1.2证明（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

1.2 证明 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 定理、基本事实的判断 题型二 根据证明过程填写推理依据 题型三 代数问题的证明 题型四 线段、角问题的证明 题型一 定理、基本事实的判断 1.1.下列句子中，是基本事实的是（ ） A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 D、相等的角一定是对顶角. 2.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、基本事实 C、定义 D、假命题 3. 下列真命题中不是定理的是（ ） A.对顶角相等. B.同角或等角的补角相等. C.同角或等角的余角相等. D.在一个三角形中，两内角平分线所成的角等于第三个角的一半与90°的和. 题型二 根据证明过程填写推理依据 1．如图所示，，那么 ，依据是 ． 2．完成下面的证明（在括号内填写推理的依据） 如图，直线与交于点，过作，平分，若．求的度数． 解：∵（已知） ∴__________（                ） ∵平分（已知） ∴__________（                ） ∵（                ） ∴ ∴． 3．直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（ ）． （ ）． ，（ ）． ________（垂直定义） （ ）． 即________（ ）． ________（对顶角相等） ________（等量代换） 平分（ ）． 请在括号内填写每一步的依据。 题型三 代数问题的证明 1．证明：两个奇数之和是偶数． 2．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？ 题型四 线段、角问题的证明 1．如图所示，直线，相交于O，平分，，． 求证：平分． 2．已知：如图，，和分别平分和．求证：． 3．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： 试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 4．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 5．如图，与互为补角，OD平分，．试说明：． 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 2．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 1．如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则______． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，求； ②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 2．综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 证明 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 定理、基本事实的判断 题型二 根据证明过程填写推理依据 题型三 代数问题的证明 题型四 线段、角问题的证明 题型一 定理、基本事实的判断 1.1.下列句子中，是基本事实的是（ ） A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 D、相等的角一定是对顶角. 【答案】A 【解析】由基本事实的定义即可得出正确答案。 2.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、基本事实 C、定义 D、假命题 【答案】B 【解析】由基本事实的定义即可得出正确答案。 3. 下列真命题中不是定理的是（ ） A.对顶角相等. B.同角或等角的补角相等. C.同角或等角的余角相等. D.在一个三角形中，两内角平分线所成的角等于第三个角的一半与90°的和. 【答案】D 【解析】由定理的定义即可得出正确答案。 题型二 根据证明过程填写推理依据 1．如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 2．完成下面的证明（在括号内填写推理的依据） 如图，直线与交于点，过作，平分，若．求的度数． 解：∵（已知） ∴__________（                ） ∵平分（已知） ∴__________（                ） ∵（                ） ∴ ∴． 【答案】90；垂直的定义；；角平分线的定义；对顶角相等 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，垂直的定义，角平分线的定义，先由得，因为平分，故，再结合角的和关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴． 3．直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部，点E，F在直线的同侧． 求证：若平分，一定平分． 证明：平分，（ ）． （ ）． ，（ ）． ________（垂直定义） （ ）． 即________（ ）． ________（对顶角相等） ________（等量代换） 平分（ ）． 请在括号内填写每一步的依据。 【详解】证明： 平分，（ 已知 ）． （角平分线的定义）． ，（ 已知 ）． （垂直定义） （ 等式的基本性质 ）． 即，（角的和差的定义 ）． （对顶角相等） （等量代换） 平分，（角平分线的定义 ）． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直的定义、对顶角的性质以及角的和差关系，熟练掌握这些角的相关概念和性质，准确进行角的推导与运算，是解决此类角度证明问题的关键． 题型三 代数问题的证明 1．证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 2．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 【答案】正确，理由见解析. 【分析】运用完全平方公式计算，根据计算结果判断题意中的说法是否正确． 【详解】正确，理由如下： . 故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确. 【点睛】本题考查了命题真假的判断和完全平方公式，通过完全平方公式对所给式子进行化简计算是判断命题真假的前提． 3．一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断． 【详解】解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明： ∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（）， ∴原两位数为，新两位数为. ∵，是11的整数倍， ∴这两个两位数的和能被11整除. ∵，一定不是11的整数倍， ∴这两个两位数的差不能被11整除， ∴上述说法正确. 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型四 线段、角问题的证明 1．如图所示，直线，相交于O，平分，，． 求证：平分． 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键。 由，可得，即可根据求出，再根据求出，得出，即可完成证明． 【详解】证明：：直线，相交于，， ，， ， 平分， ∴∠AOE=∠AOD=70° ， , ， ， ， 平分． 2．已知：如图，，和分别平分和．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求得，，进而即可得到答案 【详解】证明：∵和分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴． 3．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： 试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】) 【分析】根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可； 本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键． 【详解】，理由： ∵M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴； 4．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，几何中角度的计算，掌握角平分线的定义及计算是关键． （1）根据角平分线的定义得到即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 分别是的平分线 ， ， ； （2）解：平分， ， 由（1）知， ． 5．如图，与互为补角，OD平分，．试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：因为与互为补角， 所以， 即． 又因为， 所以，即与互余，与互余． 因为平分， 所以， 所以， 即． 1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 2．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 1．如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则______． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，求； ②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)15 (2)不变，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． （1）根据线段中点的性质得出，根据线段的和差关系得出，进而根据即可求解； （2）根据（1）的方法进行求解即可求解． （3）①根据角平分线的定义得出，，根据，即可求解．②根据①的方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，分别是，的中点， ∴，， ∴； （2）解：的长度不变．理由如下： 、分别是、的中点， ，， ，， ； （3）解：①、分别平分和， ，， ． ②、分别平分和， ，， ∴． 2．综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$