第02讲 因式分解公式法与十字相乘法（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪教版2024）

第02讲 因式分解公式法与十字相乘法（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断能否用公式法分解因式 典型例题二 平方差公式分解因式 典型例题三 完全平方公式分解因式 典型例题四 综合运用公式法分解因式 典型例题五 综合提公因式和公式法分解因式 典型例题六 十字相乘法 典型例题七 分组分解法 典型例题八 因式分解在有理数简算中的应用 典型例题九 因式分解的应用 知识01 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·上海松江·单元测试）如果多项式能用分组分解法分解因式，则符合条件的，的一组整数值是 ． 知识02 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（  ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·上海嘉定·期中）通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: ． 知识点03 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）分解因式： （1） ， （2） 知识点04 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 【即时训练】 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【典型例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【例3】（24-25七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2－y2 4．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算：（1）； （2）因式分解：． 【典型例题二 平方差公式分解因式】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）如果多项式可以运用平方差公式分解因式，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期中）已知，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是 ． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）整式A、B、C、D如表所示． 整式              整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当时，计算a和b的值． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 【典型例题三 完全平方公式分解因式】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海金山·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）因式分解： ． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算： （1）；             （2）； 因式分解： （1）；                               （2）； 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展：若代数式，则的值_____． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【典型例题四 综合运用公式法分解因式】 【例1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期末）因式分解： ． 【例4】（23-24七年级上·上海闵行·期末）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 2．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·上海长宁·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 4．（2024七年级上·上海·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【典型例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【例3】（2025·上海闵行·模拟预测）代数式因式分解的结果为 ． 【例4】（2025·上海静安·模拟预测）分解因式： ． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）把下列式子分解因式： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： (1) (2) (3) 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解及代数式求值 (1) (2)先把分解因式，在求当时的值． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）（1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：． ②因式分解：． 【典型例题六 十字相乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【例2】（23-24七年级上·上海普陀·单元测试）解关于的方程的解应表示为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 【例4】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）如果关于x的二次三项式(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为： ． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分解因式： 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【典型例题七 分组分解法】 【例1】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期末）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式： ， ． 【例4】（2024·上海奉贤·模拟预测）分解因式：＝ ． 1．（2025七年级上·上海松江·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 4．（2025七年级上·上海松江·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【典型例题八 因式分解在有理数简算中的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【例3】（2025七年级上·上海松江·专题练习）简便计算： ． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是 ． 1．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 3．（2024·上海徐汇·模拟预测）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数． (1)验证和这两个数是否为神秘数； (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由． 4．（2024·上海徐汇·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【典型例题九 因式分解的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，将长方形分成四个面积分别为的小长方形，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）设，若实数满足，且，则（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 【例3】（24-25七年级上·安徽宿州·期中）如果，那么 ． 【例4】（2025七年级上·上海徐汇·模拟预测）某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，求代数式的值 2．（24-25七年级上·上海松江·课后作业）下面的判断是否正确，为什么？ (1)对于所有的自然数n，的末位数都不是2； (2)对于所有的自然数n，的值都是偶数． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中） (1)如图1，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (2)如图2，从边长为8的正方形中剪掉边长为7的正方形，从边长为6的正方形中剪掉边长为5的正方形，……，从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (3)如图3，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，……．从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____，请你说明等式的正确性； (4)某地想打造如图4所示的立体同心圆花坛，相间栽种绿植和花，俯视图如图5所示，每个圆环的宽度均为，一共12个同心圆，即最内圈圆的半径为，最外圈圆的半径为，阴影部分为绿植，绿植的栽种总面积为是多少？（结果保留） 1．（24-25七年级上·上海崇明·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海虹口·期末）若是多项式（m为系数）的一个因式，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，则 ． 7．（23-24七年级上·上海松江·单元测试）因式分解： （1） ； （2） ． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： ． 分解因式： ． 计算：的结果是 ． 9．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知a，b两个数落在隐去原点的数轴上，有下列说法：①；②；③，其中正确的是 ．（只填写序号）    10．（23-24七年级上·上海闵行·期末）阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 11．（24-25七年级上·上海松江·期中）分解因式． (1) (2) 12．（24-25七年级上·上海金山·期末）按照要求解答一下两个小题． (1)分解因式：； (2)用因式分解计算： 13．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 14．（23-24七年级上·上海宝山·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 15．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 公式法与十字相乘法（4大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断能否用公式法分解因式 典型例题二 平方差公式分解因式 典型例题三 完全平方公式分解因式 典型例题四 综合运用公式法分解因式 典型例题五 综合提公因式和公式法分解因式 典型例题六 十字相乘法 典型例题七 分组分解法 典型例题八 因式分解在有理数简算中的应用 典型例题九 因式分解的应用 知识01 分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·上海松江·单元测试）如果多项式能用分组分解法分解因式，则符合条件的，的一组整数值是 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查的是分组分解因式，公式法分解因式，如果多项式能用分组分解法分解因式，则前三项为完全平方公式，再与后一项组成平方差公式即可． 【详解】解：多项式能用分组分解法分解因式， ∴多项式可以为：， 则符合条件的一组整数值是，等． 故答案为：， 知识02 十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据题意可得，进而将进行分解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 的取值不可能是6 故选：A． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·上海嘉定·期中）通过计算几何图形的面积，可得到一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式: ． 【答案】 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，利用面积相等得出等式是解题关键．根据图形中的正方形和长方形的面积之和，与整体图形的面积相等，进而得出等式即可得解． 【详解】解：由面积相等可得：， 故答案为：． 知识点03 因式分解的平方差公式 基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【即时训练】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方差公式分解因式．根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·上海金山·期中）分解因式： （1） ， （2） 【答案】 / 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）； （2）． 故答案为：，． 知识点04 因式分解的完全平方公式 基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 【答案】D 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解、偶次方的非负性，将整理变形成，从而说明的值为负数． 【详解】∵ ∴的值为负数． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典型例题一 判断能否用公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 【例2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 【详解】令x2−3x−2=0， 则a=1，b=−3，c=−2， ∴x== ∴x2−3x−2=. 故答案为. 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式. 【例4】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【详解】解：A. 是与的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意； B. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； C. 是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； D. 两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 【答案】 ① ③⑤ 【详解】试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解． 根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 解：①﹣m2+9可直接应用平方差公式分解； ②﹣m2﹣9是两数的平方和的相反数，不能因式分解； ③2ab﹣a2﹣b2符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； ④a2﹣b2+2ab不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； ⑤将（a+b）看作一个整体，（a+b）2﹣10（a+b）+25符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解． 故能用平方差公式因式分解的有 ①；能用完全平方公式因式分解的有 ③⑤（填序号）． 故答案为①；③⑤． 考点：因式分解-运用公式法． 点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）已知，，求下列各式的值． （1）x2＋2xy＋y2； （2）x2－y2 【答案】（1）20；（2） 【分析】（1）先由已知条件得到，，，然后运用完全平方公式因式分解待求式，再整体代入计算即可． （2）运用平方差公式因式分解待求式，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， （1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的条件求值，解题的关键是运用乘法公式进行因式分解，用两个数的和、差与积表示待求式，利用整体代入的思想代入计算． 4．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）计算：（1）； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，因式分解，约分即可得到结果； （2）首先提取公因式，然后利用完全平方式将其因式分解． 【详解】（1）原式． （2）原式＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，完全平方式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【典型例题二 平方差公式分解因式】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）如果多项式可以运用平方差公式分解因式，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键；利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.可以运用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； B. ，不能因式分解，故该选项不符合题意；     C. 可以运用完全平方公式分解因式，故该选项不符合题意； D. ，不能因式分解，故该选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【答案】B 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，根据平方差公式可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海普陀·期中）下列多项式：①；②；③．分解因式后结果含有相同因式的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了公式法分解因式，熟练应用公式法分解因式是解题关键． ①利用平方差公式进行分解即可；②直接利用完全平方公式分解因式即可；③首先提取“”，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：① ； ② ； ③ ∴结果含有相同因式的是①③ 故答案为：①③． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）计算： (1)________，________； (2)观察上面式子：写出的结果，并进行简单推理． 【答案】(1)，； (2)，推理见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式，因式分解计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：3，； （2）解：． ． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 3．（2025·上海嘉定·模拟预测）整式A、B、C、D如表所示． 整式              整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当时，计算a和b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解、整式的除法、二元一次方程组，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用平方差公式分解因式即可得； （2）根据（1）的结果，计算整式的除法即可得；然后利用平方差公式和提取公因式法分解，最后根据建立关于的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：由表可知， ． （2）解：由表可知，，，，， ∴ ， ， ∵， ∴，， ∴，即， 联立， 解得． 4．（24-25七年级上·上海松江·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解； （3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）， ； （3）． 【典型例题三 完全平方公式分解因式】 【例1】（2025·上海闵行·模拟预测）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解：A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海金山·期末）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（     ） A．4xy B．2xy C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 【例3】（2025·上海嘉定·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用公式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，用张类正方形卡片、张类正方形卡片，张类长方形卡片，拼成一个大正方形，则拼成的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答． 【详解】解：由题意得：拼成的大正方形的面积， ∴拼成的大正方形的边长是， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）把下列各式因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，正确选用因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式分解即可； （3）原式整理后．运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算： （1）；             （2）； 因式分解： （1）；                               （2）； 【答案】计算：（1）；（2）；因式分解∶（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算． 计算：（1）利用单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先计算多项式乘多项式及单项式除以单项式，再合并同类项即可； 因式分解：（1）运用提公因式法分解即可； （2）直接运用完全平方公式分解即可． 【详解】计算： 解：（1）原式 ； （2） ； 因式分解∶ 解：（1）； （2）． 3．（24-25七年级上·上海金山·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展：若代数式，则的值_____． 【答案】(1) (2)1或7 【分析】本题考查的是利用完全平方公式与平方差公式分解因式，两数之积为0，则至少有1个数为0的含义； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）由（1）可得，再根据两数之积为0，则至少有1个数为0，从而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：或； 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解； （）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：令， ∴ ． 【典型例题四 综合运用公式法分解因式】 【例1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分别与各个选项结合看看是否可以分解因式，即可得出答案． 【详解】A.，此选项正确，不符合题意； B.，此选项错误，符合题意； C. ，此选项正确，不符合题意； D. ，此选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期末）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·上海闵行·期末）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可． 【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积， 即：， ∴根据图形写出一个多项式的因式分解为 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24七年级上·上海静安·阶段练习）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式进行分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先去括号，然后合并同类项，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 3．（24-25七年级上·上海长宁·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 4．（2024七年级上·上海·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题五 综合提公因式和公式法分解因式】 【例1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键； 根据分解因式的方法逐项判断即可得解. 【详解】解：A、，故该选项分解因式正确； B、，故该选项分解因式错误； C、不能分解因式，故该选项错误； D、，故该选项分解因式错误； 故选：A. 【例2】（2025·上海静安·模拟预测）甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【答案】D 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：， ， ． 故只有乙的正确， 故选：D． 【例3】（2025·上海闵行·模拟预测）代数式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（2025·上海静安·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式和公式法的综合应用，熟知以上知识是解题的关键．先提取公因式，再使用完全平方公式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）把下列式子分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接提取公因式的方法求解即可； （2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （3）先提取公因数，再利用完全平方公式的方法继续分解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解： ， ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解及代数式求值 (1) (2)先把分解因式，在求当时的值． 【答案】(1) (2)；2 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先把原式变形为，再提取公因式分解因式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）（1）将下列多项式因式分解： ① ② （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：． ②因式分解：． 【答案】（1）①；②；（2）①；②． 【分析】本题考查因式分解，理解整体思想是解答的关键． （1）①提公因式即可求解； ②先提公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①仿照例题解法步骤，令，然后利用完全平方公式求解即可； ②令，再利用整式乘法整理代数式，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①令， ∴原式 ； ②令， ∴原式 ． 【典型例题六 十字相乘法】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 【例2】（23-24七年级上·上海普陀·单元测试）解关于的方程的解应表示为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、约分、因式分解等知识，熟练掌握分式的性质是解题关键．等号两边同时除以，在将等号右边的分子和分母进行因式分解，然后约分即可． 【详解】解：， 则． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 【答案】或15 【分析】把等式右边展开，由对应相等得出，，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即可求出答案． 本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 故答案为或15 【例4】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）如果关于x的二次三项式(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 根据十字相乘法的分解方法和特点可知：的值应该是的两个因数的和，即7，2，，，从而得出m的值． 【详解】解：∵， 则的值可能为：， 故的值可能为：． 故答案为：，． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可． 【详解】 ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练地掌握因式分解的提公因式法、运用公式法等是解决本题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． （3）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（2024七年级上·上海闵行·专题练习）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，仿照题中例题求解过程分解因式即可． 【详解】（1）解：如图， 由图知． （2）解：如图， 由图知． （3）解：如图， 由图知． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 【典型例题七 分组分解法】 【例1】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 【例2】（24-25七年级上·上海长宁·期末）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法分别判断即可． 【详解】解：A．，正确； B．，正确； C．，正确； D．，原式分解不彻底，故不正确； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【例3】（23-24七年级上·上海·单元测试）分解因式： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 先将拆成，进而可化为两个多项式相乘的形式即可，对进行两次提取公因式即可． 【详解】解：原式：， ， ； 原式：， ， ． 故答案为：，． 【例4】（2024·上海奉贤·模拟预测）分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】按照分组分解法进行分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法是把各项适当分组，先根据各式的特点进行分组，再使分解因式在各组之间进行．；分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化；熟练掌握分解因式的方法是关键． 1．（2025七年级上·上海松江·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是合理分组，然后运用公式法（平方差公式、完全平方公式等）进行因式分解． （1）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，再提取公因式得出最终结果； （2）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果； （3）先通过对多项式进行适当分组，使分组后的式子能运用公式进行因式分解，得出最终结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 3．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 4．（2025七年级上·上海松江·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题八 因式分解在有理数简算中的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海崇明·阶段练习）计算 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握提公因式法．首先提取公因式，得到，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 【例2】（2025·上海崇明·模拟预测）若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 【例3】（2025七年级上·上海松江·专题练习）简便计算： ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：25 ． 【例4】（24-25七年级上·上海静安·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1； 【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算． 3．（2024·上海徐汇·模拟预测）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数． (1)验证和这两个数是否为神秘数； (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由． 【答案】(1)和这两个数都是神秘数 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据定义，利用平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴和这两个数都是神秘数； （2）解：是，理由如下 ∵这两个连续偶数构造的神秘数为 ∵取非负整数 ∴由和造的神秘数是的倍数 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．（2024·上海徐汇·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【详解】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 【典型例题九 因式分解的应用】 【例1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，将长方形分成四个面积分别为的小长方形，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了因式分解的应用，表示出长方形的面积，再分解因式求解即可． 【详解】解：根据题意可得长方形的面积 ， 当时，不符合图形； 当时，符合图形； 故， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）设，若实数满足，且，则（    ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，将变形为，，得，分解因式可求出． 【详解】解∶ ∵， ∴， ∴， ，得 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 【例3】（24-25七年级上·安徽宿州·期中）如果，那么 ． 【答案】37 【分析】本题考查了因式分解的运用，先关根据求出，然后利用完全平方公式把分解成，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 即， ∴ ． 故答案为：37． 【例4】（2025七年级上·上海徐汇·模拟预测）某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 【答案】2453（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，其中灵活应用平方差公式是解题的关键．将进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字． 多项式因式分解后呈现的密码信息可以是：2453． 故答案为：2453（答案不唯一）． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，求代数式的值 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先将代数式进行因式分解，再整体代入，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：, 把代入原式， 原式． 2．（24-25七年级上·上海松江·课后作业）下面的判断是否正确，为什么？ (1)对于所有的自然数n，的末位数都不是2； (2)对于所有的自然数n，的值都是偶数． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． （1）根据0到9的数的平方的末位数只能为0，1，4，5，6，9进行判断； （2）由于，一定是偶数，即可进行判断． 【详解】（1）解：正确，理由如下： 因为末尾是0~9的自然数的平方的末尾数只能是0，1，4，5，6，9中的一种，不可能是2， 所以对于所有的自然数n，的末位数都不是2； （2）解：正确，理由如下： 因为，n与中一定有一个是偶数， 所以一定是偶数，即一定是偶数， 所以对于所有的自然数n，的值都是偶数． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．解题的关键是理解新定义的意思． （1）根据“优美数”的定义进行计算即可； （2）根据“优美数”的定义进行解答即可； （3）通过因式分解得，根据“优美数”的定义，列出k的方程求得k即可． 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中） (1)如图1，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (2)如图2，从边长为8的正方形中剪掉边长为7的正方形，从边长为6的正方形中剪掉边长为5的正方形，……，从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____； (3)如图3，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，从边长为的正方形中剪掉边长为的正方形，……．从边长为2的正方形中剪掉边长为1的正方形，剩余部分（图①中阴影部分）拼成图②所示的长方形，验证的等式为_____，请你说明等式的正确性； (4)某地想打造如图4所示的立体同心圆花坛，相间栽种绿植和花，俯视图如图5所示，每个圆环的宽度均为，一共12个同心圆，即最内圈圆的半径为，最外圈圆的半径为，阴影部分为绿植，绿植的栽种总面积为是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握平方差公式的灵活运用． （1）根据图①和图②分别求出阴影与长方形的面积，再由阴影与长方形的面积相等列出等式即可； （2）根据图①和图②分别求出阴影与长方形的面积，再由阴影与长方形的面积相等列出等式即可； （3）根据（1）（2）总结得出，再根据计算即可； （4）根据题意得出绿植的栽种总面积为：，再运用（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：图1中，图①阴影部分的面积为， 图②长方形的面积为， ∴， 故答案为：． （2）解：图2中，图①阴影部分的面积为 ， 图②长方形的面积为， ∴， 故答案为：． （3）解：图3中，验证的等式为 ∵ ∴． （4）解：图4中，绿植的栽种总面积为： ． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公式法分别判断即可． 【详解】A．，故原选项错误； B． ，故原选项错误； C． ，故原选项错误； D． ，故原选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 2．（23-24七年级上·上海虹口·期末）若是多项式（m为系数）的一个因式，则m的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，利用十字相乘法很容易确定的值，解题的关键是熟练掌握十字相乘法． 【详解】解：∵多项式分解因式后含有因式， ， 则， 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，5，，a，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”， 故选：A． 5．（24-25七年级上·上海闵行·期中）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键． 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为， 图2中的阴影部分的面积为， ∴， 故答案为∶D． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了完全平方公式因式分解和平方差公式分解因式，根据式子特点灵活选用恰当的方法是解题的关键； 首先得到，，然后得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：1． 7．（23-24七年级上·上海松江·单元测试）因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可； （2）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解，熟记公式并正确求解是解答的关键． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： ． 分解因式： ． 计算：的结果是 ． 【答案】 404600 【分析】观察式子形式，采取合适的因式分解方法即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；；404600． 【点睛】本题考查了因式分解的相关方法：提公因式法、公式法等，掌握相关方法是解题关键． 9．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知a，b两个数落在隐去原点的数轴上，有下列说法：①；②；③，其中正确的是 ．（只填写序号）    【答案】①③/③① 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，绝对值的运用，根据数轴得到，，然后结合有理数的运算法则进行计算即可得出结果． 【详解】解：根据数轴得，． ①中，，故①正确； ②中，若，则，故②错误； ③中，，由，则故③正确． 正确的有①③． 故答案为：①③． 10．（23-24七年级上·上海闵行·期末）阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：= ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海松江·期中）分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可求解； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·上海金山·期末）按照要求解答一下两个小题． (1)分解因式：； (2)用因式分解计算： 【答案】(1) (2)70000 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，利用平方差公式分解因式； （1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用． （1）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（23-24七年级上·上海宝山·期末）通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 又，， 原式． （3）解： ． 15．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】(1)， ， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$