值的非负性，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先推出，再整体代入化简即可； （2）首先由时，得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵时，， ∴ ∴ 当时， ． 27．（22-23七年级上·上海·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值： （1）根据列式求解即可； （2）根据，结合（1）所求分别计算出与面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：当时，， ， ∴． 28．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 【答案】(1)0 (2)奇整式；理由见解析 (3)①；②35 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）将代替x代入观察结果与原式的结果关系即可判断； （3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式； ②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解． 【详解】（1）由定义可知，整式的值互为相反数， 故答案为：0； （2）奇整式 理由：将代入中可得； ∵与互为相反数， ∴该式为奇整式； （3）①， ∵，， ∴是偶整式，是奇整式． ②由于是偶整式，是奇整式， ∴当x分别取，，，0，1，2，3时， 的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0； ∴这七个整式的值之和是； 故答案为：35． 【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题02 整式的加法和减法 知识点一、去括号法则 1. 去括号法则 (1)如果括号前面是“ +”号，去括号时把括号连同它前面的“ +” 号去掉，括号内的各项都不改变符号. (2)如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2.去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 . 有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号 . 要点诠释： 1. 去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变” . 2. 当括号前是一个非 “±1”的因数时，去括号时可以先用括号前面的数字因数与括号内的每一项相乘，然后再把所得的积相加. 知识点二、添括号法则 (1) 所 添 括 号 前 面 是“ +”号，括 到 括 号 内 的 各 项 都 不 改变符号； (2) 所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号 . 要点诠释： 添括号是否正确，可以用去括号法则检验. 知识点三、整式的加减运算 1. 整式加减的运算法则  一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 . 2. 整式的化简求值的步骤 一化： 利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代： 把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算： 依据有理数的运算法则进行计算 . 要点诠释： 1. 整式加减的结果要最简： (1)不能有同类项； (2)含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数； (3)一般不含括号. 2. 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列. 题型01：去括号 【名师点拨】去括号技巧： 去括号法则可以简单地记为“正不变，负全变”其中正、负是指括号前面的符号. 【例1】（1）多项式去掉括号后是______________. （2）多项式去掉括号后是______________. 【例2】下列式子去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.化简的结果为（        ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3.去括号：=（  ） A． B． C． D． 4.下列各式变形，正确的个数是（    ） ①；②； ③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 题型02：添括号 【名师点拨】添括号,分两步： 第1步:明确给哪几项添括号以及括号前面是“十”号还是“-”号. 第2步:若是“十”号,则直接添括号;若是“-”号,则括号内的各项都要变号. 【例3】下列添括号错误的是(    ) A．3-4x=-(4x-3) B．(a+b)-2a-b=(a+b)-(2a+b) C．-x2+5x-4=-(x2-5x+4) D．-a2+4a+a3-5=-(a2-4a)-(a3+5) 【例4】按下列要求，给多项式添括号： （1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （2）把多项式的前两项括起来，括号前面有“”号； （3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“”号； （4）把多项式中间的两项括起来，括号前面有“”号． 【例5】已知代数式，则______． 【跟踪训练】 1．不改变多项式的值，把后三项放在前面是“—”号的括号中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．在括号内填上适当的式子，使等号左右两边相等： （1）( )； （2）( )； （3）( )； （4）( )． 3．已知代数式的值是3，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型03：整式的加减 【例6】合并下列各式的同类项： (1) (2) 【例7】去括号： (1)； (2)； （3） (4)； 【例8】先化简，再求值：，其中． 【跟踪训练】 1.化简：（1）（2）（2） （4）． 2．化简： (1)； (2)． 3．请将下列代数式先化简，再求值 （1），其中． （2），其中． 4．先化简，再求值：，其中． 题型04：多重符号的整式化简与求值 【例9】去括号：． 【例10】先化简，再求值：，其中． 【跟踪训练】 1．计算：（1）． (2)． (3) ． （4）． 2．先化简，再求值：，其中 题型04：多个整式的和差问题 【例11】一个多项式与的和是，则这个多项式为　　 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．一个多项式加上的和是，求这个多项式． 2．一个多项式减去的差是，求这个多项式． 题型06：整式加减的代数应用 【名师点拨】不含某项、与某字母的取值无关、mA-nB型、污染遮住等问题、看错问题、作差法比较整式的大小 【例12】已知关于、的两个多项式与的差中不含项，则代数式的值为　　． 【例13】若代数式的值与字母的取值无关，求代数式 的值． 【例14】已知，，求，并按的降幂排列． 【例15】小杰准备完成题目：化简■，发现系数“■”印刷不清楚． （1）他把“■”猜成3，请你化简； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【例16】小刚在解数学题时，由于粗心把原题“两个代数式A和B，其中A＝？，B＝4x2﹣5x﹣6，试求A+B的值”中的“A+B”错误的看成“A﹣B”，结果求出的答案是﹣7x2+10x+12，请你帮他纠错，正确地算出A+B的值． 【例17】若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪训练】 1.已知：，，若不含有的项，求：的值． 2.已知：，且，求． 3．在做整式加减法运算时，李老师在黑板上写出一个正确的运算过程，用手遮住一个代数式后形为：，当时，手遮住的代数式的值为 　　． 4．两个四次整式的和的次数是　　 A．不高于四次 B．不低于四次 C．四次 D．八次 5．若、都是三次四项整式，那么它们的和的次数一定是　　 A．六次 B．三次 C．不超过三次 D．以上都不对 6．已知式子，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”，计算的结果是． (1)求式子． (2)求的值． 7．已知代数式，，则无论x取何值，它们的大小关系是 ． 题型07：整式加减的几何应用 【名师点拨】整式加减的实际应用把整式加减应用到实际问题中时，关键是审清题意,根据等量关系列出整式. 【例18】如图，长为a，宽为b的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3． (1)求小长方形的长；（用含a的代数式表示） (2)若，求阴影部分的周长． 【跟踪训练】 1．学校某间教室的建筑平面图如图所示（图中长度单位：m），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这个教室的面积用一个整式表示，这个整式是_____，次数是_____．（　　） A．，2 B．，3 C．，2 D．，2 2．如图，两个正方形边长分别为，4，且． (1)用含的式子表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 题型08：新定义运算 【名师点拨】解决定义新运算问题时，我们要围绕理解新运算的定义、掌握其基本性质和规则，以及灵活运用这些规则来解决问题. 【例19】定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． （1）填空：34、48的“翠屏数”分别是 　　、　　； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）若一个两位数为，它的个位数字记为，十位数字记为，与它“翠屏数”之和与11的商记为，若，直接写出符合条件的的值． 【跟踪训练】 1．对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称与互为“对称数”，将互为“对称数”的两个数的差的绝对值与33的商记为（A），例如当时，． （1）　9　，　　； （2）求的值； （3）对于任意三位数，其百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，满足：，求（A）的值． 2．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习正整数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”． 定义：对于正整数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个正整数为“纯数”．例如，32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是不是“纯数”，请说明理由； （2）在不大于100的所有正整数中，“纯数”的个数是 　13　个（直接写出答案）． 一、选择题 1.（24-25七年级上·上海·期中）代数式去括号后应是（   ） A． B． C． D． 2．对整式进行添括号，正确的是（ ）． A． B． C． D． 3．减去得的式子为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上海闵行期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海虹口·期中）设，，已知为任意有理数，那么的值（    ） A．一定为正 B．一定为0 C．一定为负 D．不能确定 6.如图，用含m，n的代数式表示阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．去括号：_______． 8．（23-24七年级上·上海松江·期末）化简： ． 9．（23-24七年级上·上海·期末）在横线上填入正确的整式让等式成立： ． 10.（2024七年级上·上海·专题练习）去括号： ． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 12.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知则 ． 13．（23-24七年级上·上海宝山·期末）多项式与的差是 ． 14.（22-23七年级上·上海浦东新·期中）在中的括号内应填的代数式为（    ）． A． B． C． D． 15.（24-25七年级上·上海·期末）已知，比较M与N的大小关系：M N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 16．若a﹣b＝2020，c＋d＝2021，则（b＋c）﹣（a﹣d）的值为________． 17．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为 用含，的式子表示． 18.（2024松江区七年级期末）某客车上原有人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客人，则上车乘客是______人． 3、 解答题 19．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）计算： 20．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 21．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 22．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）求多项式减去的差． 23.（24-25七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中，． 24．（2024七年级上·上海·专题练习）先化简，再求值：，其中，且． 25.（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 26.（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知整式、、满足，其中，． (1)求整式； (2)当时，，求当时，整式的值． 27．（22-23七年级上·上海·期末）如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 28．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$