2.1 有理数的加减法 暑假讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

2.1 有理数的加减法 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 有理数的加法运算 【题型二】 有理数加法的运算律的运用 【题型三】 有理数减法运算 【题型四】 有理数加减法混合运算 【题型五】 有理数加减法的实际应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握有理数的加法法则； 2 掌握有理数加法的运算律； 3 掌握有理数减法法则。 1 有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. 2 有理数加法的运算律 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； 3 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：. 【题型一】 有理数的加法运算 相关知识点讲解 1 引入 回想下，我们在小学里怎么做加法运算的呢？，？ 那我们学习了负数后，呢? 现在我们尝试利用数轴进行有理数的加法。 假设一开始你站在一条数轴的原点，向右为正，向左为负；比如向右走步，记作，向左走5步，记作。 (1) 你先向右走3步，再向右走5步，请问你走到了哪里？可以用什么算式表示？ (2) 你先向右走3步，再向左走5步，请问你走到了哪里？可以用什么算式表示？ (3) 你先向左走3步，再向右走5步，请问你走到了哪里？可以用什么算式表示？ 那你能否对，，作出运动的假想，并算出最后的结果呢？ 2 结论 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. 【典题1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)；(3)； (4)； (5)； (6)． 【典题2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：； 变式练习 1 （2025·江苏苏州·一模）计算（   ） A．1 B． C．0 D． 2（2025·天津河东·一模）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D．7 3（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：． 4（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【题型二】 有理数加法的运算律的运用 相关知识点讲解 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； 【典题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 变式练习 1（23-24七年级上·广东惠州·期中）计算：． 2（21-22七年级上·福建泉州·期中）计算： 3（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【题型三】 有理数减法运算 相关知识点讲解 1 引入 我们学了有理数的加法，那减法呢？ 请问湛江某天的气温是，那温差是多少？； 若气温是，那温差是多少？? 我们知道，所以才有；那计算时，我们想象下 那，显然是7，那我们就有. 那我们继续计算： 加法 减法 我们可以发现规律 . 2 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数，即. 【典题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6)． 【典题2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)；(2)． 变式练习 1（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按照有理数减法法则，可以转化为（   ） A． B． C． D． 2（2025·广东深圳·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B．4 C． D．8 3（2025·河北·二模）在有理数2，0，，中，任意取两个数相减，差最大的是（   ） A．5 B． C． D． 4（22-23七年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1)； (2) 【题型四】 有理数加减法混合运算 【典题1】 （24-25七年级上·重庆·期中）式子写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 变式练习 1（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 3（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型五】 有理数加减法的实际应用 【典题1】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【典题2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 变式练习 1（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为（    ） 星期三 星期四 星期五 三天合计 ■ A． B． C． D． 2（2025·湖南长沙·模拟预测）长沙市某日早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了，则20时的气温为（    ） A． B． C． D． 3（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 4（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算：（   ） A． B．3 C． D．7 2（23-24七年级上·福建莆田·期中）将写成省略加号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·河北沧州·期末）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜下降了，则午夜的气温是（    ） A． B． C． D． 4（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 5（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 6（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）计算 (1)12－（－18）＋（－7）－15 (2)（﹣1.24）﹣（+4.76） (3)（﹣7）﹣（+5）+（﹣4）﹣（﹣10） (4)4.7－（－8.9）－7.5＋（－6） (5)（﹣33）+（+48）+（﹣27） (6)（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6 7（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 8（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，向前跑记作正数，返回则记作负数，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 2（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 3（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 4（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 有理数的加减法 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 有理数的加法运算 【题型二】 有理数加法的运算律的运用 【题型三】 有理数减法运算 【题型四】 有理数加减法混合运算 【题型五】 有理数加减法的实际应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握有理数的加法法则； 2 掌握有理数加法的运算律； 3 掌握有理数减法法则。 1 有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. 2 有理数加法的运算律 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； 3 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：. 【题型一】 有理数的加法运算 相关知识点讲解 1 引入 回想下，我们在小学里怎么做加法运算的呢？，？ 那我们学习了负数后，呢? 现在我们尝试利用数轴进行有理数的加法。 假设一开始你站在一条数轴的原点，向右为正，向左为负；比如向右走步，记作，向左走5步，记作。 (1) 你先向右走3步，再向右走5步，请问你走到了哪里？可以用什么算式表示？ (2) 你先向右走3步，再向左走5步，请问你走到了哪里？可以用什么算式表示？ (3) 你先向左走3步，再向右走5步，请问你走到了哪里？可以用什么算式表示？ 那你能否对，，作出运动的假想，并算出最后的结果呢？ 2 结论 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. 【典题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】-12 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键．去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【典题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)；(3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)(3)(4)0(5)(6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 变式练习 1 （2025·江苏苏州·一模）计算（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2（2025·天津河东·一模）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 3（24-25七年级上·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键．根据有理数的加法运算法则进行计算． 【详解】解： ． 4（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法运算： （1）直接利用异号两数相加的运算法则计算即可； （2）直接利用异号两数相加的运算法则计算即可； （3）直接利用同号两数相加的运算法则计算即可； （4）直接利用同号两数相加的运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2） ； （3）． （4）解：． 【题型二】 有理数加法的运算律的运用 相关知识点讲解 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； 【典题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法运算； （1）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法运算，再进行异号加法计算，即可求解； （2）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法及相反数进行运算，再进行异号加法计算，即可求解； 掌握有理数运算律及加法法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式． . 变式练习 1（23-24七年级上·广东惠州·期中）计算：． 【答案】 【分析】解：本题考查了有理数的加法运算，利用加法交换律和结合律进行运算即可得出结果，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2（21-22七年级上·福建泉州·期中）计算： 【答案】0 【分析】根据有理数加法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： = =     = 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，灵活运用计算律简化运算是解答本题的关键． 3（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键，原式先将化为，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型三】 有理数减法运算 相关知识点讲解 1 引入 我们学了有理数的加法，那减法呢？ 请问湛江某天的气温是，那温差是多少？； 若气温是，那温差是多少？? 我们知道，所以才有；那计算时，我们想象下 那，显然是7，那我们就有. 那我们继续计算： 加法 减法 我们可以发现规律 . 2 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数，即. 【典题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5) (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【分析】(1)～(6)根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 本题考查了有理数的减法运算，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）， ， （3）， ， ； （4）， ， ； （5）， ， ； （6）． 【典题2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 变式练习 1（24-25七年级上·河北邯郸·期末）按照有理数减法法则，可以转化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号， 根据括号前是“”，去掉“”和括号，括号内的各项都变号，可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 2（2025·广东深圳·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算，先将减法转化为加法，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案，熟记有理数的加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3（2025·河北·二模）在有理数2，0，，中，任意取两个数相减，差最大的是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数减法，掌握相关运算法则是解题关键．先比较有理数大小，再用最大数减最小数求解即可． 【详解】解：， ， 任意取两个数相减，差最大的是， 故选：A． 4（22-23七年级上·江西宜春·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案； （2）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键． 【题型四】 有理数加减法混合运算 【典题1】 （24-25七年级上·重庆·期中）式子写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟记去括号法则，先根据加减法统一化为加法，再省略括号和加号． 【详解】解：， 故选：D． 【典题2】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 变式练习 1（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则进行求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 3（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加法计算法则求解即可； （4）根据有理数减法计算法则求解即可； （5）根据有理数加减法计算法则求解即可； （6）根据有理数减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型五】 有理数加减法的实际应用 【典题1】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数减法的运算法则求解即可． 【详解】解：月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为， 所以这几天中温度与最低温度的差最小的是月日， 故选：D． 【典题2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）风筝节将至，某风筝加工厂计划这周内追加生产某种型号的风筝700只，上周日生产102只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有变化、下表是这周的实际生产情况（正负表示比上周日的增减）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每多生产一只奖励5元；若未完成任务，则每少生产一只少得4元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； (2)该厂工人这一周的工资总额是14505元． 【分析】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）用记录中的最大数减去最小数即可； （2）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：（只， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝； （2）解：（元， 答：该厂工人这一周的工资总额是14505元． 变式练习 1（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）某快递驿站将收到的快件数记为正数，取走的快件数记为负数，其近三天的快件进出情况如表所示，表中星期四的数据被墨水污染了，请你算出星期四快件的进出数为（    ） 星期三 星期四 ■ 星期五 三天合计 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加减运算的应用，解题的关键是理解题意；根据表格可得算式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 2（2025·湖南长沙·模拟预测）长沙市某日早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了，则20时的气温为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用．根据题意进行列式计算即可． 【详解】解：∵早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了， ∴， ∴20时的气温为， 故选：C． 3（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． (1)请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ (2)如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【答案】(1)经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； (2)这天要付元搬运费． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 【详解】（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． 4（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后是回到了出发点O (2)12厘米 (3)54粒 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解： ， ∴小虫最后是回到了出发点O； （2）解：① 厘米， ② 厘米， ③ 厘米， ④ 厘米， ⑤ 厘米， ⑥ 厘米， ⑦ 厘米， ∴小虫离开出发点O最远时12厘米． （3）解：（厘米） （粒） 答：小虫一共得到54粒芝麻． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算：（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先去括号，再进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A ． 2（23-24七年级上·福建莆田·期中）将写成省略加号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据题意写成省略加号的和的形式，即可求解． 【详解】解： 故选：C． 3（24-25七年级上·河北沧州·期末）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜下降了，则午夜的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意，正确列出算式是解题的关键．根据题意，用早晨的气温加上上升的温度，再减去下降的温度，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，午夜的气温． 故选：A． 4（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果为（　　） A． B． C．49 D．50 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法运算，利用结合律恒等变形，逐个求解即可得到简便运算方法，熟练掌握有理数加法运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 5（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，熟练掌握法则是解题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）计算 (1)12－（－18）＋（－7）－15 (2)（﹣1.24）﹣（+4.76） (3)（﹣7）﹣（+5）+（﹣4）﹣（﹣10） (4)4.7－（－8.9）－7.5＋（－6） (5)（﹣33）+（+48）+（﹣27） (6)（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6 【答案】(1)8 (2)﹣6 (3)﹣6 (4)0.1 (5)﹣12 (6)﹣2.8 【分析】（1）先把加减法转化为省略括号的加法，再进行运算即可； （2）先把减法转化为省略括号的加法，再进行运算即可； （3）先把加减法转化为省略括号的加法，再进行运算即可； （4）先把加减法转化为省略括号的加法，再进行运算即可； （5）先把加法转化为省略括号的加法，再进行运算即可； （6）先把加法转化为省略括号的加法，再进行运算即可． 【详解】（1）解：12－（－18）＋（－7）－15 ＝12＋18－7－15 ＝8 （2）（﹣1.24）﹣（+4.76） ＝﹣1.24－4.76 ＝﹣6 （3）（﹣7）﹣（+5）+（﹣4）﹣（﹣10） ＝﹣7－5－4＋10 ＝﹣16＋10 ＝﹣6 （4）4.7－（－8.9）－7.5＋（－6） ＝4.7＋8.9－7.5－6 ＝13.6－13.5 ＝0.1 （5）（﹣33）+（+48）+（﹣27） ＝﹣33+48﹣27 ＝﹣33﹣27+48 ＝﹣12 （6）（﹣2.8）+（﹣3.6）+3.6 ＝﹣2.8﹣3.6+3.6 ＝﹣6.4＋3.6 ＝﹣2.8 【点睛】此题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【详解】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 8（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，向前跑记作正数，返回则记作负数，某守门员的跑动情况记录如下（单位：米）：，，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10米（不包括10米），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)否 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）将题目中的数据相加，观察结果即可判断守门员最后是否回到球门线上； （2）根据题目中的数据，可以计算出守门员每次离球门线的距离，然后通过比较即可得出答案； （3）根据（2）的计算结果即可直接得出结论． 【详解】（1）解： ， 答：守门员最后没有回到球门线上； （2）解：由题意可得， 第一次距离球门线米， 第二次距离球门线米， 第三次距离球门线米， 第四次距离球门线米， 第五次距离球门线米， 第六次距离球门线米， 第七次距离球门线米， 第八次距离球门线米， ， 答：守门员离开球门线的最远距离达米； （3）解：由（2）可得：，， 在这一时间段内，守门员有次离开球门线的距离超过米， 对方球员有次挑射破门的机会， 答：在这一时间段内，对方球员有次挑射破门的机会． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，有理数加法在生活中的应用，绝对值的其他应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，深刻理解题中正负数的含义是解题的关键． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法是解题的关键． 设小圈上的数为和，大圈上的数为，根据，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出两个圈的和是2，横，竖的和也是2，由此进行分析即可． 【详解】解：设小圈上的数为和，大圈上的数为， ∵，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横，竖的和也是2， ， 得， ， ∴和为和和为和6；或和为和和为和4， 或6或或4， 或或或， ∴不可能为3， 故选：D． 2（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有， 不成立，故错误； 当时，有， 不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 3（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 4（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时， ，此时； 当时， ，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时， ，此时； 当时， ，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$