专题01 数列5种常考题型总结（新疆专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题01 数列5种常考题型总结 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项公式 题型03等差数列的前n项和 题型04等比数列的通项公式 题型05等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（2023秋•米东区校级期末）数列的通项公式，若该数列的第项满足，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023秋•阜康市校级期末）数列，4，，20，的一个通项公式可以是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•阜康市校级期末）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是　　 A．7 B．8 C．9 D．10 ( 题型02 ) 等差数列的通项公式 4．（2023秋•喀什市校级期末）已知等差数列的通项公式为，则　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•阿克苏市校级期末）已知1，，9成等差数列，则实数的值是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024春•阿勒泰地区期末）已知等差数列的前15项之和为60，则　　 A．4 B．6 C．8 D．10 7．（2024春•新疆期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题．假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟．羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半．”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半．”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半．”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为　　 A．1 B． C．2 D． 8．（2023秋•阿勒泰地区期末）等差数列中，，，则该数列的公差为　　 A． B．2 C． D．3 9．（2023秋•沙依巴克区校级期末）在等差数列中，若，，则数列的公差是　　 A．2 B．3 C．4 D．6 10．（2024春•阿克苏市校级期末）在数列中，，且，则　　． 11．（2023秋•克州期末）设数列为等差数列，若，则　　． ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 （多选）12．（2023秋•阿克苏市校级期末）记为等差数列的前项和若，，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•阿克苏市校级期末）已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则　　 A．9 B． C．11 D． 14．（2023秋•沙依巴克区校级期末）已知等差数列的前项和为，，，若，则　　 A．10 B．11 C．12 D．13 15．（2023秋•沙依巴克区校级期末）设等差数列数列的前项和为，若，则　　 A．30 B．28 C．26 D．24 16．（2023秋•巴音郭楞州期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） 　　块． 17．（2023秋•克州期末）已知是等差数列的前项和． （1）若，，求数列的通项公式； （2）若，，求． 18．（2023秋•巴音郭楞州期末）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的公差； （2）求的最大值． 19．（2023秋•喀什市校级期末）已知等差数列满足，，求： （1）通项公式； （2）求前项和． 20．（2023秋•图木舒克校级期末）已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最小值． ( 题型04 ) 等比数列的通项公式 （多选）21．（2024春•阿克苏市校级期末）关于递减等比数列，下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D． 22．（2024春•喀什市校级期末）在等比数列中，，则　　 A．2 B．4 C．8 D．16 23．（2023秋•新疆期末）在数列中，已知，，且，则　　 A．13 B．9 C．11 D．7 24．（2023秋•米东区校级期末）已知等比数列的前项和为，，，则等于　　 A．29 B．31 C．33 D．36 25．（2023秋•阜康市校级期末）在各项均为正数的等比数列中，，则　　． 26．（2023秋•新疆期末）在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 　　． 27．（2024春•新疆期末）已知等比数列的公比为3，且，则　　． ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 28．（2023秋•克州期末）已知等比数列满足，，为数列的前项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求的值． 29．（2023秋•图木舒克校级期末）设数列的前项和为，并且，则等于　　 A．32 B．16 C．992 D． 30．（2024春•乌鲁木齐期末）已知数列的前项和满足． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和． 31．（2023秋•沙依巴克区校级期末）已知数列的前项和，则数列的前项和　　． （多选）1．（2024春•喀什市校级期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是　　 A．数列可能为常数列 B．数列可能为等比数列 C．若，则 D．若，记是数列的前项积，则的最大值为 （多选）2．（2023秋•新疆期末）已知数列满足，则　　 A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．数列的前项和 （多选）3．（2024春•新疆期末）若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是　　 A．若，则数列为“凸数列” B．若，则数列为“凸数列” C．若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D．若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 4．（2024春•新市区校级期末）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和． （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列5种常考题型总结 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项公式 题型03等差数列的前n项和 题型04等比数列的通项公式 题型05等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（2023秋•米东区校级期末）数列的通项公式，若该数列的第项满足，则的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】根据题意，的通项公式， 若该数列的第项满足，则有， 又由且，则， 故选：． 2．（2023秋•阜康市校级期末）数列，4，，20，的一个通项公式可以是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，数列，4，，20，， 有， ， ， ， 故该数列的一个通项公式可以为：． 故选：． 3．（2023秋•阜康市校级期末）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】根据题意，数列的通项公式为， 依次分析选项： 对于，令，解得：，故不正确； 对于，令，解得：，故不正确； 对于，令，解得：，故不正确； 对于，令，解得：或（舍，故正确． 故选：． ( 题型02 ) 等差数列的通项公式 4．（2023秋•喀什市校级期末）已知等差数列的通项公式为，则　　 A． B． C． D． 【解析】由，得： ，公差． 故选：． 5．（2023秋•阿克苏市校级期末）已知1，，9成等差数列，则实数的值是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】根据等差中项的性质可得，， 故， 故选：． 6．（2024春•阿勒泰地区期末）已知等差数列的前15项之和为60，则　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【解析】因为等差数列的前15项之和为60， 所以， 故， 则． 故选：． 7．（2024春•新疆期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题．假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟．羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半．”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半．”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半．”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，，，，由题意得， 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 由题意得， 即解得． 故选：． 8．（2023秋•阿勒泰地区期末）等差数列中，，，则该数列的公差为　　 A． B．2 C． D．3 【解析】等差数列中，设公差为， 由，， 可得：， 故， 故选：． 9．（2023秋•沙依巴克区校级期末）在等差数列中，若，，则数列的公差是　　 A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】设等差数列的公差为，，， ，， 解得． 故选：． 10．（2024春•阿克苏市校级期末）在数列中，，且，则　　． 【解析】因为，则， 可知是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，所以． 故答案为：． 11．（2023秋•克州期末）设数列为等差数列，若，则　　． 【解析】数列为等差数列，且， ，得． 故答案为：5． ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 （多选）12．（2023秋•阿克苏市校级期末）记为等差数列的前项和若，，则下列正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】等差数列的前项和，，， 所以， 解得，， 所以，． 故选：． 13．（2023秋•阿克苏市校级期末）已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则　　 A．9 B． C．11 D． 【解析】等差数列的公差为2， 由，可得， 即，解得． 故选：． 14．（2023秋•沙依巴克区校级期末）已知等差数列的前项和为，，，若，则　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【解析】等差数列的前项和为，，，， ，，， 联立解得，，． 故选：． 15．（2023秋•沙依巴克区校级期末）设等差数列数列的前项和为，若，则　　 A．30 B．28 C．26 D．24 【解析】， 则，解得， 故． 故选：． 16．（2023秋•巴音郭楞州期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） 　　块． 【解析】设上层第环扇面形石板块数为，上层共环， 则构成等差数列，其首项为，且公差， 由题意得， 即， 解得， 所以块， 故答案为：3402． 17．（2023秋•克州期末）已知是等差数列的前项和． （1）若，，求数列的通项公式； （2）若，，求． 【解析】（1）根据题意，设等差数列的公差为， 若，则有若，解可得， 又由，则， 故； （2）若，， 则． 18．（2023秋•巴音郭楞州期末）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的公差； （2）求的最大值． 【解析】（1）设的公差为， ， 则，由得； （2）由（1）得， 所以当时，取得最大值，最大值为16． 19．（2023秋•喀什市校级期末）已知等差数列满足，，求： （1）通项公式； （2）求前项和． 【解析】（1）设，则有，解得， 故； （2）由，故． 20．（2023秋•图木舒克校级期末）已知等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并求的最小值． 【解析】（1）设等差数列的公差为， ，， ，解得， 故； （2）， 当或2时，取得最小值． ( 题型04 ) 等比数列的通项公式 （多选）21．（2024春•阿克苏市校级期末）关于递减等比数列，下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D． 【解析】．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，正确； ．当，时，为摆动数列，故错误； ．当，时，数列为递减数列，故正确； ．由数列为递减数列可知，，当时，，此时，当时，，，故错误． 故选：． 22．（2024春•喀什市校级期末）在等比数列中，，则　　 A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】在等比数列中，， 由题意得， 解得． 故选：． 23．（2023秋•新疆期末）在数列中，已知，，且，则　　 A．13 B．9 C．11 D．7 【解析】由题意可知，． 故选：． 24．（2023秋•米东区校级期末）已知等比数列的前项和为，，，则等于　　 A．29 B．31 C．33 D．36 【解析】等比数列中，，， ，解得，， 则． 故选：． 25．（2023秋•阜康市校级期末）在各项均为正数的等比数列中，，则　　． 【解析】因为数列为等比数列， 所以， 又， 所以， 所以． 故答案为：4． 26．（2023秋•新疆期末）在正项等比数列中，已知，且，，成等差数列，则的公比 　　． 【解析】，，成等差数列， ， 又，设正项等比数列的公比为， ，解得或（舍去）． 故答案为：3． 27．（2024春•新疆期末）已知等比数列的公比为3，且，则　　． 【解析】因为的公比为3，所以． 故答案为：2． ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 28．（2023秋•克州期末）已知等比数列满足，，为数列的前项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求的值． 【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为， 因为，， 所以， 所以， 所以； （Ⅱ）由知， 由，得， 解得． 29．（2023秋•图木舒克校级期末）设数列的前项和为，并且，则等于　　 A．32 B．16 C．992 D． 【解析】数列的前项和为，并且， 当时，． 所以． 故选：． 30．（2024春•乌鲁木齐期末）已知数列的前项和满足． （1）求数列通项公式； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）由题意得，， 当时，， 当时，， 当时也符合上式，则； （2）由（1）得，， ． 31．（2023秋•沙依巴克区校级期末）已知数列的前项和，则数列的前项和　　． 【解析】数列的前项和， 当时，； 当时， ， ， 当时，， ； 当时，，也满足上式， ． 故答案为：． （多选）1．（2024春•喀什市校级期末）已知数列满足，且，则下列说法正确的是　　 A．数列可能为常数列 B．数列可能为等比数列 C．若，则 D．若，记是数列的前项积，则的最大值为 【解析】．当时，，得或（舍，此时为常数列，故正确； ，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故正确； ．若，，所以，故错误； ．若，，数列是首项为7，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故正确． 故选：． （多选）2．（2023秋•新疆期末）已知数列满足，则　　 A．是等比数列 B．是单调递减数列 C． D．数列的前项和 【解析】由，得， 所以， 即有是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以，可知，正确； ，错误； 令，则，所以，正确． 故选：． （多选）3．（2024春•新疆期末）若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是　　 A．若，则数列为“凸数列” B．若，则数列为“凸数列” C．若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D．若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 【解析】若，则，故错误； 若，则，故正确； 若数列为单调递减数列，则，所以，即，故正确； 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则，即，所以， 则从第二项起，为单调递减数列，故错误． 故选：． 4．（2024春•新市区校级期末）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和． （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【解析】（1）由，可得， 即为，， 则． 由，可得， 化为，又， 解得， 则，； （2）由为等差数列，为等差数列，且， 根据等差数列的通项公式的特点，可设，； 或设，， ①当，时，， 则， 化为，又， 解得； ②当，时，， 则， 化为， 即，又， 此时无解， 综合可得． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$