专题04 随机变量及其分布7种常考题型总结（新疆专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布7种常考题型总结 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式与贝叶斯公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05超几何分布 题型06二项分布 题型07正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（2024春•疏勒县校级期末）已知事件，，且，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】事件，，且，，， （B）， 则． 故选：． 2．（2024春•克州期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为1，2，3，4，5，，记事件 “第一次掷出的点数小于4”，事件 “两次点数之和大于4”，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子， 记事件 “第一次掷出的点数小于4”，事件 “两次点数之和大于4”， （A），， 则． 故选：． 3．（2024春•新疆期末）不透明的袋子中有8个除颜色外其余完全相同的小球，其中4个红色小球，4个蓝色小球，从袋子中随机摸出4个小球，在摸出红色小球的条件下，摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】设事件为摸出红色小球，事件为摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数， 则，则． 故选：． 4．（2024春•喀什市校级期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 　　． 【解析】在第1次、第2次均摸到黑球的条件下， 袋子中剩下4个黑球，4个白球， 故第3次摸到黑球的概率为． 故答案为：． 5．（2023春•乌鲁木齐期末）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，有7件产品，其中4件正品，3件次品，在第一次取得次品的条件下，还有2件次品，4件正品， 则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率． 故选：． 6．（2023春•乌鲁木齐期末）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件 “取出的两个球颜色不同”，事件 “取出一个红球，一个白球”，则　　 A． B． C． D． 【解析】事件 “取出的两个球颜色不同”，事件 “取出一个红球，一个白球”， 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， 取出的两个球颜色不同的概率为（A）． 又取出不两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为， ． 故选：． 7．（2023春•米东区校级期末）太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从、、、，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件为“甲和乙至少一人选择”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率　　 A． B． C． D． 【解析】事件为“甲和乙至少一人选择”，其基本事件的个数为， 事件为“甲和乙选择的景点不同”，则在的条件下，事件的基本事件的个数为， 即， 故选：． ( 题型02 ) 全概率公式与贝叶斯公式 8．（2024春•喀什市校级期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】用事件，分别表示取到的产品来自第一批、第二批，表示取到次品， 依题意，，，，， 所以由全概率公式得（B）． 故选：． 9．（2023春•巴楚县期末）某学校有，两家餐厅，小麦同学第一天随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8，则小麦同学第二天去餐厅用餐的概率是 　　． 【解析】设事件表示“第1天去餐厅用餐”，事件表示“第1天去餐厅用餐”， 事件表示“第2天去餐厅用餐”， 则，，， 由全概率公式，得． 故答案为：0.7． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 10．（2023春•库尔勒市校级期末）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数， 即旧球的个数增加了一个， 取出的3个球中必有一个新球， 即取出的3个球必为2个旧球1个新球， ． 故选：． 11．（2023春•博湖县期末）设离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】解． ． 故选：． 12．（2024春•乌鲁木齐期末）已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于　　 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知，，解得， 则． 故选：． 13．（2023春•巴楚县期末）已知随机变量的概率分布为，其中　　 A．1 B． C． D．2 【解析】已知随机变量的概率分布为， 可得，，，， 因为， 所以， 解得． 故选：． 14．（2023春•米东区校级期末）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个球，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的分布列为　　 A． B． C． D． 【解析】随机变量的可能取值为1，2，3， ， 故选：． 15．（2022春•巴楚县校级期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试． （1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列． 【解析】（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为， 选出的3名同学中至少有1名女生的概率为． （2）根据题意，的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望与方差 16．（2022春•皮山县校级期末）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则的数学期望是　　 A． B． C． D． 【解析】一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员， 现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为， 则的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ． 故选：． 17．（2024春•巴音郭楞州期末）随机变量的分布列如下表所示，且，则的值为 　　． 0 1 2 3 0.1 0.1 【解析】由题意可得：，解得， 所以． 故答案为：1.5． 18．（2024春•喀什市校级期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【解析】（1）甲每次参加笔试未通过的概率为，每次参加面试未通过的概率为， 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 所以甲在一年内考试失败的概率为； （2）由题意得的可能取值为2，3，4， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 ． 19．（2023春•阿勒泰地区期末）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． （1）求小明至少正确完成其中3道题的概率； （2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 【解析】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件， 则． （2）的可能取值为2，3，4， ， ， ， 的分布列为； 2 3 4 数学期望． （3）由（1）知，小明进入决赛的概率为； 记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件，则； 因为（B）（A），故小宇进决赛的可能性更大， 所以应选择小宇去参加比赛． 20．（2023秋•库车市校级期末）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”，某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段记作区间，，记作，记作，，记作，，比方：10点04分，记作时刻64． （1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记为之间通过的车辆数，求的分布到与数学期望． 【解析】（1）设这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分； （2）根据频率分布直方图可得，抽取10辆车中，在前通过的车辆就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数， 即，所以的所有可能取值为0，1，2，3，4， 故， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 21．（2024春•克州期末）在9件产品中有3件次品和6件正品，连续抽取3次，每次抽1件，求： （1）当不放回抽样时，抽取次品数的均值； （2）当放回抽样时，抽取次品数的均值． 【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则． （2）由题意知，每次取到次品的概率为， 所以随机变量， 所以的均值为． ( 题型0 5 ) 超几何分布 22．（2024春•疏勒县校级期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为0，1，2，3， 则，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）由（1）所得的分布列可知，， 又因为的分布列为： 0 1 4 9 所以， 所以方差． 23．（2024春•阿勒泰地区期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示： 将分数不低于750分的学生称为“高分选手”． （1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从分数落在，，，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【解析】（1）由题意知， 解得， 样本平均数为， 由于，故中位数为650，众数为600． （2）采用分层抽样的方式从分数落在，，，内的两组学生中抽取10人， 则从，中抽取7人，从，中抽取3人， 随机变量的所有可能取值有0，1，2，3． ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望． ( 题型0 6 ) 二项分布 24．（2024春•喀什市校级期末）已知随机变量服从二项分布，则　　 A． B． C． D． 【解析】随机变量服从二项分布， 则． 故选：． 25．（2024春•疏勒县校级期末）若，且，则　　 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【解析】因为，且， 所以，解得． 故选：． 26．（2024春•巴音郭楞州期末）已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为　　 A．2 B． C． D．4 【解析】离散型随机变量服从二项分布， 所以有， ， 所以，即， 所以，当且仅当时取得等号． 故选：． 27．（2024春•新疆期末）已知随机变量，则　　． 【解析】因为， 所以， 所以． 故答案为：2． （多选）28．（2024春•阿克苏市校级期末）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为，则　　 A． B． C．的数学期望 D．的方差 【解析】由题意知从袋子中有放回地随机取球5次，每次取到白球的概率为， 取到白球记1分，取到黑球的概率为，取到黑球记0分， 则记5次取球的总分数为，即为5次取球取到白球的个数， 知，故正确； ，故错误； 的数学期望，故正确； 的方差，故正确． 故选：． 29．（2023春•米东区校级期末）在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有　　． A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 【解析】5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布， 则他们投中的均值分别为，，，，． 故晋级下一轮的大约有3人． 故选：． ( 题型0 7 ) 正态分布 30．（2024春•疏勒县校级期末）已知随机变量，且，则　　 A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【解析】根据正态曲线的对称性可得． 故选：． 31．（2024春•阿克苏市校级期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为　　 A．1600 B．1800 C．2100 D．2400 【解析】因为数学考试成绩近似服从正态分布，，且数学成绩高于120分的人数占总人数的， 所以数学成绩底于80分的人数占总人数的， 所以数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数占总人数的， 又因为数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800， 所以估计参加本次联考的总人数约为人． 故选：． 32．（2024春•克州期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为　　 （附：若，则，， A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以，， 由题意，，且，， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为：． 故选：． 33．（2024春•阿勒泰地区期末）随机变量，，若，则　　 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解析】因为，，且， 所以， 则． 故选：． 34．（2024春•乌鲁木齐期末）若随机变量服从正态分布，，则　　 A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 【解析】根据题意，因为随机变量服从正态分布，所以； 所以． 故选：． 35．（2024春•巴音郭楞州期末）已知随机变量，，则　　 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【解析】，由题意可知该正态分布的对称轴， 所以， 所以． 故选：． 36．（2023秋•库车市校级期末）设随机变量服从正态分布，若，则　　． 【解析】随机变量服从正态分布， 所对应的正态曲线关于对称， 因为， 所以， 所以． 故答案为：0.75． （多选）37．（2024春•喀什市校级期末）若随机变量，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】随机变量，，，，由正态分布的性质得： 对于，，，，，正确； 对于，，， 则，错误，正确． 故选：． （多选）38．（2024春•新市区校级期末）为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则　　（参考：若随机变量服从正态分布， A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 而，而， 所以，故错误； 因为， 所以，故正确， 依题可知，，所以， 故，故正确，错误． 故选：． （多选）1．（2024春•新疆期末）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是　　 A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 【解析】对于，由题意可知第4次取出的是红球，前3次中有2次红球， 则所求概率为，故错误； 对于，由题意可知，所以，故正确； 对于，记事件为恰好取4次停止取球，事件为第1次摸到红球， 则，， 所以，故正确； 对于，由题意可得，设最大， 则，即，解得， 因为，，所以，故正确． 故选：． 2．（2024春•阿克苏市校级期末）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，，，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 ， ， ， ， ， ， 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． （1）若从这批零件中随机抽取3个，记为抽取的零件的长度在，中的个数，求的分布列和数学期望； （2）若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【解析】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在，的概率’ 随机变量的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以； （2）由题意知，， ， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 3．（2024春•库车市校级期末）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【解析】（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①记“甲获得第四名”为事件，则（A）； ②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ， 故的分布列如下： 2 3 4 0.16 0.552 0.288 故数学期望， 则甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望为3.128； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军， “双败淘汰制”下，甲获胜的概率， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为， 由，且， 所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，两种赛制甲夺冠的概率一样． 4．（2024春•新疆期末）点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法．在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球．点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，栽判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段；第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的一方取得胜利．现有甲、乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为． （1）求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率； （2）已知甲、乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲、乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望． 【解析】（1）第3轮结束时甲队获胜概率为； （2）的可能取值为1，3，5，7，则， ， ， ， 所以的分布列为 1 3 5 7 数学期望 ． 5．（2024春•新市区校级期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为， 由题意得； （2）由题意设为第次投篮的是甲， 则， ， 又，则是首项为，公比为0.4的等比数列， ，即， 第次投篮的人是甲的概率为； （3）由（2）得， 当时，， 综上所述，，． 6．（2023春•可克达拉市期末）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且，，三个社区的居民人数之比为． （1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率； （2）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率； （3）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率． 【解析】（1）设从，，三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件，，， 则． 设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件， 则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时， 所以， 故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为． （2）设，，三个社区的居民人数分别为，，， 则社区每周运动总时间超过5小时的人数为， 社区每周运动总时间超过5小时的人数为， 社区每周运动总时间超过5小时的人数为， 所以， 故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率． （3）因为，所以． 因为，所以， 所以． 7．（2023春•昌吉州期末）某商场举行有奖促销活动，凡7月7日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有3个，白球有3个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减80元． （1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中恰有一人享受6折优惠的概率； （2）若小勇消费恰好满500元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算． 【解析】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件，则． 小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为： ． （2）若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为300，400，500． 则，，． 故的分布列为： 300 400 500 （元． 若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则． 由已知，可得，故， （元． 由上知：，故小勇选择方案一更划算． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布7种常考题型总结 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式与贝叶斯公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05超几何分布 题型06二项分布 题型07正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（2024春•疏勒县校级期末）已知事件，，且，，，则　　 A． B． C． D． 2．（2024春•克州期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为1，2，3，4，5，，记事件 “第一次掷出的点数小于4”，事件 “两次点数之和大于4”，则　　 A． B． C． D． 3．（2024春•新疆期末）不透明的袋子中有8个除颜色外其余完全相同的小球，其中4个红色小球，4个蓝色小球，从袋子中随机摸出4个小球，在摸出红色小球的条件下，摸出的红色小球个数大于蓝色小球个数的概率为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•喀什市校级期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 　　． 5．（2023春•乌鲁木齐期末）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为　　 A． B． C． D． 6．（2023春•乌鲁木齐期末）篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件 “取出的两个球颜色不同”，事件 “取出一个红球，一个白球”，则　　 A． B． C． D． 7．（2023春•米东区校级期末）太行山脉有很多优美的旅游景点．现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从、、、，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件为“甲和乙至少一人选择”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率　　 A． B． C． D． ( 题型02 ) 全概率公式与贝叶斯公式 8．（2024春•喀什市校级期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为　　 A． B． C． D． 9．（2023春•巴楚县期末）某学校有，两家餐厅，小麦同学第一天随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8，则小麦同学第二天去餐厅用餐的概率是 　　． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 10．（2023春•库尔勒市校级期末）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为　　 A． B． C． D． 11．（2023春•博湖县期末）设离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则的值为　　 A． B． C． D． 12．（2024春•乌鲁木齐期末）已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于　　 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 13．（2023春•巴楚县期末）已知随机变量的概率分布为，其中　　 A．1 B． C． D．2 14．（2023春•米东区校级期末）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个球，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的分布列为　　 A． B． C． D． 15．（2022春•巴楚县校级期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试． （1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列． ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望与方差 16．（2022春•皮山县校级期末）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则的数学期望是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•巴音郭楞州期末）随机变量的分布列如下表所示，且，则的值为 　　． 0 1 2 3 0.1 0.1 18．（2024春•喀什市校级期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． （1）求甲在一年内考试失败的概率； （2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 19．（2023春•阿勒泰地区期末）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． （1）求小明至少正确完成其中3道题的概率； （2）设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 20．（2023秋•库车市校级期末）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”，某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段记作区间，，记作，记作，，记作，，比方：10点04分，记作时刻64． （1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记为之间通过的车辆数，求的分布到与数学期望． 21．（2024春•克州期末）在9件产品中有3件次品和6件正品，连续抽取3次，每次抽1件，求： （1）当不放回抽样时，抽取次品数的均值； （2）当放回抽样时，抽取次品数的均值． ( 题型0 5 ) 超几何分布 22．（2024春•疏勒县校级期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 23．（2024春•阿勒泰地区期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示： 将分数不低于750分的学生称为“高分选手”． （1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从分数落在，，，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望． ( 题型0 6 ) 二项分布 24．（2024春•喀什市校级期末）已知随机变量服从二项分布，则　　 A． B． C． D． 25．（2024春•疏勒县校级期末）若，且，则　　 A．10 B．100 C．1000 D．10000 26．（2024春•巴音郭楞州期末）已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为　　 A．2 B． C． D．4 27．（2024春•新疆期末）已知随机变量，则　　． （多选）28．（2024春•阿克苏市校级期末）若袋子中有3个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球5次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记5次取球的总分数为，则　　 A． B． C．的数学期望 D．的方差 29．（2023春•米东区校级期末）在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有　　． A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 ( 题型0 7 ) 正态分布 30．（2024春•疏勒县校级期末）已知随机变量，且，则　　 A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 31．（2024春•阿克苏市校级期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为　　 A．1600 B．1800 C．2100 D．2400 32．（2024春•克州期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为　　 （附：若，则，， A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 33．（2024春•阿勒泰地区期末）随机变量，，若，则　　 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 34．（2024春•乌鲁木齐期末）若随机变量服从正态分布，，则　　 A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 35．（2024春•巴音郭楞州期末）已知随机变量，，则　　 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 36．（2023秋•库车市校级期末）设随机变量服从正态分布，若，则　　． （多选）37．（2024春•喀什市校级期末）若随机变量，，，，则　　 A． B． C． D． （多选）38．（2024春•新市区校级期末）为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则　　（参考：若随机变量服从正态分布， A． B． C． D． （多选）1．（2024春•新疆期末）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是　　 A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 2．（2024春•阿克苏市校级期末）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，，，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 ， ， ， ， ， ， 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． （1）若从这批零件中随机抽取3个，记为抽取的零件的长度在，中的个数，求的分布列和数学期望； （2）若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 3．（2024春•库车市校级期末）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 4．（2024春•新疆期末）点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法．在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球．点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，栽判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段；第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的一方取得胜利．现有甲、乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为． （1）求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率； （2）已知甲、乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲、乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望． 5．（2024春•新市区校级期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 6．（2023春•可克达拉市期末）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且，，三个社区的居民人数之比为． （1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率； （2）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率； （3）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率． 7．（2023春•昌吉州期末）某商场举行有奖促销活动，凡7月7日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有3个，白球有3个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减80元． （1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中恰有一人享受6折优惠的概率； （2）若小勇消费恰好满500元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$