精品解析：辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷 命题教师：高一备课组 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置. 2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效. 4．画图清晰，并用2B铅笔加深． 第I卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，在区间单调递增，且在定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 45 C. D. 8. 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 10. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是增函数 D. ，使得 11. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值等于_____． 13. 已知是等差数列的前项和，且满足，，则_____； 14. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 16. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 17. 已知函数为奇函数． （1）求并判断的单调性． （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． （1）求的值； （2）记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 19. 已知． （1）若在上单调递增，求a的取值范围； （2）若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷 命题教师：高一备课组 满分150分 时间120分钟 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置. 2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效. 4．画图清晰，并用2B铅笔加深． 第I卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列函数中，在区间单调递增，且在定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，以及基本初等函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数既不是奇函数也不是偶函数，所以B不符合题意； 对于C中，由，根据指数函数的性质，可得函数是非奇非偶函数，所以C不符合题意； 对于D中，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数是奇函数， 当时，是严格增函数，所以D符合题意． 故选：D． 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 3. 甲，乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”，“张氏帅府”“九一八纪念馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择九一八纪念馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型公式、条件概率公式计算可得答案. 【详解】事件A包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“九一八纪念馆”，共有5个， 其中，事件B包含的基本事件有： 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“沈阳故宫”， 甲家庭选择“九一八纪念馆”乙家庭选择“张氏帅府”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“沈阳故宫”， 乙家庭选择“九一八纪念馆”甲家庭选择“张氏帅府”， 共有4个， 概率. 故选：A. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要考虑两种情况，一种是可直接通过一次函数性质来判断；另一种是，可借助二次函数性质列出不等式，然后通过计算得出结果，最后综合两种情况，得出答案． 【详解】当时，函数在区间上单调递增，满足题意； 当时，若函数在区间上单调递增， 则需要满足解得， 综上所述，故选D． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数以及一次函数的图像和性质，在解题过程中首先要考虑到函数可能为一次函数，其次熟练掌握二次函数以及一次函数的图像和性质，是解答的关键． 5. 已知随机变量， 且 ，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布均值公式求得可判断A，由方差公式可判断B，由二项分布的概率公式可判断C，由均值性质可判断D. 【详解】对于A，，解得，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C符合题意； 对于D，由均值的性质可知，，故D不符合题意. 故选：C. 6. 已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得的值. 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 则，故， 所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得， 所以，，， 因此，. 故选：D. 7. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 45 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 8. 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解. 【详解】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 10. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是增函数 D. ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正态分布可求得，可判断A；结合正态分布的性质计算可得，可判断B；易得在上是增函数，可判断C；当时，，，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：当增大时，也增大， 所以在上是增函数，故C正确； 对于D：因为，， 当时，，所以， 又，所以，所以； 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象以及直线的图象，即可判断大小没判断A；利用反函数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C，D. 【详解】作出函数和的图象以及直线的图象，如图， 由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，， 结合图象可知，A错误； 由题意知，也即， 由于函数和互为反函数， 二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点， 故关于对称，故，B错误； 由，故，C错误； 因为，故， 结合，即得，D正确， 故选：D 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则. 故答案为： 13. 已知是等差数列的前项和，且满足，，则_____； 【答案】35 【解析】 【分析】首先根据等差数列的通项公式以及前项和公式来求解.先求出首项和公差，再代入求. 【详解】因为是等差数列的前项和，. 则， 化简得， 消元求解得：. 所以. 所以. 故答案为：35. 14. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由代入计算，即可得到结果； （2）先求得函数的极值，然后再分别计算端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则，， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 即时，有极小值，且， 又，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以 ，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. 【小问2详解】 略 17. 已知函数为奇函数． （1）求并判断的单调性． （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），在上为增函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，可求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可；判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由函数的奇偶性与单调性得出对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据一元二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 对任意的，，则函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，解得， 此时，， ，故函数为奇函数，合乎题意， 函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，则， 所以， 即，所以函数在上为增函数. 【小问2详解】 因为函数为上的奇函数，且为增函数， 由得， 所以，即对任意的恒成立， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 18. 甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． （1）求的值； （2）记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）随机变量的分布列如下表所示： 【解析】 【分析】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”，设事件为“摸出的球都是红球”，利用全概率公式可得出关于的等式，即可解得的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”， 则，， 设事件为“摸出的球都是红球”，则，， 由全概率公式可得， 整理可得，解得或（舍去），故. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有：、、， 则，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则. 19. 已知． （1）若在上单调递增，求a的取值范围； （2）若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，． 【答案】（1） （2）因为，，所以在处切线方程为， 根据题意，该切线为，所以，解得，， 所以，因为，所以， 下面证明：， （法一）先证，即， 令，，则， 所以在是增函数，所以，即，① 再证，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以，即，所以，② 由①②得，综上，在上成立． （法二）设，则， 因为两个函数均在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 所以使，所以，即， 当时，，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以在上成立. 【解析】 【分析】（1）若在上单调递增，则对恒成立，通过构造函数转化为求最值问题可解； （2）由已知，利用导数的几何意义求得a与b的值，得到，则，问题转化为证明 .（法一）利用导数先证明，再证明，可得结果；（法二）设，利用导数证明当时，即可. 【小问1详解】 若在上单调递增， 则对恒成立， 设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， 所以只需，即，所以a的取值范围是. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $