专题04 一元函数的导数及其应用（13大题型提分练）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01 导数的概念与意义 题型02 导数的四则运算法则与复合函数的导数 题型03 利用导数求切线方程 题型04 利用导数判定单调性与求单调区间 题型05 利用导数求极值、最值 题型06 由函数单调性求参数 题型07 由函数零点或根的个数求参数 题型08 根据函数的单调性解不等式（含构造法） 题型09 函数图像的识别 题型10 恒成立问题求参数取值范围 题型11 利用导数证明不等式 题型12 函数零点个数的判定 题型13 导数与基本不等式结合求最值—选填题 导数的概念与意义题型01 1．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【答案】B 【详解】∵，∴． 故选：B 2．（22-23高二下·天津河东·期中）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则， 所以. 故选：D 3．（23-24高二下·天津滨海新·期末）设函数在处的导数为2，则 . 【答案】2 【详解】因为函数在处的导数为2，即， 所以， 故答案为：2. 导数的四则运算法则与复合函数的导数题型02 4．（23-24高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知，可得A错误； 而，可得B错误； 显然，可得C正确； 易知，可得D错误. 故选：C 5．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 6．（22-23高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由求导公式及法则可知： 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，，所以选项D正确. 故选：D 7．（23-24高二下·天津·期末）下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D正确. 故选：C 8．（22-23高二上·天津河西·期末）下列求导运算正确的个数是（    ）个 ①若，则； ②若，则 ③若，则. ④若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，故①正确； 对于②，∵ 故②正确； 对于③， 故③错误； 对于④， 故④正确； ∴①②④正确，正确的个数共有3个. 故选：C. 9．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 由，解得，于是 所以. 故答案为： 利用导数求切线方程题型03 10．（23-24高二下·天津·期末）曲线 在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二下·天津·期末）若函数上在点处的切线平行于双曲线的渐近线，则点的坐标是 . 【答案】或 【详解】设，因为，所以， 又双曲线，所以双曲线的渐近线方程为， 因为函数上在点处的切线平行于双曲线的渐近线， 所以由导数的几何意义知，或，得到或， 当时，， 当时，，从而得到或， 故答案为：或 12．（23-24高二上·天津·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13．（23-24高二下·天津南开·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行，. (1)求的值； (2)过坐标原点作曲线的切线，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，，则， 且， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以，则； （2）由（1）知，，则， 设切点，由于， 则切线， 因为切线过原点，所以，即， 设， 当时，，则没有零点， 当时，，则在单调递增， 由，知是的唯一零点， 所以有唯一解， 所以切线的方程为. 利用导数判定单调性与求单调区间题型04 14．（23-24高二下·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 15．（23-24高二上·天津·期末）已知函数，函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， 则， 由，可得，故函数的单调增区间为. 故答案为：. 16．（23-24高二下·天津和平·期末）已知的两个极值点分别是，. (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)递增区间是，递减区间是. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，是方程的两个根，则，解得， 此时，是的变号零点， 所以. （2）由（1）知，，当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 17．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，，的单调递减区间为 【详解】（1）因为所以， 所以，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为：； （2）由函数在处取得极值可知： ，即，解得：， 此时，，， 当，时，， 当时，， 所以符合题意. 综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为. 利用导数求极值、最值题型05 18．（23-24高二下·天津西青·期末）函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是 【详解】（1）由已知得：，则， 当时，， 故在处的切线方程为：， 即为：； （2）． 令：，得或， 则关系如下：， x 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在单调递增，在单调递减， ， 所以，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． 19．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，极小值为 【详解】（1）函数的定义域为. 导函数. 所以，. 所以，函数在处的切线方程为. （2）令，解得或，列表得 -1 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 的极大值为，极小值为. 20．（23-24高二下·天津河西·期末）已知函数在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值：1；极小值，. 【详解】（1），所以， 由. 此时，由或； 由， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极小值点. 故符合题意. 所以. （2）由（1）知：为函数的极大值点，且极大值为； 当为函数的极小值点，且极小值为. 21．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，且． (1)求实数a的值及曲线在点处的切线方程； (2)当时，求f(x)的最大值． 【答案】(1)； (2)2 【详解】（1）由题意可得，所以，即， 所以，，所以，. 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）由(1)得， 令，则或． 列表得： x ﹣2 ﹣1 1 2 ＋ 0 ﹣ 0 ＋ f(x) ﹣2 2 ﹣2 2 所以当时，在时取得极小值，在时取得极大值，且 ，故的最大值为2. 由函数单调性与极值求参数题型06 22．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 由题意可知，存在，使，即， 则，， 当时，取得最小值， 即，得. 故选：B 23．（23-24高二下·天津·期末）已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据 可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 24．（23-24高二下·天津·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 25．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可知， 因为函数存在减区间，则在上有解， 即有解， 令，， 令，解得；令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 因为有解，所以， 解得． 故答案为： 26．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，则，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 同时，有. 当时，根据的单调性，对有. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在上递增. 即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件； 当时，根据的单调性，有 . 故，，. 结合，知方程在和上各有一个零点，分别记为. 结合的单调性，知对有，对有. 此时，我们又有. 所以当时，由知，再由知. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件； 当时，由及，知. 所以对有，对有. 从而在上递减，在和上递增. 此即在上递减，在上递增，这表明恰有一个极值点，满足条件； 当时，由知. 所以对有，对有. 从而在和上递减，在和上递增，这表明有三个不同的极值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 27．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数在处有极值，则 ． 【答案】4 【详解】由可得， 又因为函数在处有极值，所以， 解得； 经检验可得时，在处取得极小值符合题意. 故答案为：4 28．（23-24高二下·天津和平·期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为 . 【答案】1 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，且对恒成立， 则对恒成立，而，恒成立，于是， 当时，，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，因此当时，对恒成立， 所以实数的最大值为. 故答案为： 29．（22-23高二下·天津滨海新·期末）已知函数，（其中为常数） (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间是和；的单调递减区间是 (3) 【详解】（1）当时，则， 此时， 所以，又， 所以切点为： 所以此时切线方程为． （2）因为． 从而，列表如下： 1 0 0 递增 有极大值 递减 有极小值 递增 所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是 （3）函数， 有， 设 当函数在区间上为单调递增时， 等价于在上恒成立， 由函数开口向下，对称轴为， 所以问题转化为只要即可， 即， 实数c的取值范围． 30．（23-24高二下·天津·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 由函数零点或根的个数求参数题型07 31．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故原方程等价于或. 由于当时，，故在上单调递减. 而当时，有，故此时， 从而当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 从而当时，有，而在上单调递减，， 所以有唯一的解. 若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或， 而只有一个解，所以方程至少有三个解. 假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以. 假设，则当，时有， 从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解， 所以至多有两个解，矛盾，所以. 综上，有，即； 另一方面，当即时，设， 由于，，， 且. 故在，，上各有一个解，从而至少有三个解. 而，（因为），所以或有四个解. 综上，的取值范围是，即，D正确. 故选：D. 32．（23-24高二下·天津·期末）若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内只有一个零点， 所以当时，无零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 故选：C 33．（23-24高二下·天津西青·期末）给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则,则. 单调递减；单调递增； 则时，取极小值.大概画出图像如下. 当时，的解的个数为2个； 若方程有一个零点，即方程有一个解，则，或者. 函数是R上的单调递减函数，即是R上的单调递减函数， 即在R上恒成立，即在R上恒成立. 令，则，则. 单调递减；单调递增； 则时，取极小值，在R上恒成立，则. 综上所得，正确的有②④,错误的有①③. 故选：B 34．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【详解】由，得，令， 在区间上有且仅有1个零点，等价于直线与函数的图象仅只一个公共点， ，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值， 而，当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象得，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点， 所以实数的取值范围为. 故答案为：或. 35．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程，显然不为该方程的实数根， 设， 即方程有三个不同的实数根， 即有三个不同的实数根， 当时， ，则， 由，可得；，可得， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时， 从而作出的大致图像. 由图可知当时，直线与函数的图象有3个交点， 即方程有三个不同的实数根. 由，得， 由，得， 所以 所以． 故选：A． 36．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，画出分段函数的图象，如图所示： 由图知：时，；时，， 又，且， 所以不可能同时大于1和同时小于1， 令， 所以， 即， 所以， 令，则， 令，得， 当时，，递减； 当时，，递增， 所以当时，取得最小值， 所以， 故答案为：. 37．（23-24高二下·天津·期末）已知，，其中 (1)令 （i）求的单调区间和极小值； （ii）若存在大于0的零点，且方程恰有三个实根，求实数a的取值范围 (2)若对，，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii） (2) 【详解】（1）（i）根据题意， ， ， 当时， 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，在R上单调递增， 当时， 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上可得： 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 当时，在R上为增函数， 当时，在单调递增，上单调递减，上单调递增； （ii）因为方程恰有三个实根， 由（1）可知两种情况显然不符合题意， 当时，，而时，单调递增， 无大于0的零点，不符合题意， 所以只能，此时， 由于在单调递减，，在单调递增，， 在上单调递增，， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，则，即， 所以在单调递增，则， 所以，即在从最小值增大到大于0， 所以方程恰有三个实根，只需， 即，化简为， 而，，则，则， 故实数a的取值范围为； （2）由题意可得原不等式可化为， 故不等式在R上恒成立． 设，则上式等价于， 要使对任意，恒成立， 由，只需函数在上单调递增， 在上恒成立． 即恒成立， 令，则 当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以，故， 则实数a的取值范围为. 根据函数的单调性解不等式（含构造法）题型08 38．（23-24高二下·天津·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：B 39．（23-24高二下·天津·期末）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， ， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以函数为奇函数， 由，得， 即， 所以，解得, 所以不等式的解集为. 故选：B. 40．（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 41．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数的定义域为R，，则的解集为 ． 【答案】 【详解】由可构造函数， 则可得，所以为单调递增函数， 又，所以等价于， 即，可得, 即的解集为. 故答案为： 42．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为 . 【答案】,或 【详解】，， 所以为奇函数， ， 当且仅当等号成立， 所以在上单调递减， 由得， 可得，解得，或， 所以不等式的解集为,或. 故答案为：,或. 43．（23-24高二下·天津河西·期末）已知，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 函数图像的识别题型09 44．（23-24高二下·天津南开·期末）函数的大致图象为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，，故函数的定义域为， 当时，；当时，，排除B选项； 因为， 当或时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，故A正确. 故选：A. 45．（23-24高二下·天津·期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且， 对于A，，为偶函数，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，为奇函数，当时，， 因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确； 对于D，当时，，，所以时，， 单调递增，当时，，单调递减，故D错误， 故选：C. 46．（23-24高二下·天津·期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 结合选项可知，只有C中函数符合要求， 故选：C 恒成立问题求参数取值范围题型10 47．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 48．（23-24高二下·天津南开·期末）若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，依题意，直线的斜率在函数图象公切线斜率之间， 设公切线与函数图象相切的切点分别为， 求导得，显然切线过点， 即，又，且， 于是，整理得，解得或， 因此两条公切线的斜率分别为，如图， 观察图象，得当时，存在实数，使得关于的不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 49．（23-24高二下·天津·期末）已知函数（，为自然对数的底数）. （1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，，单调递增区间为；（3） 【详解】（1）解：由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以， 解得：. （2）解：依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令，得或， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，令，得， 所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为. （3）解：由于在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 依题意，当时，， 即当时，， 设， 则， 设， 则， ①当时， 当时，，从而， 所以在区间为上单调递增， 又∵， 当时，，从而时，， 所以在区间为上单调递减， 又∵， 从而当时，， 即， 于是当时，； ②当时，令，得， ∴， 当时，， ∴在区间上单调递减， 又∵， 当时，， 从而当时，， ∴在区间上单调递增， 又∵， 从而当时，， 即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 50．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【详解】（1）解：当时，，则， 令，得，令，得 ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，无极小值； （2）解： 当，，则是增函数. 当时，则是减函数， ∴的最大值为， ∵恒成立， ∴，解得， ∴的取值范围为. 51．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； （3）由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 52．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)的单调减区间为，单调增区间为 (3) 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为； （2），， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （3）由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 53．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，显然成立，此时可为任意实数； 当时，由，在上恒成立，得， 令，， 则， 设，由（1）可知，在上单调递增，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则，所以， 综上，实数的取值范围为. 利用导数证明不等式题型11 54．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为. （2）当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增， ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以恒成立，即成立. 55．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)①；②证明见详解 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则， 当，则；当，则； 可知在内单调递增，在内单调递减； 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 当，即时，则， 可知在内单调递增； 当，即时，令，解得或；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增； 若，在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根，得， 令，， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： 可得，所以实数a的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得， 不妨设，要证：，只需证：， 即证， 设，令， 则， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 56．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，其中. (1)当时，，求的取值范围. (2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列. (3)证明：（）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）（解法一）由题意可知的定义域为， ， 设，其中. ①当，即时，，所以，单调递增， 所以当时，，故满足题意； ②当，且，即时，， 所以，单调递增， 所以当时，，故满足题意； ③当，且，即时， 设的两根为，， 解得，， 则当时，，所以，单调递减， 则，故不满足题意 . 综上，的取值范围是 . （解法二）由题意可知的定义域为， ， 因为，，所以，解得， 以下证明满足题意. 由可知，，所以当时，， 设，，所以为递增函数， 所以，所以， 综上，a的取值范围是. （2）由（1）可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，， 取，， （其中，所以，即）， 取，. （其中，所以，即）， 所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且， 所以，， 又，所以也是函数的零点， 显然且，所以，即，所以，所以，，成等比数列. （3）由（1）可知当时，为单调递增函数， 所以当时，，即， 整理得，即， 所以（）， 则（）， 故（）. 57．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； (3)求证：，. 【答案】(1)答案见解析; (2)证明见解析; (3)证明见解析. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，令，又因为，可解得 单调递增， 单调递减； （2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知. ， 所以曲线在和处的切线分别是： . 联立两条切线解得：. 要证小于和的等差中项，即证，整理得： 由题意得 即证   令，即证. 令. 所以在单调递减，所以 所以得证，故小于和的等差中项得证. （3） ， ， 当 时， ， 时， ， 在x=0处取得最小值 ，知： 在上恒成立， 所以 ，当且仅当x=0时等号成立， 令 ， 代入上面不等式得： ，即 ， ； 综上，. 58．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)比较与的大小,并加以证明. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2） 【详解】解：（1）， 令，得，； 令，得或； 令，得. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 证明如下： 设 ，∵为增函数， ∴可设，∵，，∴. 当时，；当时，. ∴ ， 又，∴， ∴ . ∵，∴， ∴，. 59．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，（e为自然对数的底数），. (1)若时，求函数的极值； (2)若恒成立，求实数m的值； (3)若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)1 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则. 令，得， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以的极小值为，无极大值. （2）若恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，恒成立，所以是上的增函数 注意到，所以时，，不合题意： 当时，若，则，若，则， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故只需， 令. 则， 当时，，若时，， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故，当且仅当时取等号， 所以时，即，从而. （3）设直线与曲线相切于点， 因为，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 即， 所以解得， 所以，则 令，得，当时，； 当时，. 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增. 所以，即. 所以， 所以 . 60．（22-23高二下·天津西青·期末）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）， 则， 由题意可得，解得； （2）由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 61．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以. （2）证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. （3）由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 函数零点个数的判定题型12 61．（22-23高二下·天津红桥·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递减，证明见解析 (3)两个不同的零点，理由见解析 【详解】（1）由题意知：的定义域为， ∵， ∴为定义在上的奇函数； （2）方法一：若，在上单调递减， 任取， ， ∵，∴，∴，又，∴， ∴在上单调递减. 证明二：， ∵， ∴在上小于0， ∴在上单调递减. （3）当时，，∴． 令，则，， 令，解得： 由在上单调递增，∴当时，， ∴有两个不同的零点. 62．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)时，无零点，当时有2个零点 【详解】（1），令得，或（不合题意舍去）， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （2）由（1）得，时，， 对求导得，， 时，恒成立， 所以时，恒成立，设， ，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以，即a的取值范围是． （3）因为，设，则， ①若，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以时，没有零点； ②若，由（1）知， 当时，，在上单调递增， 又，所以时，， 当时，，所以在上单调递增，且， 存在唯一，使得，则， 当时，，即在单调递增， 所以， 当时，在上单调递减，且， 所以存在唯一，使得， 综上所述，时，无零点，当时有2个零点． 导数与基本不等式结合求最值—选填题题型13 63．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 64．（23-24高二下·天津南开·期末）已知函数，其中，，若，则的最小值为 ． 【答案】18 【详解】由，得， 又，即，，， 故 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为18 故答案为：18 1．（24-25高二下·天津河东·期末）已知函数 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故选：D. 2．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 3．（22-23高二下·天津南开·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 故， 又，， 令，， ， 令，， 则在上恒成立，故在上单调递增， 所以， 则在上恒成立， 则在上单调递减， 故， 所以 故选：D 4．（23-24高二下·天津·期末）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为，所以， 所以的值域为， 由，得， 当时，，所以在上递增， 所以，， 所以的值域为， 因为对，总，使成立， 所以， 所以，解得. 故选：A 5．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 1 【详解】①时，，的定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的极大值点为，极小值点为， ②，对称轴为， 若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内， 因为的对称轴为，所以， 即且，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：1；. 6．（23-24高二下·天津·期末）我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【详解】根据“躺平点”定义可得，又； 所以，解得； 同理，即； 令，则， 即为上的单调递增函数， 又， 所以在有唯一零点，即； 易知，即， 解得； 因此可得. 故答案为：. 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】(1) (2)，切点为 【详解】（1）由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 8．（23-24高二下·天津和平·期末）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒. (1)求的解析式； (2)求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值. 【答案】(1)； (2)最大值为128，. 【详解】（1）依题意，无盖方盒的底面正方形边长为，高为，显然， 所以方盒的容积. （2）由（1）知，， 求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，， 所以无盖方盒的容积的最大值为128，此时. 9．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. （2），，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. （3）依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 10．（23-24高二下·天津·期末）已知. (1)若在处的切线方程为，求实数的值； (2)当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)若有零点，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，知. 由已知可得，在处的切线经过，且斜率为. 故有，代入函数表达式知，从而. 故，. （2）设，则. 故对有，对有，从而在上递减，在上递增，故对任意均有. 回到原题，当时，有. 根据题意，在时首先要有定义，故要有意义，从而首先有. 此时，原不等式等价于. 一方面，若对恒成立，则特别地，该不等式对成立，代入得，即. 从而由知，解得或，结合知. 另一方面，若，则对任意，有 . 故对恒成立. 综上，的取值范围是. （3）若有零点，记是的零点，则，即. 由于对任意均有，故 . 从而，即，这就得到 . 所以，故. 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01 导数的概念与意义 题型02 导数的四则运算法则与复合函数的导数 题型03 利用导数求切线方程 题型04 利用导数判定单调性与求单调区间 题型05 利用导数求极值、最值 题型06 由函数单调性求参数 题型07 由函数零点或根的个数求参数 题型08 根据函数的单调性解不等式（含构造法） 题型09 函数图像的识别 题型10 恒成立问题求参数取值范围 题型11 利用导数证明不等式 题型12 函数零点个数的判定 题型13 导数与基本不等式结合求最值—选填题 导数的概念与意义题型01 1．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（   ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 2．（22-23高二下·天津河东·期中）设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·天津滨海新·期末）设函数在处的导数为2，则 . 导数的四则运算法则与复合函数的导数题型02 4．（23-24高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（22-23高二下·天津西青·期末）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·天津·期末）下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·天津河西·期末）下列求导运算正确的个数是（    ）个 ①若，则； ②若，则 ③若，则. ④若，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数满足，则 . 利用导数求切线方程题型03 10．（23-24高二下·天津·期末）曲线 在点处的切线方程为 ． 11．（23-24高二下·天津·期末）若函数上在点处的切线平行于双曲线的渐近线，则点的坐标是 . 12．（23-24高二上·天津·期末）曲线在点处的切线方程为 . 13．（23-24高二下·天津南开·期末）已知曲线在点处的切线与直线平行，. (1)求的值； (2)过坐标原点作曲线的切线，求的方程. 利用导数判定单调性与求单调区间题型04 14．（23-24高二下·天津·期末）函数的单调递减区间为 ． 15．（23-24高二上·天津·期末）已知函数，函数的单调增区间为 . 16．（23-24高二下·天津和平·期末）已知的两个极值点分别是，. (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间. 17．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间. 利用导数求极值、最值题型05 18．（23-24高二下·天津西青·期末）函数． (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 19．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 20．（23-24高二下·天津河西·期末）已知函数在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值． 21．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，且． (1)求实数a的值及曲线在点处的切线方程； (2)当时，求f(x)的最大值． 由函数单调性与极值求参数题型06 22．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·天津·期末）已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·天津·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 25．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为 . 26．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若函数只有一个极值点，则的取值范围是 ． 27．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数在处有极值，则 ． 28．（23-24高二下·天津和平·期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为 . 29．（22-23高二下·天津滨海新·期末）已知函数，（其中为常数） (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设函数，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 30．（23-24高二下·天津·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 由函数零点或根的个数求参数题型07 31．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·天津·期末）若函数在其定义域内只有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二下·天津西青·期末）给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为 . 35．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是 ． 37．（23-24高二下·天津·期末）已知，，其中 (1)令 （i）求的单调区间和极小值； （ii）若存在大于0的零点，且方程恰有三个实根，求实数a的取值范围 (2)若对，，恒成立，求实数a的取值范围. 根据函数的单调性解不等式（含构造法）题型08 38．（23-24高二下·天津·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二下·天津·期末）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数的定义域为R，，则的解集为 ． 42．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为 . 43．（23-24高二下·天津河西·期末）已知，，且，则的取值范围是 ． 函数图像的识别题型09 44．（23-24高二下·天津南开·期末）函数的大致图象为（   ）. A． B． C． D． 45．（23-24高二下·天津·期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·天津·期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ） A． B． C． D． 恒成立问题求参数取值范围题型10 47．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高二下·天津南开·期末）若存在实数，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 49．（23-24高二下·天津·期末）已知函数（，为自然对数的底数）. （1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 50．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 51．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 52．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 53．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)，，求的取值范围. 利用导数证明不等式题型11 54．（23-24高二下·天津和平·期末）已知函数，其中实数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上的最大值是0，求的取值范围； (3)当时，证明：. 55．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个不同的零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 56．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，其中. (1)当时，，求的取值范围. (2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列. (3)证明：（）. 57．（22-23高二下·天津和平·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项； (3)求证：，. 58．（23-24高二下·天津·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)比较与的大小,并加以证明. 59．（23-24高二下·天津·期末）已知函数，（e为自然对数的底数），. (1)若时，求函数的极值； (2)若恒成立，求实数m的值； (3)若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有. 60．（22-23高二下·天津西青·期末）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； (2)讨论函数的单调性； (3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 61．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. (1)求的值； (2)证明：当时，； (3)若对任意两个正实数，且，有，求证：. 函数零点个数的判定题型12 61．（22-23高二下·天津红桥·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，判断在的单调性，并证明（定义法、导数法均可）； (3)若，，判断函数的零点个数，并说明理由. 62．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 导数与基本不等式结合求最值—选填题题型13 63．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 64．（23-24高二下·天津南开·期末）已知函数，其中，，若，则的最小值为 ． 1．（24-25高二下·天津河东·期末）已知函数 ，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·天津南开·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津·期末）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数若，则函数的极小值点是 ；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为 ． 6．（23-24高二下·天津·期末）我们比较熟悉的网络新词，有“”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为 ． 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 8．（23-24高二下·天津和平·期末）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒. (1)求的解析式； (2)求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值. 9．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 10．（23-24高二下·天津·期末）已知. (1)若在处的切线方程为，求实数的值； (2)当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)若有零点，求证：. 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$