专题2.2.2有理数的除法（知识点总结+8大题型举一反三）易错重难点培优同步讲义+专练2025-2026学年七年级上册（人教版2024）

2.2.2有理数的除法 【题型1】有理数除法法则的辨析 1. 知识点 - 有理数除法的两个核心法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数（字母表示：，其中）；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0。 - 有理数除法与乘法的关系：除法是乘法的逆运算，本质是将除法转化为乘法（乘除数的倒数）进行计算。 2. 考点 - 判断关于有理数除法法则的表述是否正确（如“两数相除，商的符号由被除数符号决定”这类错误表述的辨析）。 - 根据除法法则判断两个数相除的商的符号（如已知两数符号，判断商为正或负）。 3. 易错点 - 忽略“除数不能为0”的限制条件，误认为“0除以任何数都得0”。 - 混淆除法法则与乘法法则，如“异号相除得正”“同号相除得负”的符号判断错误。 - 误将“除以一个数等于乘这个数的倒数”中的“倒数”记为“相反数”，导致运算方向错误。 4. 解题技巧 - 辨析法则表述时，紧扣“除数非0”“符号规则（同正异负） ”“绝对值相除/乘倒数”三个核心要素，逐一验证选项。 - 判断商的符号时，只需关注被除数与除数的符号（无需计算绝对值），直接套用“同号得正，异号得负”。 - 遇到不确定的选项，可举反例验证（如判断“两个数相除，商一定小于被除数”时，举，商大于被除数，即可证明该表述错误）。 【例题1】．（2024-2025•平利县校级期中）计算1时，除法变为乘法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将带分数化为假分数，然后再依据除法法则进行变形即可． 【解答】解：原式＝1÷（）＝1×（）． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•镇原县期中）计算0÷（﹣2024）的结果是（　　） A．0 B．2024 C．﹣2024 D． 【答案】A 【分析】根据“零除以零以外的任何数都得零”解答即可． 【解答】解：根据“零除以零以外的任何数都得零”可知： 0÷（﹣2024）＝0， 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握运算法则是关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•商水县校级期中）下列说法正确的是（　　） A．零除以任何数都等于零 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1 D．两数相除，商一定大于被除数 【答案】C 【分析】根据有理数的除法，相反数的定义，倒数的定义对各选项分析判断后，利用排除法得到答案． 【解答】解：A、应为零除以任何不是零的数都等于零，故本选项错误； B、0不能做除数，题中没有限定，故本选项错误； C、一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1，故本选项正确； D、两数相除，商不一定小于被除数，例如（﹣1）÷（﹣1）＝1，商是1，大于被除数﹣1，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，倒数以及有理数的除法，熟记概念是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（　　） A．﹣7÷7＝1 B． C．﹣36÷（﹣9）＝4 D． 【答案】C 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误； B、，故计算错误； C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确； D、，故计算错误； 故选：C． 【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 【题型2】有理数乘除混合运算 1. 知识点 - 同级运算顺序：有理数的乘法和除法属于同级运算，应从左到右依次计算，有括号的先算括号内的。 - 乘除混合运算的转化：将所有除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），统一为乘法运算后，再按有理数乘法法则计算（先定符号，再算绝对值的积）。 - 符号规则：多个非0有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负。 2. 考点 - 计算不含括号的乘除混合运算（如、）。 - 计算含括号的乘除混合运算（如、）。 3. 易错点 - 运算顺序错误：未从左到右计算，误将“乘除混合”当作“先乘后除”或“先除后乘”（如误算为，正确应为）。 - 转化除法时符号错误：如误转化为是正确的，但误转化为，忽略除数的负号。 - 多个负因数符号判断错误：如中，负因数个数为4（偶数），积应为正，误判为负。 4. 解题技巧 - 统一转化法：将所有除法转化为乘法（除以（）→ 乘 ），使算式变为“全乘法”形式（如）。 - 符号优先判断：转化为全乘法后，先数负因数的个数，确定积的符号（奇负偶正），再计算所有绝对值的积。 - 有括号时，先算括号内的乘除（同样转化为乘法），再算括号外的（如）。 【例题2】．（2024-2025•肇源县期末）计算下面各题． ； ； ． 【答案】；；． 【分析】根据有理数的乘除法则计算即可． 【解答】解：； ； ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•曲阳县期末）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　二　 步，错误原因是 　没有按同级运算从左至右运算　 ； 第二处是第 　三　 步，错误原因是 　符号弄错　 ； （2）请写出正确的结果 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式＝﹣15÷（）×6 ＝156 ． 故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．三，符号弄错． （2）． 【点评】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【变式题2-2】．（2024-2025•崇明区期末）计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•龙马潭区校级期中）计算下列各题： （1）（﹣1）×（）÷（﹣2）； （2）﹣1÷（）（﹣5）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则，从左向右依次计算，即可得出答案； （2）解法同（1）． 【解答】解：（1）（﹣1）×（）÷（﹣2） ； （2））﹣1÷（）（﹣5） ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘除，熟练掌握有理数的乘除法则进行计算是解决本题的关键． 【题型3】有理数除法的简便计算 1. 知识点 - 乘法分配律的逆用：若除法算式中除数为单一数，被除数为多个数的和/差，可将除法转化为乘法后，逆用分配律（，其中）。 - 倒数法简算：对于分母为多个分数和/差的除法（如），可先求原式的倒数（），用分配律计算后再取倒数。 - 凑整法：利用“互为倒数的两数乘积为1”凑整（如，），简化计算（如）。 2. 考点 - 利用分配律简算（如计算）。 - 利用倒数法简算复杂除法（如计算）。 - 凑整简算（如计算）。 3. 易错点 - 滥用分配律：除法没有分配律，不能将“”转化为“”（如误算为，正确应为）。 - 倒数法简算时，忘记最后取倒数（如计算，先求倒数得，误将作为原式结果，正确应为的倒数，此处需注意符号）。 - 凑整时符号错误：如误算为1，忽略负号，正确应为。 4. 解题技巧 - 分配律适用条件：仅当“除数是单一数，被除数是和/差”时可用（如），反之不可用。 - 倒数法步骤：①设原式为；②求（即“除数÷ 被除数”），用分配律计算的值；③（注意符号）。 - 凑整关键：牢记常见凑整组合（如与、与、与），计算时先观察是否有此类数，优先结合计算。 【例题3】．（2024-2025•微山县校级月考）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据有理数的加法，即可解答； （2）根据有理数的除法，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝[]+[（）+（）] ＝0+（﹣1） ． （2）原式＝（﹣49）÷7＝﹣77． 【点评】本题考查了有理数的加法和除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法和加法法则． 【变式题3-1】．用简便方法计算： （1） （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）逆运用乘法分配律，提取1.53，并把分数化为小数，然后进行计算即可得解； （2）把带分数化为假分数，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法运算，然后利用乘法分配律计算即可得解． 【解答】解：（1）﹣1.53×0.75+1.531.53， ＝1.53×（﹣0.75+0.5+0.8）， ＝1.53×（1.3﹣0.75）， ＝1.53×0.55， ＝0.8415； （2）（231）÷（﹣1）， ＝（）×（）， （）（）（）， ＝﹣2+3， ＝3﹣3， ． 【点评】本题考查了有理数的除法与乘法运算，注意利用乘法分配律使运算更加简便． 【变式题3-2】．怎样算简便就怎样算 （1）23 （2）25%0.75． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用有理数乘除法的法则求解即可， （2）利用有理数乘除法的法则求解即可． 【解答】解：（1）23 ＝23， ＝3+1， ＝4， （2）25%0.75． ， ＝1﹣1， ＝0． 【点评】本题主要考查了有理数的除法及有理数的乘法，解题的关键是熟记有理数乘除法的法则． 【变式题3-3】．（2024-2025•鄂托克旗期末）小华在课外书中看到这样一道题： 计算：（）+（）． 她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题 （1）前后两部分之间存在着什么关系？ （2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分． （3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果． （4）根据以上分析，求出原式的结果． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据倒数的定义可知：（）与（）互为倒数； （2）利用乘法的分配律可求得（）的值； （3）根据倒数的定义求解即可； （4）最后利用加法法则求解即可． 【解答】解：（1）前后两部分互为倒数； （2）先计算后一部分比较方便． （）（）×36＝9+3﹣14﹣1＝﹣3； （3）因为前后两部分互为倒数，所以（）； （4）根据以上分析，可知原式3． 【点评】本题主要考查的是有理数的乘除运算，发现（）与（）互为倒数是解题的关键． 【题型4】有理数除法的简单实际应用 1. 知识点 - 除法的实际意义：①求“单位量”（如速度=路程÷ 时间，单位时间温度变化量=温度变化总量÷ 时间）；②求“数量”（如个数=总数量÷ 单量）。 - 有理数在实际问题中的符号意义：如路程、时间通常为正，温度上升为正、下降为负，速度方向与规定正方向一致为正、相反为负。 2. 考点 - 行程问题：已知路程和时间，求速度（如一辆车行驶千米（负号表示向西），用时3小时，求速度）。 - 温度问题：已知温度变化总量和时间，求单位时间温度变化（如某地温度2小时下降，求每小时温度变化量）。 - 分配问题：已知总量和份数，求每份量（如将千克大米平均分给3户人家，求每户分得的质量）。 3. 易错点 - 忽略实际问题中符号的意义，仅计算绝对值（如速度为负表示方向，误将千米/小时写成40千米/小时，遗漏方向）。 - 单位不统一：如时间单位“分钟”与“小时”未统一，直接计算（如1小时行驶60千米，求每分钟行驶速度，未将1小时化为60分钟）。 - 数量关系搞错：如误将“速度=时间÷ 路程”作为公式，导致计算错误。 4. 解题技巧 - 第一步：明确题目中的“正方向”（如行程问题中规定向东为正，温度问题中规定上升为正），确定已知量的符号。 - 第二步：列出正确的数量关系式（如速度=路程÷ 时间，单位时间温度变化=总温度变化÷ 时间）。 - 第三步：代入数据计算，结果的符号表示“方向/变化趋势”，绝对值表示“大小”，需完整表述（如速度为千米/小时，表示向西行驶，速度大小为40千米/小时）。 【例题4】．（2024-2025•瑶海区期中）某旅游景点某天12：00的气温是5℃，从午后开始，气温持续下降，夜间测得某时刻的气温已经下降到﹣1℃，如果平均每4h气温下降3℃，则此刻的时间是几点？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可以求得此刻的时间是几点，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 12+[5﹣（﹣1）]÷（3÷4）＝12+8＝20， 答：此刻的时间是20：00． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式题4-1】．（2024-2025•香洲区期中）可可在计算﹣3+时，由于不小心，后面的加数被墨水污染． （1）可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将﹣3后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为﹣2，请求出被墨水污染的这个数； （2）请你正确计算此道题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意列出式子进行计算即可； （2）根据（1）得到的结果进行相加计算即可． 【解答】解：（1）由题可知：﹣3÷（﹣2）， （2）﹣3． 【点评】本题考查有理数的除法与有理数的加法，能够根据题意算出原来的数是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•灌云县月考）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数，所以选﹣3和﹣5； （2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，所以就要选1和﹣5，且﹣5为分母； 【解答】解：（1）抽﹣3和﹣5， 最大值为：﹣3×（﹣5）＝15； （2）抽1和﹣5， 最小值为：（﹣5）÷1＝﹣5； 【点评】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力． 【变式题4-3】．（2024-2025•柳州期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，因为原点表示的数是0，所以|a|＝|a﹣0|，由此可知，|7﹣（﹣2）|表示7与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与﹣2的两点之间的距离，所以|7﹣（﹣2）|＝9； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为a cm木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为17，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为5． （1）由此可得，CD＝ 　12　 cm，a的值为 　4　 cm． （2）图中点A所表示的数是 　9　 ，点B所表示的数是 　13　 ． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闪，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4； （2）9，13； （3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒MN，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为﹣35．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109， ∴可知奶奶比小华大[109﹣（﹣35）]÷3＝48（岁）． ﹣35+48＝13，13+48＝61． ∴点A对应的数为13，点B对应的数为61． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒MN，再对应求值即可 【解答】解：（1）∵5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ∴CD＝17﹣5＝12（cm），a的值为12÷3＝4（cm）； 故答案为：12，4； （2）∵AC＝AB＝BD＝4cm，C所表示的数是5， ∴点A所表示的数是5+4＝9，点B所表示的数是9+4＝13， 故答案为：9，13； （3）点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒MN，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为﹣35．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109， ∴奶奶比小华大[109﹣（﹣35）]÷3＝48（岁）． ﹣35+48＝13，13+48＝61． ∴点A对应的数为13，点B对应的数为61． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键． 【题型5】利用倒数法解决分母含多个分数的除法（提升） 1. 知识点 - 倒数的性质：若（，），则，即原式的倒数等于除数除以被除数。 - 乘法分配律的应用：当除数是多个分数的和/差，被除数是单一数时，直接计算繁琐，可先求原式的倒数（此时除数变为单一数，被除数变为多个分数的和/差），用分配律计算倒数的值，再取倒数得到原式结果。 - 复杂分数的化简：如，可看作“1除以”，用倒数法简化计算。 2. 考点 - 计算分母为多个分数和/差的除法（如计算）。 - 化简复杂分数（如化简）。 3. 易错点 - 倒数法步骤遗漏：求完倒数的结果后，忘记取倒数，直接将倒数的结果作为原式的结果（如计算，先求倒数，误将作为原式结果，正确应为6）。 - 分配律应用时符号错误：如计算，误算为，正确应为（此处符号正确，但需注意每一项的符号）。 - 分母化简错误：如误算为是正确的，但误算为，忽略符号（正确应为）。 4. 解题技巧 - 标准步骤：①设原式为（如）；②求：；③用分配律计算：；④求：。 - 符号检查：每一步计算后检查符号（如负号的个数、乘法分配律中每一项的符号），确保符号无误。 - 验证结果：将原式结果代入，与除数相乘，看是否等于被除数（如，除数为，则除数，等于被除数，说明结果正确）。 【例题5】．（2024-2025•新野县期中）我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为20+3﹣5+12＝﹣10． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【解答】解：因为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14； 所以． 【点评】考查了有理数的除法，解题的关键是理解a÷b与b÷a的结果互为倒数关系． 【变式题5-1】．（2024-2025•邹平市期中）阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：[（）2×（﹣6）]÷（） ＝[（﹣6）]×（﹣42） ＝﹣21+14﹣30+112 ＝75， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•乌当区期中）阅读下列材料： 计算：（）． 解法一：原式3412． 解法二：原式（）6． 解法三：原式的倒数＝（）（）×24242424＝4． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法　一　 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：（）÷（）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）我认为解法一是错误的； （2）选择解法三求出值即可． 【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•大冶市期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 （1）你觉得　小红　 的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【答案】见试题解答内容 【分析】两种解法都正确，第一种是一般的解法，按照有理数混合运算的顺序进行计算．第二种先求出代数式的倒数，再求原数，较为简便，所以第二种好． 【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分） （2）原式的倒数为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14， 故原式． 【点评】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题． 【题型6】数轴与有理数除法的综合应用（提升） 1. 知识点 - 数轴的核心性质：数轴上的点与有理数一一对应，右边的点表示的数大于左边的点表示的数；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。 - 数轴与符号的关系：若点在原点左侧，则表示的数；若点在原点右侧，则表示的数；若在左侧，则。 - 综合运算：根据数轴上点的位置确定字母的符号（正、负）和绝对值的大小关系，再代入除法算式计算。 2. 考点 - 根据数轴判断除法结果的符号（如数轴上在原点左侧，在原点右侧，判断的符号）。 - 根据数轴求除法结果（如数轴上表示，表示，求表示的数除以表示的数的结果）。 - 结合数轴与绝对值的除法计算（如数轴上，在原点左侧，表示的数是的相反数，求）。 3. 易错点 - 数轴上点的符号判断错误：如将原点左侧的点误判为正数，导致的错误（正确应为）。 - 绝对值与数轴位置混淆：如表示点到原点的距离大于点到原点的距离，与点在原点左侧还是右侧无关，误将“距离大”当作“数大”（如，，但）。 - 忽略数轴上的单位长度：如数轴上点到原点的距离为2，未看单位长度是否为1，误判表示的数为（若单位长度为2，则表示）。 4. 解题技巧 - 步骤：①标符号：在数轴上标出各点的位置（原点左负右正），确定字母的符号；②定绝对值：根据点到原点的距离确定字母的绝对值（单位长度为1时，距离=绝对值）；③算除法：结合符号和绝对值，用除法法则计算。 - 辅助工具：在草稿纸上画出简易数轴，标注已知点的位置和对应的数，直观判断符号和绝对值关系（如点在和之间，则，，在2到3之间）。 【例题6】．（2024-2025•漳州期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 【答案】C 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【解答】解：根据图形可知，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， 所以a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A． 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的除法，有理数的加法，数轴，掌握有理数的运算法则是解本题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•任丘市模拟）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　﹣1　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】（1）﹣1；（2）3（m+2）+2 除以3余数是2． 【分析】（1）因为m与n互为相反数，所以找出原点，求出t＝0﹣1＝﹣1． （2）①由t＝﹣3，得m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5，n＝t+4＝﹣3+4＝1，求出m+n＝4； ②当原点在点M的左侧时，得m，n，t均为正整数，即t＝m+2，n＝m+6，m+t+n＝3（m+2）+2，据此解答． 【解答】解：（1）因为m与n互为相反数， 所以m+n＝0， 所以t＝0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）①∵t＝﹣3， ∴m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5， ∴n＝t+4＝﹣3+4＝1， ∴m+n＝﹣5+1＝﹣4； ②当原点在点M的左侧时，m，n，t均为正整数， ∵t＝m+2，n＝m+6， ∴m+t+n ＝m+（m+2）+（m+6） ＝3m+8 ＝3（m+2）+2， ∵m+2为整数， ∴3（m+2）+2 除以3余数是2． 【点评】本题考查了有理数的除法、数轴、相反数，解决本题的关键是知道数轴上数的分布特征、相反数的定义． 【变式题6-2】．（2024-2025•江阳区校级月考）如图， （1）写出数轴上的点A、B、C表示的数． （2）把﹣2，5，1.5这三个数分别用点D、E、F在数轴上表示出来． （3）从这6个数中选择两个相除，使其值最小． 【答案】（1）由数轴得：A表示的点为：4， B表示的点为：6，C表示的点为：﹣4， ∴点A、B、C表示的数分别是：4、6、﹣4； （2）； （3）两数相除其值最小，则结果为负数，因此一正一负相除，根据负数的绝对值越大值越小，分子越大分母越小分数就越大， ∴6÷（﹣2）＝﹣3，结果最小． 【分析】（1）直接从数轴可以看出点A、B、C表示的数； （2）画出数轴直接在数轴上标注即可； （3）两数相除其值最小，则结果为负数，因此一正一负相除，根据负数的绝对值越大值越小，分子越大分母越小分数就越大，因此可以确定被除数为6，除数为﹣2． 【解答】解：（1）由数轴得：A表示的点为：4， B表示的点为：6，C表示的点为：﹣4， ∴点A、B、C表示的数分别是：4、6、﹣4； （2）； （3）两数相除其值最小，则结果为负数，因此一正一负相除，根据负数的绝对值越大值越小，分子越大分母越小分数就越大， ∴6÷（﹣2）＝﹣3，结果最小． 【点评】本题考查了数轴和有理数的除法，能够理解一正一负相除，并且理解负数的绝对值越大值越小，分子越大分母越小分数就越大是解第三问的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•邯郸三模）如图，数轴上的点P表示的数为﹣8，点Q表示的数为2，几名学生使用这个数轴玩算数游戏，游戏规则：一个学生在数轴上再选一个点（不是原点），对该点表示的数和﹣8，2三个数中的负数都除以2，正数都乘以4，将所得的新数相加，所得结果记作w． （1）若甲同学选的点对应的数是﹣2，求w的值； （2）若乙同学选的点对应的数为2﹣x，且w＝0．判断2﹣x是正数还是负数？并求x的值． 【答案】（1）3； （2）是负数，10． 【分析】（1）该点表示的数和﹣8，2三个数中的负数都除以2，正数都乘以4，进行列式计算，即可作答． （2）因为．且w＝0，得出．即可计算作答． 【解答】解：（1）当甲同学选的数为﹣2时，三个数分别为﹣8，﹣2，2， 根据题意得 3； （2）是负数，理由如下： 由题意得：．且w＝0， ∴2﹣x＜0，是负数． ∴． 解得x＝10． 【点评】本题考查了数轴以及新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型7】有理数除法的规律探究题（培优） 【例题7】．计算（﹣4）÷2，4÷（﹣2），（﹣4）÷（﹣2）．联系这类具体数的除法，你认为a、b是有理数（b≠0）时，下列式子是否成立？可以由此总结出什么规律？ （1）；（2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】仿照除法法则对原式正确性作出判断，总结出规律即可． 【解答】解：（1），成立； （2），成立， 两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 【点评】此题考查了有理数的除法，以及分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题7-1】．计算，，，练习这类具体的数的除法，判断下列式子是否成立（a、b是有理数且b≠0），从他们中可以总结出什么规律？ （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据观察，发现规律：分子分母同号得正，异号得负． 【解答】解：由（1）； （2），得 规律：分子分母同号得正，异号得负． 【点评】本题考查了有理数的除法，观察找出规律是解题关键． 【变式题7-2】．计算：28÷（﹣7）＝　﹣4　 ，（﹣7）÷28＝　　 ，（﹣12）÷（）＝　18　 ，（）÷（﹣12）＝　　 ，（）　﹣2　 ，（）＝　　 ； 根据上述规律，解答下列问题． （1）若a÷b＝﹣5，则b÷a＝　　 ； （2）若﹣a÷2015b＝1，则b÷（﹣a）＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的除法同号得正异号得负，绝对值相除，可得答案； （1）根据被除数与除数交换，可得商互为倒数； （2）根据被除数与除数交换，可得商互为倒数． 【解答】解：28÷（﹣7）＝﹣4，（﹣7）÷28，（﹣12）÷（）＝18，（）÷（﹣12），（）2，（）； （1）若a÷b＝﹣5，则b÷a； （2）若﹣a÷2015b＝1，﹣a÷b＝2015，b÷（﹣a）． 故答案为：﹣4，，18，，﹣2，，，． 【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法同号得正异号得负，绝对值相除，注意被除数与除数交换，商互为倒数． 【变式题7-3】．填空： （1）由9×（﹣2）＝﹣18，得（﹣18）÷（﹣2）＝（ 　9　 ），（﹣18）÷9＝（ 　﹣2　 ）； （2）由（﹣9）×2＝﹣18，得（﹣18）÷2＝（ 　﹣9　 ），（﹣18）÷（﹣9）＝　2　 ）； （3）由（﹣9）×（﹣2）＝18，得18÷（﹣2）＝（ 　﹣9　 ），18÷（﹣9）＝（ 　﹣2　 ）； （4）由0×a＝0（a表示不等于0的有理数），得0÷a＝（ 　0　 ）． 观察上面的结果，两个有理数相除．商的符号有什么规律？商的绝对值呢？ 【答案】（1）9；﹣2；（2）﹣9；2；（3）﹣9；﹣2；（4）0；两个有理数相除．商的符号为：同号得正，异号得负，0除以任何数都得0，商的绝对值为非负． 【分析】（1）根据有理数的除法运算法则即可得出答案； （2）根据有理数的除法运算法则即可得出答案； （3）根据有理数的除法运算法则即可得出答案； （4）根据有理数的除法运算法则即可得出答案，再观察结果即可得出规律． 【解答】解：（1）由9×（﹣2）＝﹣18，得（﹣18）÷（﹣2）＝9，（﹣18）÷9＝﹣2． 故答案为：9；﹣2． （2）由（﹣9）×2＝﹣18，得（﹣18）÷2＝﹣9，（﹣18）÷（﹣9）＝2． 故答案为：﹣9；2． （3）由（﹣9）×（﹣2）＝18，得18÷（﹣2）＝（﹣9），18÷（﹣9）＝﹣2． 故答案为：﹣9；﹣2． （4）由0×a＝0（a表示不等于0的有理数），得0÷a＝0． 故答案为：0． 两个有理数相除．商的符号为：同号得正，异号得负，0除以任何数都得0，商的绝对值为非负． 【点评】本题主要考查有理数的除法、有理数、绝对值及有理数的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型8】有理数除法的新定义运算（培优） 1. 知识点 - 新定义运算的本质：根据题目给出的新运算规则（如“”），将已知数代入规则中，转化为熟悉的有理数除法、乘法、加法运算进行计算。 - 新定义运算的关键：①明确新运算的符号（如“※”“Δ ”）对应的运算步骤；②注意新运算中的限制条件（如“中”）。 2. 考点 - 直接代入新定义计算（如定义“”，计算）。 - 结合新定义求参数（如定义“”，若，求的值）。 - 多层新定义运算（如定义“”，计算）。 3. 易错点 - 误解新运算规则：如将“”误理解为“”，步骤顺序错误。 - 忽略新运算中的限制条件：如“”中，代入时未检查是否为0，导致无意义的计算。 - 多层运算时漏步：如计算时，未先算括号内的，直接计算，运算顺序错误。 4. 解题技巧 - “翻译”规则：将新运算符号“翻译”为具体的四则运算步骤 - 分步计算：多层新定义运算需“先算内层，再算外层”，如同有理数混合运算的括号规则（如计算，先算得结果，再算）。 - 代入验证：计算后可根据新规则反向验证（如计算，反向代入规则，确认步骤正确）。 【例题8】．（2024-2025•晋江市校级月考）数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 【答案】（1）见解析；（2）25，26，49，50，97，98． 【分析】（1）根据题意直接相除，看得到的结果是否为质数，再判断是否为“公平数”； （2）先求出3和8在100内的公倍数，再根据“公平数”的定义做个找出即可． 【解答】解：（1）60÷7＝8……4，60÷8＝7……4，有相同的余数，故为“公平数”； 35÷7＝5……0，35÷8＝4……3，余数不相同，故不是“公平数”． （2）3和8的公倍数在100内有24、48、72、96． ①当3和8的公倍数为24时： 当余数为1时的“公平数”：3×8+1＝25； 当余数为2时的“公平数”：3×8+2＝26； ②当3和8的公倍数为48时： 当余数为1时的“公平数”：2×3×8+1＝49； 当余数为2时的“公平数”：2×3×8+2＝50； ③当3和8的公倍数为72时： 当余数为1时的“公平数”：3×3×8+1＝73； 当余数为2时的“公平数”：3×3×8+2＝74； ④当3和8的公倍数为96时： 当余数为1时的“公平数”：2×2×3×8+1＝97； 当余数为2时的“公平数”：2×2×3×8+2＝98； 故100以内3和8的所有“公平数”为：25，26，49，50，97，98． 【点评】本题考查质数与公倍数的运用，理解题意和掌握公倍数便可解决问题． 【变式题8-1】．（2024-2025•渝北区校级期中）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”． 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：14÷5＝2…4，14÷3＝4…2所以14是“差一数”； 19÷5＝3…4，但19÷3＝6…1，所以19不是“差一数”． （1）判断59和64是否为“差一数”？并说明理由； （2）求大于600且小于700的所有“差一数”． 【答案】（1）59是“差一数”；64不是“差一数”； （2）614，629，644，659，674，689． 【分析】（1）根据“差一数”的定义，分别求出59、64除以5、3的余数，即可得答案； （2）根据“差一数”的定义即可求解． 【解答】解：（1）59÷5＝11…4，但59÷3＝19…2，所以59是“差一数”； 64÷5＝12…4，64÷3＝21…1，所以64不是“差一数”； （2）大于600且小于700的数除以5余数为4的有604，609，614，619，624，629，634，639，644，649，654，659，664，669，674，679，684，689，694，699， 其中除以3余数为2的有614，629，644，659，674，689． 故大于600且小于700的所有“差一数”有614，629，644，659，674，689． 【点评】本题考查了整数问题的综合运用，涉及新定义，关键是根据新定义的特征和仿照样例进行解答，主要考查学生的自学能力． 【变式题8-2】．（2024-2025•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下： 任务一：自学阅读材料．我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）．例如：4﹣2＝4÷2，，则称数对（4，2），（，3）是“差商等数对”． 任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题： （1）下列数对中，是“差商等数对”的是 　②　 ；（填序号） ①； ②； （2）若（m，6）是“差商等数对”，求出m的值； （3）若（2a+b﹣6，9）是“差商等数对”，求2a+b的值． 【答案】（1）②； （2）； （3）． 【分析】（1）根据“差商等数对”的定义分别判断即可； （2）根据“差商等数对”的定义得出，即可求出m的值； （3）根据“差商等数对”的定义得出，即可求出2a+b的值． 【解答】解：（1）①，， ∵， ∴不是“差商等数对”； ②，， ∴， ∴是“差商等数对”； 故答案为：②； （2）因为（m，6）是“差商等数对”， 所以， 解得； （3）因为（2a+b﹣6，9）是“差商等数对”， 所以， 解得． 【点评】本题考查了有理数的除法、减法，理解“差商等数对”的定义是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果，f（4，）＝　4　 ，f（5，3）＝　　 ； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　②　 ．（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，a）＝1（a≠0）； ③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） （4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）． 【答案】（1）4，； （2）②； （3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）； （4）． 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断； ③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正； （3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解答】解：（1）f（4，）4， f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3； 故答案为：4； ． （2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3，f（3，6）＝6÷6÷6， ∴f（6，3）≠f（3，6），故错误； ②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确； ③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误； ④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误； 故答案为：②． （3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）． （4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，） 9×（）×16 ． 【点评】本题考查有理数的除法，是一道规律探究型题目，也是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 A D A D A 一．选择题（共5小题） 1．如图数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|﹣b|＞0 【答案】A 【分析】根据点A、B两点表示的数，得出a＞0，b＜0，|a|＝a，|﹣b|＝﹣b，再逐项分析即可求解． 【解答】解：根据数轴可知：b＜﹣1，0＜a＜1， 即a＞0，b＜0， ∴，a+b＜0，a﹣b＞0，|a|﹣|﹣b|＝a﹣（﹣b）＝a+b＜0， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的加减法则，绝对值，数轴，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2．的倒数除以5的倒数，商是（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】先根据倒数的定义得出的倒数是，5的倒数是，然后根据有理数的除法法则计算即可． 【解答】解：的倒数是，5的倒数是， 根据题意得，， 故选：D． 【点评】本题主要考查了倒数的定义，有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．如图，小明在计算三位数除以两位数的过程中发现，初商4偏小了，改商5就正好．这道除法竖式中的除数是（　　） A．26 B．28 C．36 D．38 【答案】A 【分析】先试商4，余数为32；改商5，余数为6，余数相差32﹣6，商相差5﹣4，根据除数的意义可知，余数相差的值就等于（5﹣4）个除数的和，即（5﹣4）个除数的和是32﹣6，据此用余数相差的值除以（5﹣4）即可求出除数． 【解答】解：由除数的意义可知余数相差的值就等于（5﹣4）个除数的和，即（5﹣4）个除数的和是32﹣6， （32﹣6）÷（5﹣4） ＝26÷1 ＝26， 即这道除法竖式中的除数是26． 故答案为：A． 【点评】本题考查了有余数的除法运算，观察竖式的信息，掌握竖式除法的计算方法是解题的关键． 4．计算（﹣7）÷（）×7的结果为（　　） A．1 B．﹣7 C．7 D．343 【答案】D 【分析】根据题意，将除法转化成乘法，然后根据“乘法计算中，同号得正、异号得负”进行计算即可． 【解答】解： ＝（﹣7）×（﹣7）×7 ＝49×7 ＝343； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的除法、有理数的乘法，解决本题的关键是将除法转化成乘法，再计算． 5．我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）] ＝9 ＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则． 二．填空题（共5小题） 6．计算：　6　 ． 【答案】6． 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【解答】解：：3×2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查有理数除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 7．计算：（﹣18）÷（﹣6）＝ 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除计算即可． 【解答】解：（﹣18）÷（﹣6）＝18÷6＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．小华买了5张射击票，按规定每射中一次可以免费再射两次，他一共射了17次，他射中了　6　 次． 【答案】6． 【分析】根据每射中一次可以免费再射两次，可知每射中一次一共可以射三次，根据除法的意义列出算式17÷3计算即可求解． 【解答】解：设小华射中了x次，小华买了5张射击票，所以一开始能射5次，因为每射中一次可以免费再射两次， 所以射中x次能额外射2x次，一共射了17次，可列方程5+2x＝17，解得x＝6， ∴他射中了6次． 故答案为：6． 【点评】本题考查了整数的除法及应用，关键是理解每射中一次可以免费再射两次，实际上是每射中一次一共可以射三次． 9．洛阳宫灯2008年6月被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．制作一套洛阳宫灯，需要用到以下材料：灯架主杆长180厘米，合　1.8　 米；包裹灯架的竹篾（miè）重3千克80克，合　3.08　 千克；粘贴灯面的桑皮纸面积是25平方分米，合　0.25　 平方米． 【答案】1.8；3.08；0.25． 【分析】将厘米换算为米，需除以进率100；将克换算为千克，需除以进率1000后与千克数相加；将平方分米换算为平方米，需除以进率100． 【解答】解：180厘米＝180÷100＝1.8米， ∵80克＝80÷1000＝0.08千克， ∴3千克80克＝3+0.08＝3.08千克， 25平方分米＝25÷100＝0.25平方米． 故答案为：1.8；3.08；0.25． 【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法的运算法则是关键． 10．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可． 【解答】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 【点评】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重． 三．解答题（共8小题） 11．计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．计算：． 【答案】． 【分析】先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．计算下列各题： （1）（﹣1）×（）÷（﹣2）； （2）﹣1÷（）（﹣5）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则，从左向右依次计算，即可得出答案； （2）解法同（1）． 【解答】解：（1）（﹣1）×（）÷（﹣2） ； （2））﹣1÷（）（﹣5） ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘除，熟练掌握有理数的乘除法则进行计算是解决本题的关键． 14．列式计算： （1）一个数的是35，这个数的25%是多少？ （2）除以2.4减去1.6的差，商是多少？ 【答案】（1）14； （2）1． 【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【解答】解：（1）3525% ＝14； 答：这个数的25%是14； （2）（2.4﹣1.6） ＝1． 答：商是1． 【点评】本题主要考查了分数、小数、百分数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． 15．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆． （1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况； （2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．比400辆多出的数记作正数，比400辆少的记作负数； （2）本周实际共生产自行车的辆数＝本周内每日实际生产量之和，再除以7即得平均每日实际生产自行车的辆数． 【解答】解：（1）以每日生产400辆自行车为标准，多出的数记作正数，不足的数记作负数，则有 +5，﹣7，﹣3，+10，﹣9，﹣15，+5； （2）405+393+397+410+391+385+405＝2786（辆）， 平均每日生产：2786÷7＝398（辆）． 即总产量为2786辆，平均每日实际生产398辆． 【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 16．小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 　20　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 　﹣2.5　 ； （3）从中取出3张卡片，使这3张卡片乘积结果为﹣24，请写出所有的情况． 【答案】（1）20；（2）﹣2.5；（3）（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝﹣24，（﹣2）×（+3）×（+4）＝﹣24，（+2）×（﹣3）×（+4）＝﹣24，（+2）×（+3）×（﹣4）＝﹣24． 【分析】（1）找出﹣5与﹣4，使其乘积最大即可； （2）找出﹣5与2，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，比较|﹣5|＝5和|﹣4|＝4，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择﹣5和﹣4，乘积为（﹣5）×（﹣4）＝20． 故答案为：20； （2）根据题意可知，在这些数中，|﹣5|＝5是较大的绝对值，|+2|＝|﹣2|＝2\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，﹣5÷2＝﹣2.5， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是﹣2.5． 故答案为：﹣2.5； （3按此规律满足3张卡片乘积结果为﹣24的等式有， （﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝﹣24， （﹣2）×（+3）×（+4）＝﹣24， （+2）×（﹣3）×（+4）＝﹣24， （+2）×（+3）×（﹣4）＝﹣24． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 17．下面是小虎同学的计算； 第①步 第②步 第③步 （1）请指出第　①　 步错误； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）①；（2）正确过程见解析． 【分析】（1）同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误； （2）除法变乘法，约分化简进行计算即可． 【解答】解：（1）同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误． 故答案为：①； （2）原式． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法的运算法则是关键． 18．【阅读材料】 当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作f（2，x）＝x÷x； 把3个相同的有理数x的除法运算记作f（3，x）＝x÷x÷x； 把4个相同的有理数x的除法运算记作f（4，x）＝x÷x÷x÷x； …； 特别地，规定f（1，x）＝x． 【解决问题】 （1）若f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），则n＝　4　 ； （2）　27　 ； （3）计算：． 【答案】（1）4； （2）27； （3）12． 【分析】（1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解； 【解答】解：（1）∵f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）， ∴n＝4， 故答案为：4； （2）， 故答案为：27； （3）原式 ＝1×（﹣3）×4×（﹣1） ＝12． 【点评】本题考查了有理数的除法，理解新运算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2.2.2有理数的除法 【题型1】有理数除法法则的辨析 1. 知识点 - 有理数除法的两个核心法则:①除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数(字母表示:,其中);②两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都得0。 - 有理数除法与乘法的关系:除法是乘法的逆运算,本质是将除法转化为乘法(乘除数的倒数)进行计算。 2. 考点 - 判断关于有理数除法法则的表述是否正确(如“两数相除,商的符号由被除数符号决定”这类错误表述的辨析)。 - 根据除法法则判断两个数相除的商的符号(如已知两数符号,判断商为正或负)。 3. 易错点 - 忽略“除数不能为0”的限制条件,误认为“0除以任何数都得0”。 - 混淆除法法则与乘法法则,如“异号相除得正”“同号相除得负”的符号判断错误。 - 误将“除以一个数等于乘这个数的倒数”中的“倒数”记为“相反数”,导致运算方向错误。 4. 解题技巧 - 辨析法则表述时,紧扣“除数非0”“符号规则(同正异负) ”“绝对值相除/乘倒数”三个核心要素,逐一验证选项。 - 判断商的符号时,只需关注被除数与除数的符号(无需计算绝对值),直接套用“同号得正,异号得负”。 - 遇到不确定的选项,可举反例验证(如判断“两个数相除,商一定小于被除数”时,举,商大于被除数,即可证明该表述错误)。 【例题1】.(2024-2025•平利县校级期中)计算1时,除法变为乘法正确的是( ) A. B. C. D. 【变式题1-1】.(2024-2025•镇原县期中)计算0 (﹣2024)的结果是( ) A.0 B.2024 C.﹣2024 D. 【变式题1-2】.(2024-2025•商水县校级期中)下列说法正确的是( ) A.零除以任何数都等于零 B.1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C.一个不等于零的有理数除以它的相反数等于﹣1 D.两数相除,商一定大于被除数 【变式题1-3】.(2024-2025•衢江区期末)下列运算,结果正确的是( ) A.﹣7 7=1 B. C.﹣36 (﹣9)=4 D. 【题型2】有理数乘除混合运算 1. 知识点 - 同级运算顺序:有理数的乘法和除法属于同级运算,应从左到右依次计算,有括号的先算括号内的。 - 乘除混合运算的转化:将所有除法转化为乘法(除以一个数等于乘它的倒数),统一为乘法运算后,再按有理数乘法法则计算(先定符号,再算绝对值的积)。 - 符号规则:多个非0有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定——负因数个数为偶数时,积为正;负因数个数为奇数时,积为负。 2. 考点 - 计算不含括号的乘除混合运算(如、)。 - 计算含括号的乘除混合运算(如、)。 3. 易错点 - 运算顺序错误:未从左到右计算,误将“乘除混合”当作“先乘后除”或“先除后乘”(如误算为,正确应为)。 - 转化除法时符号错误:如误转化为是正确的,但误转化为,忽略除数的负号。 - 多个负因数符号判断错误:如中,负因数个数为4(偶数),积应为正,误判为负。 4. 解题技巧 - 统一转化法:将所有除法转化为乘法(除以() 乘 ),使算式变为“全乘法”形式(如)。 - 符号优先判断:转化为全乘法后,先数负因数的个数,确定积的符号(奇负偶正),再计算所有绝对值的积。 - 有括号时,先算括号内的乘除(同样转化为乘法),再算括号外的(如)。 【例题2】.(2024-2025•肇源县期末)计算下面各题. ; ; . 【变式题2-1】.(2024-2025•曲阳县期末)阅读下面解题过程并解答问题: 计算: 解:原式(第一步) =(﹣15) (﹣25)(第二步) (第三步) (1)上面解题过程有两处错误: 第一处是第 步,错误原因是 ; 第二处是第 步,错误原因是 ; (2)请写出正确的结果 . 【变式题2-2】.(2024-2025•崇明区期末)计算:. 【变式题2-3】.(2024-2025•龙马潭区校级期中)计算下列各题: (1)(﹣1) () (﹣2); (2)﹣1 ()(﹣5). 【题型3】有理数除法的简便计算 1. 知识点 - 乘法分配律的逆用:若除法算式中除数为单一数,被除数为多个数的和/差,可将除法转化为乘法后,逆用分配律(,其中)。 - 倒数法简算:对于分母为多个分数和/差的除法(如),可先求原式的倒数(),用分配律计算后再取倒数。 - 凑整法:利用“互为倒数的两数乘积为1”凑整(如,),简化计算(如)。 2. 考点 - 利用分配律简算(如计算)。 - 利用倒数法简算复杂除法(如计算)。 - 凑整简算(如计算)。 3. 易错点 - 滥用分配律:除法没有分配律,不能将“”转化为“”(如误算为,正确应为)。 - 倒数法简算时,忘记最后取倒数(如计算,先求倒数得,误将作为原式结果,正确应为的倒数,此处需注意符号)。 - 凑整时符号错误:如误算为1,忽略负号,正确应为。 4. 解题技巧 - 分配律适用条件:仅当“除数是单一数,被除数是和/差”时可用(如),反之不可用。 - 倒数法步骤:①设原式为;②求(即“除数 被除数”),用分配律计算的值;③(注意符号)。 - 凑整关键:牢记常见凑整组合(如与、与、与),计算时先观察是否有此类数,优先结合计算。 【例题3】.(2024-2025•微山县校级月考)用简便方法计算: (1); (2). 【变式题3-1】.用简便方法计算: (1) (2). 【变式题3-2】.怎样算简便就怎样算 (1)23 (2)25%0.75. 【变式题3-3】.(2024-2025•鄂托克旗期末)小华在课外书中看到这样一道题: 计算:()+(). 她发现,这个算式反映的是前后两部分的和,而这两部分之间存在着某种关系,利用这种关系,她顺利地解答了这道题 (1)前后两部分之间存在着什么关系? (2)先计算哪部分比较简便?并请计算比较简便的那部分. (3)利用(1)中的关系,直接写出另一部分的结果. (4)根据以上分析,求出原式的结果. 【题型4】有理数除法的简单实际应用 1. 知识点 - 除法的实际意义:①求“单位量”(如速度=路程 时间,单位时间温度变化量=温度变化总量 时间);②求“数量”(如个数=总数量 单量)。 - 有理数在实际问题中的符号意义:如路程、时间通常为正,温度上升为正、下降为负,速度方向与规定正方向一致为正、相反为负。 2. 考点 - 行程问题:已知路程和时间,求速度(如一辆车行驶千米(负号表示向西),用时3小时,求速度)。 - 温度问题:已知温度变化总量和时间,求单位时间温度变化(如某地温度2小时下降,求每小时温度变化量)。 - 分配问题:已知总量和份数,求每份量(如将千克大米平均分给3户人家,求每户分得的质量)。 3. 易错点 - 忽略实际问题中符号的意义,仅计算绝对值(如速度为负表示方向,误将千米/小时写成40千米/小时,遗漏方向)。 - 单位不统一:如时间单位“分钟”与“小时”未统一,直接计算(如1小时行驶60千米,求每分钟行驶速度,未将1小时化为60分钟)。 - 数量关系搞错:如误将“速度=时间 路程”作为公式,导致计算错误。 4. 解题技巧 - 第一步:明确题目中的“正方向”(如行程问题中规定向东为正,温度问题中规定上升为正),确定已知量的符号。 - 第二步:列出正确的数量关系式(如速度=路程 时间,单位时间温度变化=总温度变化 时间)。 - 第三步:代入数据计算,结果的符号表示“方向/变化趋势”,绝对值表示“大小”,需完整表述(如速度为千米/小时,表示向西行驶,速度大小为40千米/小时)。 【例题4】.(2024-2025•瑶海区期中)某旅游景点某天12:00的气温是5 ,从午后开始,气温持续下降,夜间测得某时刻的气温已经下降到﹣1 ,如果平均每4h气温下降3 ,则此刻的时间是几点? 【变式题4-1】.(2024-2025•香洲区期中)可可在计算﹣3+时,由于不小心,后面的加数被墨水污染. (1)可可问了同桌乐乐,发现乐乐计算时误将﹣3后面的“+”看成了“ ”,从而算得结果为﹣2,请求出被墨水污染的这个数; (2)请你正确计算此道题. 【变式题4-2】.(2024-2025•灌云县月考)如图,小明有4张写着不同数的卡片,请你按照题目要求抽出卡片,完成下列问题. (1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最大,如何抽取?最大值是多少? (2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,如何抽取?最小值是多少? 【变式题4-3】.(2024-2025•柳州期中)综合与实践 【知识再现】我们都知道,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|,因为原点表示的数是0,所以|a|=|a﹣0|,由此可知,|7﹣(﹣2)|表示7与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为数轴上分别表示7与﹣2的两点之间的距离,所以|7﹣(﹣2)|=9; 【问题初探】阅读以下材料,并回答问题: 如图,把一根长度为a cm木棒MN放在一条数轴(单位长度为1cm)上,它的两端M,N分别落在点A,B处,将木棒在数轴上水平移动,当点M移动到B处时,点N与点D重合,此时点N对应的数为17,当点N移动到A处时,点M与点C重合,此时点M对应的数为5. (1)由此可得,CD= cm,a的值为 cm. (2)图中点A所表示的数是 ,点B所表示的数是 . 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题: 一天,小华去问奶奶的年龄,奶奶说:“我若是你现在这么大,你还要35年才出生;你若是我现在这么大,我已经是109岁的老寿星了,哈哈”小华纳闪,奶奶到底是多少岁? 请你画出示意图,求出小华和奶奶现在的年龄,并说明解题思路. 【题型5】利用倒数法解决分母含多个分数的除法(提升) 1. 知识点 - 倒数的性质:若(,),则,即原式的倒数等于除数除以被除数。 - 乘法分配律的应用:当除数是多个分数的和/差,被除数是单一数时,直接计算繁琐,可先求原式的倒数(此时除数变为单一数,被除数变为多个分数的和/差),用分配律计算倒数的值,再取倒数得到原式结果。 - 复杂分数的化简:如,可看作“1除以”,用倒数法简化计算。 2. 考点 - 计算分母为多个分数和/差的除法(如计算)。 - 化简复杂分数(如化简)。 3. 易错点 - 倒数法步骤遗漏:求完倒数的结果后,忘记取倒数,直接将倒数的结果作为原式的结果(如计算,先求倒数,误将作为原式结果,正确应为6)。 - 分配律应用时符号错误:如计算,误算为,正确应为(此处符号正确,但需注意每一项的符号)。 - 分母化简错误:如误算为是正确的,但误算为,忽略符号(正确应为)。 4. 解题技巧 - 标准步骤:①设原式为(如);②求:;③用分配律计算:;④求:。 - 符号检查:每一步计算后检查符号(如负号的个数、乘法分配律中每一项的符号),确保符号无误。 - 验证结果:将原式结果代入,与除数相乘,看是否等于被除数(如,除数为,则除数,等于被除数,说明结果正确)。 【例题5】.(2024-2025•新野县期中)我们知道,,显然a b与b a的结果互为倒数关系.小明利用这一思想方法计算的过程如下:因为20+3﹣5+12=﹣10. 故原式. 请你仿照这种方法计算:. 【变式题5-1】.(2024-2025•邹平市期中)阅读下题解答: 计算:. 分析:利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得原式的值. 解:(﹣24)=﹣16+18﹣21=﹣19. 所以原式. 根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算:. 【变式题5-2】.(2024-2025•乌当区期中)阅读下列材料: 计算:(). 解法一:原式3412. 解法二:原式()6. 解法三:原式的倒数=()() 24242424=4. 所以,原式. (1)上述得到的结果不同,你认为解法 是错误的; (2)请你选择合适的解法计算:() (). 【变式题5-3】.(2024-2025•大冶市期中)数学老师布置了一道思考题“计算:”,小明和小红两位同学经过仔细思考,用不同的方法解答了这个问题: 小明的解法:原式 小红的解法:原式的倒数为 =﹣20+3﹣5+12 =﹣10 故原式 (1)你觉得 的解法更好. (2)请你用自己喜欢的方法解答下面的问题: 计算: 【题型6】数轴与有理数除法的综合应用(提升) 1. 知识点 - 数轴的核心性质:数轴上的点与有理数一一对应,右边的点表示的数大于左边的点表示的数;正数在原点右侧,负数在原点左侧,0在原点。 - 数轴与符号的关系:若点在原点左侧,则表示的数;若点在原点右侧,则表示的数;若在左侧,则。 - 综合运算:根据数轴上点的位置确定字母的符号(正、负)和绝对值的大小关系,再代入除法算式计算。 2. 考点 - 根据数轴判断除法结果的符号(如数轴上在原点左侧,在原点右侧,判断的符号)。 - 根据数轴求除法结果(如数轴上表示,表示,求表示的数除以表示的数的结果)。 - 结合数轴与绝对值的除法计算(如数轴上,在原点左侧,表示的数是的相反数,求)。 3. 易错点 - 数轴上点的符号判断错误:如将原点左侧的点误判为正数,导致的错误(正确应为)。 - 绝对值与数轴位置混淆:如表示点到原点的距离大于点到原点的距离,与点在原点左侧还是右侧无关,误将“距离大”当作“数大”(如,,但)。 - 忽略数轴上的单位长度:如数轴上点到原点的距离为2,未看单位长度是否为1,误判表示的数为(若单位长度为2,则表示)。 4. 解题技巧 - 步骤:①标符号:在数轴上标出各点的位置(原点左负右正),确定字母的符号;②定绝对值:根据点到原点的距离确定字母的绝对值(单位长度为1时,距离=绝对值);③算除法:结合符号和绝对值,用除法法则计算。 - 辅助工具:在草稿纸上画出简易数轴,标注已知点的位置和对应的数,直观判断符号和绝对值关系(如点在和之间,则,,在2到3之间)。 【例题6】.(2024-2025•漳州期末)如图,数轴上A,B两点所表示的数分别为a,b,且a+b<0,,则原点O的位置在( ) A.点A的右边 B.点B的左边 C.A,B两点之间,且靠近点A D.A,B两点之间,且靠近点B 【变式题6-1】.(2024-2025•任丘市模拟)如图,整数m,n,t在数轴上分别对应点M,N,T. (1)若m与n互为相反数,则t= ; (2)①若t=﹣3,求m+n的值; ②当原点在点M的左侧时,试说明:整数m,n,t的和除以3所得的余数一定是2. 【变式题6-2】.(2024-2025•江阳区校级月考)如图, (1)写出数轴上的点A、B、C表示的数. (2)把﹣2,5,1.5这三个数分别用点D、E、F在数轴上表示出来. (3)从这6个数中选择两个相除,使其值最小. 【变式题6-3】.(2024-2025•邯郸三模)如图,数轴上的点P表示的数为﹣8,点Q表示的数为2,几名学生使用这个数轴玩算数游戏,游戏规则:一个学生在数轴上再选一个点(不是原点),对该点表示的数和﹣8,2三个数中的负数都除以2,正数都乘以4,将所得的新数相加,所得结果记作w. (1)若甲同学选的点对应的数是﹣2,求w的值; (2)若乙同学选的点对应的数为2﹣x,且w=0.判断2﹣x是正数还是负数?并求x的值. 【题型7】有理数除法的规律探究题(培优) 【例题7】.计算(﹣4) 2,4 (﹣2),(﹣4) (﹣2).联系这类具体数的除法,你认为a、b是有理数(b≠0)时,下列式子是否成立?可以由此总结出什么规律? (1);(2). 【变式题7-1】.计算,,,练习这类具体的数的除法,判断下列式子是否成立(a、b是有理数且b≠0),从他们中可以总结出什么规律? (1); (2). 【变式题7-2】.计算:28 (﹣7)= ,(﹣7) 28= ,(﹣12) ()= ,() (﹣12)= ,() ,()= ; 根据上述规律,解答下列问题. (1)若a b=﹣5,则b a= ; (2)若﹣a 2015b=1,则b (﹣a)= . 【变式题7-3】.填空: (1)由9 (﹣2)=﹣18,得(﹣18) (﹣2)=( ),(﹣18) 9=( ); (2)由(﹣9) 2=﹣18,得(﹣18) 2=( ),(﹣18) (﹣9)= ); (3)由(﹣9) (﹣2)=18,得18 (﹣2)=( ),18 (﹣9)=( ); (4)由0 a=0(a表示不等于0的有理数),得0 a=( ). 观察上面的结果,两个有理数相除.商的符号有什么规律?商的绝对值呢? 【题型8】有理数除法的新定义运算(培优) 1. 知识点 - 新定义运算的本质:根据题目给出的新运算规则(如“”),将已知数代入规则中,转化为熟悉的有理数除法、乘法、加法运算进行计算。 - 新定义运算的关键:①明确新运算的符号(如“※”“ ”)对应的运算步骤;②注意新运算中的限制条件(如“中”)。 2. 考点 - 直接代入新定义计算(如定义“”,计算)。 - 结合新定义求参数(如定义“”,若,求的值)。 - 多层新定义运算(如定义“”,计算)。 3. 易错点 - 误解新运算规则:如将“”误理解为“”,步骤顺序错误。 - 忽略新运算中的限制条件:如“”中,代入时未检查是否为0,导致无意义的计算。 - 多层运算时漏步:如计算时,未先算括号内的,直接计算,运算顺序错误。 4. 解题技巧 - “翻译”规则:将新运算符号“翻译”为具体的四则运算步骤(如“ ”翻译为“先算,再除以”),写在草稿纸上,避免记忆错误。 - 分步计算:多层新定义运算需“先算内层,再算外层”,如同有理数混合运算的括号规则(如计算,先算得结果,再算)。 - 代入验证:计算后可根据新规则反向验证(如计算,反向代入规则,确认步骤正确)。 【例题8】.(2024-2025•晋江市校级月考)数论是纯数学的分支之一,主要研究整数的性质.现在我们来研究整数的一种特殊现象. 定义:对于一个非0自然数N,如果这个自然数N分别除以自然数a、b(a、b为互质数)有相同余数(余数不为0),那么自然数N叫做a、b的“公平数”. 例如:13 3=4……1,13 4=3……1,所以13是3和4的“公平数”:72 5=14……2,72 7=10……2,所以72是5和7的“公平数”. (1)判断:60、35是否为7和8的“公平数”,请说明理由; (2)求100以内3和8的所有“公平数”. 【变式题8-1】.(2024-2025•渝北区校级期中)在整数的除法运算中,只有能整除与不能整除两种情况,当不能整除时,就会产生余数,现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”. 定义:对于一个自然数,如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数”. 例如:14 5=2…4,14 3=4…2所以14是“差一数”; 19 5=3…4,但19 3=6…1,所以19不是“差一数”. (1)判断59和64是否为“差一数”?并说明理由; (2)求大于600且小于700的所有“差一数”. 【变式题8-2】.(2024-2025•富县期末)数学探究课上,老师布置的任务如下: 任务一:自学阅读材料.我们定义:如果两个有理数的差等于这两个有理数的商,那么这两个有理数就叫做“差商等数对”.即:如果a﹣b=a b,那么a与b就叫做“差商等数对”,记为(a,b).例如:4﹣2=4 2,,则称数对(4,2),(,3)是“差商等数对”. 任务二:根据自学阅读材料,尝试解决下列问题: (1)下列数对中,是“差商等数对”的是 ;(填序号) ①; ②; (2)若(m,6)是“差商等数对”,求出m的值; (3)若(2a+b﹣6,9)是“差商等数对”,求2a+b的值. 【变式题8-3】.(2024-2025•靖江市期中)小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子.学习了“有理数的乘方”后,他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识,脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念.于是规定:若干个相同有理数(均不能为0)的除法运算叫做除方,如5 5 5,(﹣2) (﹣2) (﹣2) (﹣2)等,类比有理数的乘方.小聪把5 5 5记作f(3,5),(﹣2) (﹣2) (﹣2) (﹣2)记作f(4,﹣2). (1)直接写出计算结果,f(4,)= ,f(5,3)= ; (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 .(填序号) ①f(6,3)=f(3,6); ②f(2,a)=1(a≠0); ③对于任何正整数n,都有f(n,﹣1)=1; ④对于任何正整数n,都有f(2n,a)<0(a<0). (3)小明深入思考后发现:“除方”运算能够转化成乘方运算,且结果可以写成幂的形式,请推导出“除方”的运算公式f(n,a)(n为正整数,a≠0,n≥2),要求写出推导过程将结果写成幂的形式;(结果用含a,n的式子表示) (4)请利用(3)问的推导公式计算:f(5,3) f(4,) f(5,﹣2) f(6,). 同步练习 一.选择题(共5小题) 1.如图数轴上A、B两点表示的数分别为a,b,则下列结论正确的是( ) A. B.a+b>0 C.a﹣b<0 D.|a|﹣|﹣b|>0 2.的倒数除以5的倒数,商是( ) A. B. C.5 D.7 3.如图,小明在计算三位数除以两位数的过程中发现,初商4偏小了,改商5就正好.这道除法竖式中的除数是( ) A.26 B.28 C.36 D.38 4.计算(﹣7) () 7的结果为( ) A.1 B.﹣7 C.7 D.343 5.我们把2 2 2记作2③,(﹣4) (﹣4)记作(﹣4)②,那么计算9 (﹣3)④的结果为( ) A.1 B.3 C. D. 二.填空题(共5小题) 6.计算: . 7.计算:(﹣18) (﹣6)= . 8.小华买了5张射击票,按规定每射中一次可以免费再射两次,他一共射了17次,他射中了 次. 9.洛阳宫灯2008年6月被列入第二批国家级非物质文化遗产名录.制作一套洛阳宫灯,需要用到以下材料:灯架主杆长180厘米,合 米;包裹灯架的竹篾(mi )重3千克80克,合 千克;粘贴灯面的桑皮纸面积是25平方分米,合 平方米. 10.1930年,德国汉堡大学的学生考拉兹,曾经提出过这样一个数学猜想:对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能够得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”,又称“奇偶归一猜想”.虽然这个结论在数学上还没有得到证明,但举例验证都是正确的,例如:取正整数5,最少经过下面5步运算可得1,即:5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1,则m的值为 . 三.解答题(共8小题) 11.计算:. 12.计算:. 13.计算下列各题: (1)(﹣1) () (﹣2); (2)﹣1 ()(﹣5). 14.列式计算: (1)一个数的是35,这个数的25%是多少? (2)除以2.4减去1.6的差,商是多少? 15.某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车,由于人数和操作原因,每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆. (1)用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况; (2)该车厂本周实际共生产多少辆自行车?平均每日实际生产多少辆自行车? 16.小江有7张写着不同数字的卡片,请按要求抽取出卡片,完成下列各题: (1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字乘积最大,最大值是 ; (2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,最小值是 ; (3)从中取出3张卡片,使这3张卡片乘积结果为﹣24,请写出所有的情况. 17.下面是小虎同学的计算; 第①步 第②步 第③步 (1)请指出第 步错误; (2)写出正确的解答过程. 18.【阅读材料】 当有理数x不等于0时, 把2个相同的有理数x的除法运算记作f(2,x)=x x; 把3个相同的有理数x的除法运算记作f(3,x)=x x x; 把4个相同的有理数x的除法运算记作f(4,x)=x x x x; …; 特别地,规定f(1,x)=x. 【解决问题】 (1)若f(n,﹣2)=(﹣2) (﹣2) (﹣2) (﹣2),则n= ; (2) ; (3)计算:. 学科网(北京)股份有限公司 $