第09讲 有理数的除法（思维导图+新课指引+2知识点+9考点+过关检测）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

第09讲 有理数的除法 1.掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算； 2.在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想； 3.能利用有理数的除法解决生活中的实际问题； 4.熟练掌握有理数混合(加减乘除)运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯. 【新课指引】 【思考 1】某市 2025 年春节一周的最低气温的平均值是多少? 【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算某市2025年春节一周的最低气温的平均值吗? 知识点一 有理数的除法 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3）有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 4）有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算； 【易错点】若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数；若除数是和的形式，就不能把除数分配给“和”中的每一个数. 即， 1．（2025·湖南·模拟预测）下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术 克． 4．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 5．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 知识点二 有理数的四则混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 【注意事项】①由除法变乘法，不要忘记颠倒除式的分子和分母，也不要出现符号错误； ②运用运算律不要出现符号问题或者漏乘倒数. 1．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西钦州·期末）规定一种新运算：．计算的结果为（   ） A． B． C．19 D．29 4．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）定义新运算：，计算 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）直接写出得数． ，    ，     ，   ， ，    ，     ，   ， ，   ， 考点一： 有理数除法法则的辨析 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 2．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 3．（24-25六年级上·山东淄博·期中）两个不为0的有理数相除，若交换被除数与除数的位置，它们的商不变，则这两个有理数（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．绝对值相等 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）两个互为相反数的有理数相除，其结果是（    ） A．商为或无意义 B．商为0 C．商为负数 D．商为正数 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于D．两数相除，商一定小于被除数 考点二： 有理数的除法运算 1．（2025·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 3．（2025七年级下·全国·专题练习）因为，所以（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）；②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 1．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期末）在○里填上“”、“”或“”． ①○    ②○    ③○    ④○ 圈里依次填( )( )( )( ) 5．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）化简： (1)； (2) 考点三： 有理数乘除法的混合运算 1．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）与“”相等的算式是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）在等式中，“□”处表示的数是 ． 运算步骤：(1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）a，b，c均为负数，则 0．（填“>”、“<”或“=”） 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 考点四： 有理数除法的简算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算. 1．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用合适的方法进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题：(1)方方同学计算：的过程如下：原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 考点五： 有理数除法的应用 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“智慧农业”高科技种植技术可以利用设备收集大气、土壤、作物、病虫等多方面的数据，来随时指导农业生产，刘叔叔家的葡萄园今年引进了该技术，今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，刘叔叔家去年葡萄的产量是 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 考点六： 有理数四则运算的实际应用 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 2．（2025·浙江·模拟预测）小明的手机上步行记录显示：10012步，估计他行走10012步的距离是（　　） A．0.7公里 B．7公里 C．70公里 D．700公里 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． (1)若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； (2)若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）明明家原来每天用电度，由于采取了节电措施，现在每天比原来节约，他家原来150天用的电，现在可以用（    ）天 A．152 B．160 C．168 D．178 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，请帮周老师选择到哪个店去买比较合算？（   ） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送2个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元． A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 3．（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 4．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 考点七： 利用倒数法求解有理数的除法 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）下面是两位同学计算的不同解法． 小英的解法： 小李的解法： 原式的倒数为……第一步 ……第二步 ……第三步           第四步 ．……第五步 所以． 分析这两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)这两位同学的解法中，________同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是________________； (3)用一种你喜欢的方法计算． 2．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值. 1．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 考点八： 与有理数乘除混合运算有关的新定义问题 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为（    ） A．10 B．6 C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）新定义定义“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2024 B．2023 C． D． 2．（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 考点九： 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）化简： ．（其中） 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）已知． (1)直接写出m所有可能取值； (2)若，，，求的值． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 2．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，若，则 ． 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 1．（24-25七年级下·河南·自主招生）下列各式中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）（   ） A．2 B． C．1 D．4 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与都是奇数，则是（    ） A．奇数 B．偶数 C．不是奇数 D．不是偶数 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）某服装店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是（  ） A．盈利元3元 B．亏损3元 C．亏损10元 D．不盈不亏 8．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 10．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025七年级下·全国·专题练习）两个数相除商是，如果把被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位，那么商是( )． 12．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）市气象统计资料表明，海拔每增加，气温就降低大约．现在地面气温是，则高空的气温大约是 度． 13．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 14．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）某工厂赶制一批亚冬会纪念品，甲车间单独做需40天完成，乙车间单独做需50天完成，甲车间先单独做4天，然后甲、乙两车间再合作 天完成这项工作． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期中）已知四个有理数a，b，c，d满足，则的值等于 ． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)． 17．（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 18．（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 有理数的除法 1.掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算； 2.在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想； 3.能利用有理数的除法解决生活中的实际问题； 4.熟练掌握有理数混合(加减乘除)运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯. 【新课指引】 【思考 1】某市 2025 年春节一周的最低气温的平均值是多少? 【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算某市2025年春节一周的最低气温的平均值吗? 知识点一 有理数的除法 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3）有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 4）有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算； 【易错点】若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数；若除数是和的形式，就不能把除数分配给“和”中的每一个数. 即， 1．（2025·湖南·模拟预测）下列各式的值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加减乘除运算，有理数比较大小，算出每个选项的值，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴值最大的是， 故选：C． 2．（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 3．（24-25六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术 克． 【答案】63 【分析】本题考查了有理数的乘除实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先算出一副“芩桂术甘汤”药方的重量，由总重量可得有几副，再乘以每副白术的重量即可． 【详解】解：（克）， 故答案为：63． 4．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的加法．根据题意得出，即可求出a的值，然后写出正确算式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以， 故答案为：． 知识点二 有理数的四则混合运算 运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 【注意事项】①由除法变乘法，不要忘记颠倒除式的分子和分母，也不要出现符号错误； ②运用运算律不要出现符号问题或者漏乘倒数. 1．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·广西钦州·期末）规定一种新运算：．计算的结果为（   ） A． B． C．19 D．29 【答案】C 【分析】本题考查了新运算和有理数的混合运算．根据新运算的定义代入直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）定义新运算：，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）直接写出得数． ，    ，     ，   ， ，    ，     ，   ， ，   ， 【答案】；；；；；；；；；. 【分析】本题考查的是有理数的加法，减法，乘法，除法运算，以及混合运算；根据相应的运算法则运算顺序进行计算即可. 【详解】解： ；    ；    ；    ； ；     ；     ；    ； ；   . 故答案为：；；；；；；；；；. 考点一： 有理数除法法则的辨析 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个有理数相除，“两数相除，同号得正，异号得负”．根据有理数除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数同号． 故选：D． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：． 根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案． 【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选：A． 3．（24-25六年级上·山东淄博·期中）两个不为0的有理数相除，若交换被除数与除数的位置，它们的商不变，则这两个有理数（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．绝对值相等 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键．设这两个数分别为a，b，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设这两个数分别为a，b， 依题意可得：， 化简得：， ∴或， 即， 故选：D． 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 1．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）两个互为相反数的有理数相除，其结果是（    ） A．商为或无意义 B．商为0 C．商为负数 D．商为正数 【答案】A 【分析】分这个数是0和不是0两种情况，根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：①若这个数是0，则它的相反数也是0， ∵0作除数无意义， ∴这两个数的商不存在； ②若这个数不是0，则这个数与它的相反数绝对值相等， 所以，这两个数的商为，是负数； 综上所述，商为或无意义． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的除法，相反数的定义，熟记运算法则是解题的关键，要注意0的情况． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【答案】D 【分析】本题考查相反数、绝对值、有理数的除法等知识，根据“两个数的商为”逐项判断即可． 【详解】解：A．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，故正确； B．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，故正确； C．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，∴这两个数的绝对值一定相等，故正确； D．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，∴这两个数不可能相等，故不正确． 故选D． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于D．两数相除，商一定小于被除数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握法则是解题的关键．根据除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 0除以任何一个不等于0的数都等于0，原说法错误，不符合题意； B. 1除以一个不为0的数就等于乘这个数的倒数，原说法错误，不符合题意； C. 一个不等于0的有理数除以它的相反数等于，说法正确，符合题意； D. 两数相除，商不一定小于被除数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 考点二： 有理数的除法运算 1．（2025·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，，，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，理解中点和数轴的定义是解答关键． 根据中点求出点表示的数，再利用数轴的定义求解． 【详解】是线段的中点， 点表示的数是， 原点位于线段上，且靠近点． 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）因为，所以（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查有理数的除法运算，根据题意找出规律是解题关键． 根据题意得出，被除数缩小10倍，除数缩小10倍，则商不变，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数字6、、5、1、中抽取两个数相除，所得的商最小是 ． 【答案】 【分析】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．取异号两数相除，商绝对值较大． 【详解】解：∵， ∴商最小的是：． 故答案为：． 1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）；②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 1．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值、有理数的除法，根据绝对值、有理数的除法法则求解即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意． B．，故B不符合题意． C．，故C不符合题意． D．，故D符合题意． 故选：D． 4．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期末）在○里填上“”、“”或“”． ①○    ②○    ③○    ④○ 圈里依次填( )( )( )( ) 【答案】 【分析】本题考查分数比较大小，有理数的乘除运算．先根据有理数的乘除法则计算，再比较分数大小． 【详解】解：①； ②； ③，，； ④，，； 故答案为：，，，． 5．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分数的化简，有理数的除法，熟练掌握分数的化简法则是解题的关键； （1）根据分数化简，计算即可求解； （2）根据分数化简，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 考点三： 有理数乘除法的混合运算 1．（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）与“”相等的算式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数除法，乘法的混合运算法则解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， ，不符合题意； ，不符合题意； ，不符合题意； ，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）在等式中，“□”处表示的数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出， 根据题意可得，据此即可求出“□”处表示的数． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 运算步骤：(1)将小数化为分数，带分数化为假分数，将所有的除法化为乘法. (2)根据负因数的个数确定积的符号. (3)利用乘法运算律简化运算，并求出最后结果. 1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）a，b，c均为负数，则 0．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算．根据有理数的乘除法法则即可得． 【详解】解：∵a，b，c均为负数， ∴， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)12 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键． （1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可； （3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点四： 有理数除法的简算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，运用有理数的加减运算法则，乘法分配律，除法法则，简便计算的方法进行计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把小数化为分数，分母相同的结合起来，运用分数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律，把分别乘以括号中的每一项，注意符号不能出错，不能少乘，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）将变形，再根据除以一个非零数，等于乘以这个数的倒数，注意符号不能出错，最后运用有理数的加减运算法则计算即可； （4）运用简便计算方法，提取公因数后，先算括号里的，再算乘法，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算. 1．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)13 (4)2 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）化除法为乘法，然后运用乘法交换律进行计算即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）先算除法，再运用减法的性质进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）用合适的方法进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数运算律． （1）将转化为，再利用除法法则计算即可求解； （2）逆用乘法分配律，简便运算计算即可求解； （3）除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． 解答下列问题： (1)方方同学计算：的过程如下： 原式． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ①； ②． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)①；②99900 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）方方同学的计算过程不正确，根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可． （2）① 把化成求解即可． ②变形后运用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：方方同学的计算过程不正确， 正确的计算过程； （2）解：①； ② ． 考点五： 有理数除法的应用 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 2．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一辆汽车 小时行千米，照这样的速度小时行 千米； 【答案】60 【分析】本题考查了有理数的除法，行程问题，理解行程问题的数量关系，掌握有理数的除法运算是关键． 根据行程中的数量关系可得汽车的速度为（千米/小时），由此即可求解． 【详解】解：一辆汽车 小时行千米， ∴汽车的速度为（千米/小时）， ∴（千米）， 故答案为：60 ． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“智慧农业”高科技种植技术可以利用设备收集大气、土壤、作物、病虫等多方面的数据，来随时指导农业生产，刘叔叔家的葡萄园今年引进了该技术，今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，刘叔叔家去年葡萄的产量是 ． 【答案】6400 【分析】本题考查了有理数除法的运用，理解增产的含义，正确运用有理数除法运算是关键． 根据今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，由此计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6400 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇时离A站有90千米，然后各自按原来速度继续行驶，分别到达对方出发站后立即沿原路返回．第二次相遇时离A站的距离占A、B两站间全长的．求A、B两站间的路程． 【答案】两站间的路程是200千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算．根据第一次相遇在距A地90千米的地方，可知甲乙每行驶一个总路程，一辆汽车就行了：（千米），第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方，据此列式计算求解即可． 【详解】解：（千米）， 第二次在全程的地方相遇，说明甲在全程的地方， 270米包含甲走了1个全程和1个的全程， 则270米对应的全程百分率为， 即1个全程为（千米）． 答：两站间的路程是200千米． 3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【答案】A 【分析】本题考查百分数的应用，解题的关键是先求出飞机票原价，再算出超重重量，最后根据超重行李费的计算规则求出应付行李费． 先根据机票折扣和折后价格求出原价，再确定超重重量，最后依据超重部分每千克的收费标准算出应付行李费． 【详解】解：飞机票原价为元， 超重的重量为千克， 每千克超重行李收费为， 超重10千克，所以应付行李费为元． 故选：A． 考点六： 有理数四则运算的实际应用 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了分数的应用，如果每天加工个，需要天完成，可求出总零件数是个，如果每天加工个，需要天，计算即可． 【详解】解： （天） 答：需要20天能完成任务． 故选：B． 2．（2025·浙江·模拟预测）小明的手机上步行记录显示：10012步，估计他行走10012步的距离是（　　） A．0.7公里 B．7公里 C．70公里 D．700公里 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．先根据生活常识、结合四个选项可得按每步米来估算，再根据1公里等于1000米计算即可得． 【详解】解：∵通常情况下，成年人步行每步约为米， ∴观察四个选项可知，是按每步米来估算的， ∴估计他行走10012步的距离是（公里）， 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 4．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． (1)若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； (2)若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据每经过水平距离高度上升列式计算即可； （2）根据每垂直升高用时列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：B点的海拔为； （2）解：， 答：从A点到C点所用的时间为． 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）明明家原来每天用电度，由于采取了节电措施，现在每天比原来节约，他家原来150天用的电，现在可以用（    ）天 A．152 B．160 C．168 D．178 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先求出原来150天的总用电量，再求出现在每天的用电量，再用总电量除以现在每天的用电量即可得到答案． 【详解】解；天， 所以他家原来150天用的电，现在可以用160天， 故选：B． 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，请帮周老师选择到哪个店去买比较合算？（   ） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送2个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元． A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意分别求出三个店购买所需费用，即可得到答案． 【详解】解：甲店购买所需费用：元； 乙店购买所需费用：元； ∵ ∴丙店购买所需费用：； ， 即周老师到乙店去买比较合算， 故选：B． 3．（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， （米）， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知A、B、C三站是长途客车在一条笔直公路同侧停靠的三个站点，A、B两站相距160千米，A、C两站的距离是A、B两站的距离的，一辆长途客车从A站出发沿公路开往B站，到达B站停靠20分钟后沿公路返回C站．若长途客车的行驶速度为60千米/时，则从A站出发到C站停止一共用了 小时． 【答案】5或 【分析】本题考查了分数混合运算的应用，读懂题意，列式计算是解题的关键．分两种情况：①C在A、B两站之间；②A在C、B两站之间，列式求解即可． 【详解】①当C在A、B两站之间时， （小时）； ②当A在C、B两站之间时， =（小时）； ∴从A站出发到C站停止一共用了5或小时， 故答案为：5或． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 【答案】快车开到甲城还需要小时 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：15分钟小时， （时） 答：快车开到甲城还需要小时． 考点七： 利用倒数法求解有理数的除法 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）下面是两位同学计算的不同解法． 小英的解法： 小李的解法： 原式的倒数为……第一步 ……第二步 ……第三步           第四步 ．……第五步 所以． 分析这两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)这两位同学的解法中，________同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是________________； (3)用一种你喜欢的方法计算． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配 (3) 【分析】根据有理数的减法运算，有理数的除法运算，倒数判断求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可； （3）根据题意，计算的倒数，进而可求的值． 【详解】（1）解：由题意知，小李同学的解答是正确的， 故答案为：小李； （2）解：由题意知，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； 故答案为：乘法分配律； （3）解：由题意知，原式的倒数为 ． ∴． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，有理数的除法运算，乘法运算律，倒数等知识．熟练掌握有理数的减法运算，有理数的除法运算，乘法运算律，倒数是解题的关键． 2．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值. 1．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 2．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 考点八： 与有理数乘除混合运算有关的新定义问题 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为（    ） A．10 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的新运算法则解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，正确理解新运算的法则是解题的关键. 3．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·新定义若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）新定义定义“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2024 B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，新定义运算的含义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意，列出，然后分子与分母约分，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，，…， ∴． 故选：A 2．（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 考点九： 有理数四则运算中的分类讨论思想的运用 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）化简： ．（其中） 【答案】2或0 【分析】本题考查了化简绝对值，除法法则等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴； 当时， ∵ ∴； 综上，的值为2或0， 故答案为：2或0． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）已知． (1)直接写出m所有可能取值； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)m的值为3或1或或； (2)． 【分析】本题考查了绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键． （1）分情况讨论，①同正；②同负；③两正一负；④一正两负，利用绝对值的性质，求解即可； （2）由题意得到，推出互为相反数，则． 【详解】（1）解：分情况讨论， ①同正时，； ②同负时，； ③两正一负时，不妨设为正，为负，； ④一正两负时，不妨设为负，为正，； 综上，m的值为3或1或或； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴互为相反数， ∴． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，化简绝对值，根据乘法计算法则可得a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个，再讨论奇数的个数，结合去绝对值的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个， 当负数的个数为1个时，不妨设a是负数，b、c是正数， ∴， 当负数的个数为3个时， ∴； 综上所述，的值为， 故答案为：． 2．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据即可求解； 【详解】解：∵， ①当，则； ②当，则， 故答案为：或 3．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）若且，那么的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及代数式的化简，需掌握互为相反数的两数(除外) 的商是，相等两数的商为． （1）由给出条件和绝对值的性质，易得结论； （2）由条件先确定的正负, 再化简绝对值，计算代数式的值． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为： ； （2） , ∴两正一负， ∴ ； 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南·自主招生）下列各式中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，有理数的大小比较，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算各选项的结果，再比较即可 【详解】解：，，，， ∵， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川泸州·开学考试）已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减法，有理数的除法，数轴，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 由数轴得，，，，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴得，，，， ，故①不正确； ，故②不正确； ，故③正确； ，故④正确； 故选D． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先把除法变成乘法，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与都是奇数，则是（    ） A．奇数 B．偶数 C．不是奇数 D．不是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法运算法则，分m是n的整数倍，m不是n的整数倍，两种情况讨论，利用有理数除法法则法计算即可． 【详解】解：都是奇数， 当m是n的整数倍时，一是奇数， 当m不是n的整数倍时，既不是奇数也不是偶数， 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 7．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）某服装店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是（  ） A．盈利元3元 B．亏损3元 C．亏损10元 D．不盈不亏 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的运用，理解数量关系，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据题意，分别算出盈利、亏损衣服的成本，由此即可求解． 【详解】解：盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元， ∴， ∴亏损了3元， 故选：B ． 8．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 9．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（    ） A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除，利用有理数的运算法则进行运算即可得出结论． 【详解】解：A、因为，所以A选项符合题意； B、因为，所以B选项不符合题意； C、因为，所以C选项不符合题意； D、因为，所以D选项不符合题意． 故选：A． 10．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①错误； ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， ，，， ，， ，故④正确； 故选：B． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）两个数相除商是，如果把被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位，那么商是( )． 【答案】638 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位机把被除数扩大到原来的10倍，把除数缩小到原来的，据此可得商要扩大到原来的100倍，据此可得答案． 【详解】解：两个数相除商是，如果把被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位，那么商是638， 故答案为：638． 12．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）市气象统计资料表明，海拔每增加，气温就降低大约．现在地面气温是，则高空的气温大约是 度． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是熟知有理数混合运算的法则． 根据题意列出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）对非零有理数，定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据新定义得到，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 14．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）某工厂赶制一批亚冬会纪念品，甲车间单独做需40天完成，乙车间单独做需50天完成，甲车间先单独做4天，然后甲、乙两车间再合作 天完成这项工作． 【答案】20 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．工程问题中常用的关系式有：工作时间工作总量工作效率． 把总工作量看作“1”，用甲队先做4天后剩余的工作量除以甲乙合作的工作效率即可． 【详解】解： ， 答：甲车间先单独做4天，然后甲、乙两车间再合作20天完成这项工作． 故答案为：20． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期中）已知四个有理数a，b，c，d满足，则的值等于 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键． 根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，然后分情况求解即可． 【详解】解：根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个， 则原式或． 故答案为：2或． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 17．（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】(1)万辆 (2) 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出的电量的里程即可． 【详解】（1）解： （万辆）． 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： ． 答：该汽车充电前还能行驶． 18．（24-25七年级上·河南鹤壁·期末）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)49 (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400 千米 (3)小明家换成新能源汽车后这 7 天的行驶费用比原来节省 178 元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据表格中的数据列出算式进行计算即可； （2）根据表格中数据，结合以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“”，刚好的记为“0”列出算式进行计算即可； （3）分别算出原来需要的费用和现在需要的费用，然后相减即可． 【详解】（1）解：， 答：这7天里路程最多的一天比最少的一天多走； （2）解： （千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了 400 千米． （3）解： （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这 7 天的行驶费用比原来节省 178 元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$