复习专题08 复数（16重点+12题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题08 复数 知识点1 复数系与相关概念 概念复数系与相关 虚数单位 虚数单位 复数的定义 形如的数称为一个复数,全体复数构成的集合用字母C表示 （1） ，但并没有 ． （2）复数 i 满足 ， ，以 4 为一个周期循环，即有 ． 对于复数集,我们约定: （1）复数 、 且 ； （2）复数 、、、 且 ． 知识点2 复数的四则运算 复数的四则运算法则 复数的加法 复数的减法 复数的乘法 复数的除法 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个多项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件 及合并同类项来化简结果． （2）复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 换成 -1 ，再把实数项、含 的项分别合并． （3）两个复数进行除法（除数不为 0 ）运算时，将分子和分母同时乘分母的实数项与含 i 项的相反数的和，然后化简整理得到运算结果．复数的除法运算本质上是化简分式，使 的分母实数化． 复数四则运算满足的运算律 、、 复数加法的交换律 复数加法的结合律 复数乘法的交换律 复数乘法的结合律 复数乘法对加法的分配律 知识点3 复数的整数次幂 （1）对任意复数 与任何正整数 表示 个 相乘． （2）非零复数的负指数幂也是有意义的：当 时，对任何正整数 ；当 时，还约定 ． （3）同底数幂的运算规则同样适用于复数，如： 都是整数 （1）i 的周期性： 所以 i 的周期为 ． （2）复数的乘方类似于实数的乘方，在实数集中的乘方公式在复数集中仍然适用． 知识点4 复数的代数形式 复数的表达方式、 称为它的代数形式，其中的实数和分别叫做该复数的实部（real part）和虚部（imaginary part）.为了行文的简洁与方便，复数也常常用单个字母（常用）来表示，此时它的实部和虚部分别记作与.即，若复数、 ，则.若复数 的虚部为零，即 ，则 是个实数；当时，称为虚数（imaginary number）．特别地，当 但 时， 称为纯虚数（pure imaginary number）．我们已经知道，当且仅当且，此时是一个实数． 实数是虚部等于零的复数，因此，实数集合是复数集合的子集，并且是一个真子集，即 . 复数可以按以下方式分类： 知识点5 复平面及其相关概念 复平面 在平面上建立直角坐标系，以坐标为 的点 表示复数 、 ，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应．这样用来表示复数的平面叫做复平面． 实轴与虚轴 在复平面上， 轴上的点具有 形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把 轴叫做实轴；同理， 轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把 轴叫做虚轴．坐标原点表示实数 0 ． 复平面、实轴、虚轴与复数的对应 （1） 复平面内的点与复数的对应： 点 的横坐标是实部 ，纵坐标是虛部 ，复数 、 R）可用点 表示．如图， （2）象限内的点与一般虚数的对应: ①第一象限的点对应复数的特征:实部为正，且虚部为正;②第二象限的点对应复数的特征:实部为负，且虚部为正;③第三象限的点对应复数的特征:实部为负，且虚部为负;④第四象限的点对应复数的特征:实部为正,且虚为负. 知识点6 复数、点与向量三者间的对应关系 、 、平面向量. 因此，复数 、 、复平面内的点 和平面向量 之间的关系可用如图表示． 为方便起见，常把复数 、 说成点 或向量 ． 共轭复数的“数、形”特征 共轭复数 、 和 、 在复平面上所对应的点 和 关于 轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于 轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭． 特别地，如果 ，即 是实数，则 ，此时 、 在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点． 知识点7 复数的模 定义 复数 、 在复平面上所对应的点 到原点的距离 ，叫做复数 的模，记作 |z| ． (1)计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算. (2)两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小, (3)复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有,并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模 记法 由模的定义可知: 是一个实数,它的模就等于的绝对值） 复数模的几何意义 复数对应复平面上的点到原点的距离 两复数差的模的几何意义 两复数 、 差的模是这两个复数在复平面上对应点 、 之间的距离． 复平面上两点距离公式 设 是复平面上的两个点，其对应的复数为 ，则由平面上两点间距离公式可知 . 知识点8 复数的模的性质 复数的模有如下性质：对 ，在关于除法的性质中需假设 。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）（复数的三角不等式）； （6）（ 为正整数）． （1）一个重要的复数等式： （2）一个重要的复数不等式: 知识点9 实数的平方根 已知 ，则在复数集 内： 当 时，实数 的实平方根为 ； 当 时，实数 的两个平方根为 ，它们是两个共轭的纯虚数 复数的平方根与立方根 1.满足条件 的 叫做 的平方根． 2.满足条件 的 叫借 的立方根． 若记 ，则（1） ；（2） ． 知识点10 实系数一元二次方程 实系数一元二次方程 、、 中的 为根的判别式，那么 （1） 方程有两个不相等的实根 ； （2） 方程有两个相等的实根 ； （3） 方程有一对共轭虚根 ． 在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）： 1.在复数集 中，实系数一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅在实数集上有效。 2.虚系数一元二次方程 、、 至少有一个为虚数）： （1）利用判别式判断实根情况失效； （2）虚根成对定理失效．不过韦达定理仍适用． 知识点11 实系数方程虚根成对定理 实系数一元二次方程的虚根成对出现，即若 是方程的一个根，则 也是方程的一个根． 知识点12 复数的辐角 设复数 对应复平面上的点 ，则以原点为顶点、 轴的正半轴为始边、射线O Z为终边的角 称为复数 的辐角，记作 ．在复数 的所有辐角中，显然，任何一个非零复数 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差 的整数倍． 规定：复数 0 的辐角的大小是任意的值． （1）在复数的三角形式中，辐角 的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是辐角主值，也可以是䇎角主值加 或 ． （2）为了筒便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将 写成辐角主值． 知识点13 复数的三角形式 如果非零复数、在复平面内的对应点为 ，且 为向量 的模， 是以 轴正半轴为始边、射线O Z为终边的一个角，则 ，所以 ，如图所示，从而 . 上式的右边 称为非零复数的三角形式．对应地， 称为复数的代数形式． 知识点14 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 复数乘法运算的三角表示 已知 ，则 ． 这就是说,两个复数相乘,其积的模等于模的积,积的辐角等于辐角的和. 复数三角形式的乘法公式的推广 复数乘法运算的几何意义 两个复数 、 相乘时，如图，先分别画出与 、 对应的向量 、 ，然后把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的s倍,得到向量表示的复数就是积 知识点15 复数除法运算的三角表示及其几何意义 复数除法运算的三角表示 已知 则 这就是说,两个复数相除(除数不为零),其商的模等于模的商商的辐角等于辐角的差. 复数除法运算的几何意义 两个复数 、 相除时，如图，先分别画出与 、 对应的向量 、 ，然后把向量 绕点 按顺时针方向旋转 （如果 ，就要把 绕 点按逆时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 表示的复数就是商 知识点16 三角形式下复数的乘方与开方公式 设 ，则对任何正整数 ，有 ; 的 次方根为 ． （1）三角形式下复数的乘方与开方公式学习的必要性： 计算 ，当正整数 较大时就不方便；而用三角形式就十分筒捷．同理复数的开方亦然． （2）复数开方的几何意义是 的 次方根所对应的复数均匀地分布在圆 上． 题型一、复数代数形式的乘法运算 例1（24-25高一下·上海·期中）已知，则复数为 ． 【答案】/ 【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 1-1．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而根据复数的除法运算即可求解. 【详解】因为，故即， 所以. 故选：B. 1-2．（2023高一下·上海·专题练习）方程有一个根为，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，推得方程的另一个根为，再结合韦达定理，即可求解． 【详解】方程有一个根为， 则方程的另一个根为， 故． 故选：A． 1-3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】先由求出复数，然后可求出复数的模. 【详解】由，得， 所以， 故答案为： 题型二、复数范围内方程的根 例2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在复数范围内，的所有平方根为 ． 【答案】 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立.   综上所述，. 故答案为：. 2-1．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可知即可； （2）分两种情况讨论： 以及，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）方程有虚数根， 解得 （2）① 时，; ② 时，8; 综上， 的值为 或 2-2．（24-25高一下·上海·期中）若都是实数，关于的方程有一个根，则 . 【答案】7 【分析】根据题意，将代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】将代入方程可得， 化简可得， 即， 则，解得. 故答案为： 2-3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 题型三、复数的除法运算 例3（23-24高一下·上海·期中）已知复数（i为虚数单位），则满足的复数w为 . 【答案】1 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】由于，则得， 故答案为：1 3-1．（23-24高一下·上海·期中）设复数，则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 3-2．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数   . 【答案】 【分析】利用复数的乘法结合复数乘方的周期性可求得结果. 【详解】因为，故. 故答案为：. 3-3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法计算规则求解. 【详解】； 故答案为：. 题型四、求复数的实部与虚部 例4（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数是纯虚数，则复数的虚部为 【答案】10 【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 解得，因此， 所以复数的虚部为10. 故答案为：10 4-1．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设是虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】/ 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其实部. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 4-2．（24-25高一下·上海·阶段练习）若复数（i表示虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】因为复数， 所以. 故答案为： 4-3．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，则的虚部是 . 【答案】 【分析】利用复数的概念直接求得结果. 【详解】复数的虚部是. 故答案为： 题型五、共轭复数的概念及计算 例5（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 5-1．（23-24高一下·上海·期末），若，，则 . 【答案】 【分析】设，根据已知求出即可得出答案. 【详解】设，则， 所以,即； 由,解得，即，所以. 故答案为：. 5-2．（24-25高一下·上海·期中）已知i为虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据除法运算可得，进而可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 5-3．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围； （2）利用夹角公式可求夹角. 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且. 题型六、复数的相等 例6（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用复数的除法，结合给定的定义列式求解. 【详解】，依题意，，解得， 所以. 故选：B 6-1．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【详解】（1）不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以； （2）设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 6-2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）i的所有的三次方根为 . 【答案】 ，，. 【分析】设i的所有的三次方根为，由 ，利用复数相等求解. 【详解】i的所有的三次方根为， 则 ， 即， 所以 ， 解得 或 或 ， 所以 ，，. 故答案为： ，，. 6-3．（23-24高一下·上海宝山·期末）在复数范围内，的所有平方根为 . 【答案】或 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立. 综上所述，. 故答案为：或. 题型七、复数的坐标表示 例7（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 7-1．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则 . 【答案】1 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 7-2．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根分别为：，结合韦达定理分析求解； （2）设，利用韦达定理可得，设，，，根据两点间距离公式结合三角函数的最值分析求解. 【详解】（1）当时，则， 可得方程的两根分别为：， 则，解得，. （2）当时，方程为， 设，则，， 可得，为方程的两根， 则， 设，，， 由复数的几何意义可知：， 则， 其中，， 因为，可得， 所以的取值范围为． 7-3．（23-24高一下·上海·阶段练习）若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为 【答案】 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先利用复数的几何意义求得，从而得到，然后运用复数四则运算法则即可解得，最后求得. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 题型八、判断复数对应的点所在的象限 例8（23-24高一下·上海·期中）复数在复平面内对应的点位于第 象限 【答案】四 【分析】利用复数的运算，得到的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点，从而判断出所在象限． 【详解】由题得， 则在复平面内对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第四象限． 故答案为：四. 8-1．（23-24高一下·上海·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】三 【分析】由复数的乘法运算和复数的几何意义求出即可. 【详解】， 所以对应复平面内的点为，位于第三象限， 故答案为：三. 8-2．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】设，，根据复数的乘方运算以及复数的几何意义即可判断. 【详解】设，，则，因为， 则其在复平面上所对应的点在第二象限， 故选：B. 8-3．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第 象限． 【答案】二 【分析】先根据复数的乘方及除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由，得， 所以复数在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故答案为：二. 题型九、求复数的模 例9（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）若，那么 . 【答案】5 【分析】由模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：5. 9-1．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知复数（是虚数单位），则的值为 . 【答案】 【分析】利用复数除法求出，进而求出模. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 9-2．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，求出方程的另一根，再利用韦达定理列式求解. （2）利用复数乘法，结合纯虚数的意义求出，再利用复数模的定义求解. 【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得， 所以. 9-3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 . 【答案】 【分析】利用复数的模的性质求解 【详解】， 故答案为： 题型十、由复数模求参数 例10（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【详解】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 10-1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 【答案】 【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得y 即可得到答案. 【详解】由已知得，且，故为纯虚数，且虚部小于0， 设，代入方程可得， 解得或 （正根舍去）， 故，. 故答案为：. 10-2．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解； （2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果. 【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 可得，即， 设，由，解得， 所以，； （2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为， ①若方程有两个实根，则，可得，且， 则，解得； ②若方程有两个虚根，则，可得， 设，不妨设，可得，解得， 所以. 综上可得，实数的值为或. 法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为， 则， ， 解得或. 10-3．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由公式法求解即可； （2）由题可知，求得的范围，由求根公式计算，进而可得 利用模长公式求解即可. 【详解】（1）当时，，则方程的根为 即 （2）有一对共轭虚根，所以，即. ∴， 整理得，即,解得：或. 故或. 题型十一、与复数模相关的轨迹（图形)问题 例11（24-25高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出复数z在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ， 所以的取值范围为， 故答案为：. 11-1．（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用条件推得，将表示后转化为圆上的点到原点的距离即可. 【详解】设， 由可得，故得. 由，可得， 即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上. 所以， 代表点到原点距离的倍， 由图知点到原点距离的取值范围为， 即的取值范围为. 故答案为：. 11-2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 11-3．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】B 【分析】设，根据复数的几何意义可得，结合圆的一般方程即可下结论. 【详解】设， 由，得， 整理得， 所以复数在复平面上对应的点的轨迹图形为圆. 故选：B 题型十二、复数的三角表示 例12（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值. （2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】（1）， 则； （2）设，而，则， 又，于是， 则，解得，，即， 因此，所以． 12-1．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 12-2．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 12-3．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知复数满足，且存在非零实数，使得 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围: (3)设，且 ，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据给定条件，可得和是方程的根，再利用判别式及复数模列出不等式求解. （2）将问题转化为方程在上有两个实根，利用一元二次方程实根分布求解. （3）确定的关系及的范围，再借助复数的三角形式、二倍角的正弦列式求解. 【详解】（1）依题意，和是方程的根，即方程的根， 由，，得和互为共轭虚数，则，解得， ，，解得， （2）由，得，则方程有两个实根， 由，得方程在上有两个实根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）及，得互为共轭虚数，令， 由，得，， ，则，解得， 因此 ，由，得，， 则，， 所以的取值范围是. 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. (1)若是实数，求的最小值； (2)设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）先由复数的几何意义求出点，然后在由是实数求出，最后由两点间距离公式结合二次函数求出结果即可； （2）设，利用向量相等和垂直的坐标表示，求出的值，进而求出，然后利用向量的夹角公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得， 因为是实数， 又， 所以，则， 所以， 所以的最小值为. （2）依题意，设，因为， 则， 所以，则， 又，所以，可得，则， 所以， 故， 所以与的夹角为. 【点睛】结论点睛：与垂直的坐标表示为. 2．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或 3．（22-23高一下·上海宝山·期末）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的虚部为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据欧拉公式化简，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后结合复数的定义判断即可. 【详解】依题意， 所以， 所以复数的虚部为. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数的虚部是 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，则的共轭复数是 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由可得：， 所以的共轭复数是， 故答案为： 6．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、对勾函数求最值、复数的相等 【分析】根据复数相等得，利用换元法结合对勾函数单调性即可得到的范围. 【详解】， ，令， 根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减， ， 所以的范围为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、复数的分类及辨析、复数的坐标表示 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0，虚部为一个非0常数，即为纯虚数． 故选：D． 8．（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 9．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数； （2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可． 【详解】（1）为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； （2）复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】利用公式法求解一元二次方程可得题意方程的两个虚根为，进而，解之即可求解. 【详解】由关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 得，所以，解得. 故答案为： 11．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 12．（23-24高一下·上海闵行·期末）将复数化为三角形式： ． 【答案】 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可. 【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值， 又 所以. 故答案为：. 1．（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键. 2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为 . 【答案】 【分析】设从而可得即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解即可. 【详解】设 因为,所以, 即 化为 故、对应平面内距离为的点，如下图中, 因为, 所以与、对应点的距离为或 即构成了点共个点， 故的最大值为 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 【答案】(1) (2)以为圆心､半径为1的圆，不含点，理由见解析 (3) 【分析】（1）求得复数，可求辐角主值； （2）法一：设，，可得为纯虚数，可求得，且； 法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数，，与对应的向量垂直，可得对应点在以点的连线为直径的圆上； （3）设，则，设的一个辐角为的一个辐角为，可得，令，设，利用车辅助角公式可求得范围，分类可求得的范围. 【详解】（1）的辐角主值为． （2）设，则 为纯虚数 为纯虚数 ，为纯虚数或0 即，且． 是以为圆心､半径为1的圆，不含点 解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数 为纯虚数或0 与对应的向量垂直， 对应点在以点的连线为直径的圆上，且 综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点 （3）设，则． 设的一个辐角为的一个辐角为． ． 令． 设，即，解得范围为， 若，则的范围是若，则的范围是． 的范围是． 【点睛】方法点睛：与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解. 4．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【详解】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题08 复数 知识点1 复数系与相关概念 概念复数系与相关 虚数单位 虚数单位 复数的定义 形如的数称为一个复数,全体复数构成的集合用字母C表示 （1） ，但并没有 ． （2）复数 i 满足 ， ，以 4 为一个周期循环，即有 ． 对于复数集,我们约定: （1）复数 、 且 ； （2）复数 、、、 且 ． 知识点2 复数的四则运算 复数的四则运算法则 复数的加法 复数的减法 复数的乘法 复数的除法 （1）两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个多项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件 及合并同类项来化简结果． （2）复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 换成 -1 ，再把实数项、含 的项分别合并． （3）两个复数进行除法（除数不为 0 ）运算时，将分子和分母同时乘分母的实数项与含 i 项的相反数的和，然后化简整理得到运算结果．复数的除法运算本质上是化简分式，使 的分母实数化． 复数四则运算满足的运算律 、、 复数加法的交换律 复数加法的结合律 复数乘法的交换律 复数乘法的结合律 复数乘法对加法的分配律 知识点3 复数的整数次幂 （1）对任意复数 与任何正整数 表示 个 相乘． （2）非零复数的负指数幂也是有意义的：当 时，对任何正整数 ；当 时，还约定 ． （3）同底数幂的运算规则同样适用于复数，如： 都是整数 （1）i 的周期性： 所以 i 的周期为 ． （2）复数的乘方类似于实数的乘方，在实数集中的乘方公式在复数集中仍然适用． 知识点4 复数的代数形式 复数的表达方式、 称为它的代数形式，其中的实数和分别叫做该复数的实部（real part）和虚部（imaginary part）.为了行文的简洁与方便，复数也常常用单个字母（常用）来表示，此时它的实部和虚部分别记作与.即，若复数、 ，则.若复数 的虚部为零，即 ，则 是个实数；当时，称为虚数（imaginary number）．特别地，当 但 时， 称为纯虚数（pure imaginary number）．我们已经知道，当且仅当且，此时是一个实数． 实数是虚部等于零的复数，因此，实数集合是复数集合的子集，并且是一个真子集，即 . 复数可以按以下方式分类： 知识点5 复平面及其相关概念 复平面 在平面上建立直角坐标系，以坐标为 的点 表示复数 、 ，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应．这样用来表示复数的平面叫做复平面． 实轴与虚轴 在复平面上， 轴上的点具有 形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把 轴叫做实轴；同理， 轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把 轴叫做虚轴．坐标原点表示实数 0 ． 复平面、实轴、虚轴与复数的对应 （1） 复平面内的点与复数的对应： 点 的横坐标是实部 ，纵坐标是虛部 ，复数 、 R）可用点 表示．如图， （2）象限内的点与一般虚数的对应: ①第一象限的点对应复数的特征:实部为正，且虚部为正;②第二象限的点对应复数的特征:实部为负，且虚部为正;③第三象限的点对应复数的特征:实部为负，且虚部为负;④第四象限的点对应复数的特征:实部为正,且虚为负. 知识点6 复数、点与向量三者间的对应关系 、 、平面向量. 因此，复数 、 、复平面内的点 和平面向量 之间的关系可用如图表示． 为方便起见，常把复数 、 说成点 或向量 ． 共轭复数的“数、形”特征 共轭复数 、 和 、 在复平面上所对应的点 和 关于 轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于 轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭． 特别地，如果 ，即 是实数，则 ，此时 、 在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点． 知识点7 复数的模 定义 复数 、 在复平面上所对应的点 到原点的距离 ，叫做复数 的模，记作 |z| ． (1)计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算. (2)两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小, (3)复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有,并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模 记法 由模的定义可知: 是一个实数,它的模就等于的绝对值） 复数模的几何意义 复数对应复平面上的点到原点的距离 两复数差的模的几何意义 两复数 、 差的模是这两个复数在复平面上对应点 、 之间的距离． 复平面上两点距离公式 设 是复平面上的两个点，其对应的复数为 ，则由平面上两点间距离公式可知 . 知识点8 复数的模的性质 复数的模有如下性质：对 ，在关于除法的性质中需假设 。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）（复数的三角不等式）； （6）（ 为正整数）． （1）一个重要的复数等式： （2）一个重要的复数不等式: 知识点9 实数的平方根 已知 ，则在复数集 内： 当 时，实数 的实平方根为 ； 当 时，实数 的两个平方根为 ，它们是两个共轭的纯虚数 复数的平方根与立方根 1.满足条件 的 叫做 的平方根． 2.满足条件 的 叫借 的立方根． 若记 ，则（1） ；（2） ． 知识点10 实系数一元二次方程 实系数一元二次方程 、、 中的 为根的判别式，那么 （1） 方程有两个不相等的实根 ； （2） 方程有两个相等的实根 ； （3） 方程有一对共轭虚根 ． 在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）： 1.在复数集 中，实系数一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅在实数集上有效。 2.虚系数一元二次方程 、、 至少有一个为虚数）： （1）利用判别式判断实根情况失效； （2）虚根成对定理失效．不过韦达定理仍适用． 知识点11 实系数方程虚根成对定理 实系数一元二次方程的虚根成对出现，即若 是方程的一个根，则 也是方程的一个根． 知识点12 复数的辐角 设复数 对应复平面上的点 ，则以原点为顶点、 轴的正半轴为始边、射线O Z为终边的角 称为复数 的辐角，记作 ．在复数 的所有辐角中，显然，任何一个非零复数 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差 的整数倍． 规定：复数 0 的辐角的大小是任意的值． （1）在复数的三角形式中，辐角 的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是辐角主值，也可以是䇎角主值加 或 ． （2）为了筒便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将 写成辐角主值． 知识点13 复数的三角形式 如果非零复数、在复平面内的对应点为 ，且 为向量 的模， 是以 轴正半轴为始边、射线O Z为终边的一个角，则 ，所以 ，如图所示，从而 . 上式的右边 称为非零复数的三角形式．对应地， 称为复数的代数形式． 知识点14 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 复数乘法运算的三角表示 已知 ，则 ． 这就是说,两个复数相乘,其积的模等于模的积,积的辐角等于辐角的和. 复数三角形式的乘法公式的推广 复数乘法运算的几何意义 两个复数 、 相乘时，如图，先分别画出与 、 对应的向量 、 ，然后把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的s倍,得到向量表示的复数就是积 知识点15 复数除法运算的三角表示及其几何意义 复数除法运算的三角表示 已知 则 这就是说,两个复数相除(除数不为零),其商的模等于模的商商的辐角等于辐角的差. 复数除法运算的几何意义 两个复数 、 相除时，如图，先分别画出与 、 对应的向量 、 ，然后把向量 绕点 按顺时针方向旋转 （如果 ，就要把 绕 点按逆时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 表示的复数就是商 知识点16 三角形式下复数的乘方与开方公式 设 ，则对任何正整数 ，有 ; 的 次方根为 ． （1）三角形式下复数的乘方与开方公式学习的必要性： 计算 ，当正整数 较大时就不方便；而用三角形式就十分筒捷．同理复数的开方亦然． （2）复数开方的几何意义是 的 次方根所对应的复数均匀地分布在圆 上． 题型一、复数代数形式的乘法运算 例1（24-25高一下·上海·期中）已知，则复数为 ． 【答案】/ 【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 1-1．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 1-2．（2023高一下·上海·专题练习）方程有一个根为，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 1-3．（23-24高一下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则 . 题型二、复数范围内方程的根 例2（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在复数范围内，的所有平方根为 ． 【答案】 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立.   综上所述，. 故答案为：. 2-1．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知关于 的方程 (1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围 (2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值 2-2．（24-25高一下·上海·期中）若都是实数，关于的方程有一个根，则 . 2-3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 题型三、复数的除法运算 例3（23-24高一下·上海·期中）已知复数（i为虚数单位），则满足的复数w为 . 【答案】1 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】由于，则得， 故答案为：1 3-1．（23-24高一下·上海·期中）设复数，则复数的虚部为 . 3-2．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数   . 3-3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，则 . 题型四、求复数的实部与虚部 例4（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数是纯虚数，则复数的虚部为 【答案】10 【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 解得，因此， 所以复数的虚部为10. 故答案为：10 4-1．（24-25高一下·上海杨浦·期中）设是虚数单位，若复数满足，则 . 4-2．（24-25高一下·上海·阶段练习）若复数（i表示虚数单位），则 . 4-3．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，则的虚部是 . 题型五、共轭复数的概念及计算 例5（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 5-1．（23-24高一下·上海·期末），若，，则 . 5-2．（24-25高一下·上海·期中）已知i为虚数单位，复数满足，则 ． 5-3．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 题型六、复数的相等 例6（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用复数的除法，结合给定的定义列式求解. 【详解】，依题意，，解得， 所以. 故选：B 6-1．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 6-2．（22-23高一下·上海浦东新·期末）i的所有的三次方根为 . 6-3．（23-24高一下·上海宝山·期末）在复数范围内，的所有平方根为 . 题型七、复数的坐标表示 例7（24-25高一下·上海·期中）在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 7-1．（23-24高一下·上海·期末）在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则 . 7-2．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 7-3．（23-24高一下·上海·阶段练习）若复数在复平面内对应的点为，则满足的复数为 题型八、判断复数对应的点所在的象限 例8（23-24高一下·上海·期中）复数在复平面内对应的点位于第 象限 【答案】四 【分析】利用复数的运算，得到的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点，从而判断出所在象限． 【详解】由题得， 则在复平面内对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第四象限． 故答案为：四. 8-1．（23-24高一下·上海·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于第 象限. 8-2．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8-3．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，若复数满足：，则复数在复平面内所对应的点在第 象限． 题型九、求复数的模 例9（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）若，那么 . 【答案】5 【分析】由模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：5. 9-1．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知复数（是虚数单位），则的值为 . 9-2．（24-25高一下·上海·期中）已知复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 9-3．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 . 题型十、由复数模求参数 例10（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【详解】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 10-1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知为复数，满足，则的值是 10-2．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 10-3．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，． (1)当时，求共轭虚根和； (2)若，求实数a的值． 题型十一、与复数模相关的轨迹（图形)问题 例11（24-25高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出复数z在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ， 所以的取值范围为， 故答案为：. 11-1．（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为 ． 11-2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 11-3．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 题型十二、复数的三角表示 例12（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值. （2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】（1）， 则； （2）设，而，则， 又，于是， 则，解得，，即， 因此，所以． 12-1．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 12-2．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 12-3．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知复数满足，且存在非零实数，使得 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围: (3)设，且 ，求的取值范围. 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. (1)若是实数，求的最小值； (2)设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 2．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 3．（22-23高一下·上海宝山·期末）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的虚部为 . 4．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数的虚部是 . 5．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知，则的共轭复数是 ． 6．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围 . 7．（23-24高一下·上海·期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 8．（24-25高一下·上海·期中）复数，在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. (1)求复数； (2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 10．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，若，则实数的值为 ． 11．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·上海闵行·期末）将复数化为三角形式： ． 1．（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足． (1)若，求复数的辐角主值； (2)若，复数满足为实数．则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由． (3)已知复平面上点对应的复数分别为．记复数的辐角主值为．求的取值范围． 4．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$