数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点一 裂项相消法 1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，解得，故， 故， 因此的前2025项和为， 故选：C 2．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， 则 . 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽·期中）设数列满足，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当 时，. 当时，利用递推关系：, 因此，（）. 当 时，项为 , 当时，项为, , 将的项与剩余项相加：. 故选：A. 4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，则，， 而时，满足，故对，， 故. 故选：B. 5．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 当时，， ∴. ∴， ∴. 故答案为：. 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知数列的前项和为，，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，所以 ． 故答案为：． 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在数列中，，数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以数列的前项和． 故答案为： 8．（24-25高二下·四川甘孜·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前项和为 ． 【答案】 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 9．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在数列中，，点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）点在直线上， ∴， ∴，又， ∴数列为首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1） ，得证. 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知得， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得 ， 则； （2）依题意得， ， 则， 又，所以，所以， 即． 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 所以，又数列是各项都是正数的数列，， 所以，， 当时，有， 所以， 所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 裂项得，证毕. 12．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1），， ，即， 解得. （2）有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. （3） ， 故数列的前项和. 13．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，． (1)求及数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1） ， 令，则为首项为1，公差为1的等差数列 即； ； （2） 由累加法，得：． 14．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知等差数列的首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前n项和，若，求正整数n的值． 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，因， 则，解得，所以， 故数列的通项公式为． （2）由（1）知，则， 所以． 由，即，解得， 故满足的正整数n的值为16． 考点二 错位相减法 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】因为， 所以， 两式相减可得， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】由题， ， 又符合上式，所以 则，①， ，②， 由①-②，得， 所以， 若对于恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，所以，所以. 故选：B 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）数列的通项公式为，则的前项和为 （用含的式子表示）. 【答案】 【详解】因为， 所以，① 则，② 由①-②得， ， 故. 故答案为： 6．（24-25高二下·四川内江·期中）设为数列的前项和，已知，，则 . 【答案】 【详解】由可得， 令，则，∴又，，∴； ①， ②， ①减②得：， ∴，∴. 故答案为：. 7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， ， ， 则 ， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设数列的前项和为，且，则数列的前项和为 . 【答案】 【详解】由，得， 当时，，解得； 当时，，整理得， 则，数列是常数列，因此， ，，设数列的前项和为， ， 于是， 两式相减得， 则，所以数列的前项和为. 故答案为： 9．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 10．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）因为， 取可得，又， 所以，解得， 当时，用替换可得， 所以， 即， 所以，又， 即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即． （2）因为， 所以，① ，② ①－②得 所以， 所以． 11．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由成等差数列，得， 又因为的公比为2，所以，解得， 所以. （2）由（1）知，所以， 则，① 所以，② ①-②，得 ， 所以. 12．（2025·河南许昌·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，解得或（舍）； 当时，由，得， 所以， 即，整理得， 又的各项均为正数，所以， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得:， 所以. 13．（24-25高二下·广西来宾·期中）在数列中，，且满足，数列的前项和为，且． (1)求和的通项公式； (2)令，记的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1），， 是首项为2，公比为2的等比数列，即； 由，当时，， 当时，，也满足， ， （2）， ， ① ②， ①②可得 即， ． 14．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由数列的前项和为，可知， ， 经检验当时，也满足上式，所以． 在等差数列中，因为，， 所以，解得， 所以． （2）由（1）知，， 所以． 则， 两式相减，得 化简得：． 15．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前项和为， （i）求； （ii）若，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）5 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减可得，即，                               因为，所以，所以是首项为1，公差为-1的等差数列， 可得 所以数列的通项公式为. （2）（i）由（1）知，可得， 由，可得， 两式相減得 ， 可得，所以数列的前项和为； （ii）因为，所以数列是递减数列，                   又因为，所以的最大值为5. 16．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知数列的前项和为且 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，由，得. 当时，， 所以，所以， 所以是首项为4，公比为3的等比数列， 故. （2）由（1）知， 所以，所以. 令，则， 两式相减得 ， 所以. 因为，所以. 考点三 分组与并项求和 1．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是数列的前n项和，，则（    ） A．2575 B．3435 C．4345 D．5135 【答案】B 【详解】由题知 . 故选：B 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 【答案】B 【详解】当且为奇数，， 当且为偶数，，则， 而，则，，，依次类推有， 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等差数列中，，，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，由可得， 所以，故， 对任意的，， 所以数列的前项和为. 故选：D. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，可得，且， 所以，，，，， 所以 . 故选：B 5．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习·多选）数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 【答案】ACD 【详解】由题意，数列满足，， 当时，，，当时，， 当时，；若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，， 所以数列是以4为周期的周期数列.，A正确； ，B错误； ，是公差为的等差数列，C正确； 由上述讨论可知，是周期为4的周期数列， 因为与除以4所得余数相等，所以D正确. 故选：ACD. 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习·多选）已知数列满足，，则（    ） A．当为奇数时， B．当为偶数时， C． D．数列的前项和为 【答案】BCD 【详解】令，由已知可得，， 所以，又，所以，; 令，所以，当为奇数时，，故A错误； 令，所以，当为偶数时，，故B正确； 由B可知，，令， 由已知可得，， 所以，综上，故C正确； 前项中的奇数项和， 前项中的偶数项和， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高二下·云南昭通·期中·多选）已知数列的首项，且满足，则（   ） A． B．数列为等比数列 C．数列的前项和为 D．数列的通项公式为 【答案】AB 【详解】由，易知，则，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，即， ，，故A正确，D错误； 又，故C错误. 故选：AB. 8．（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，，，则 ． 【答案】24 【详解】因为，，所以，即. 又①， 则②， 由②-①，得， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，， 所以，， 所以 . 故答案为：24. 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为 . 【答案】 【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项构成以为首项，公差为的等差数列； 当为偶数时，，即数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， 显然数列中的每一项均为正整数，则数列为递增数列， 当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 而，， ，， 所以满足的正整数的所有取值集合为. 故答案为： 10．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）依题意，，当 时， ，当时， ， 则，，而，则， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式 （2）由（1）知， ，则 ， ， 所以 . 11．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知，所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记. (1)若数列为等差数列，求的公差. (2)设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)1 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 则，，. 因为数列为等差数列，所以，即，解得， 所以的公差为. （2）①解：当时，， 当时，， 故的通项公式为 ②证明：当时，，满足. 当时，， 则 . 综上. 13．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且，. (1)设，求数列的通项公式； (2)探究数列的单调性； (3)证明：. 【答案】(1) (2)数列单调递增 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，故. 又， 所以数列是以为首项，9为公比的等比数列， 故，所以. （2）因为，所以， 因为， 所以数列单调递增. （3）易得，由（2）可得， ， 因为，所以. 综上，. 14．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知数列的前n顶和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)，. 【详解】（1）当时，可得：； 当时，，， 两式相减，得，即， 所以当时，是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以， 因为不满足上式， 所以 （2）当时，； 当时，，所以， ∴ ， 时，，上式也成立. ∴，. 15．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【答案】(1) (2)681 【详解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，， 可得，解得：（负的舍去）， 则， （2） ∴ . 17．（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时，. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 则， 解得：，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 当为偶数时， . 当为奇数时，. 所以当为偶数时，；当为奇数时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点一 裂项相消法 1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·期中）设数列满足，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏银川·二模）已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和 . 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知数列的前项和为，，则 ． 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在数列中，，数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为 ． 8．（24-25高二下·四川甘孜·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前项和为 ． 9．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在数列中，，点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列的前n项和. 10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 12．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 13．（2025·辽宁鞍山·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知且满足关系式，． (1)求及数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 14．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知等差数列的首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前n项和，若，求正整数n的值． 考点二 错位相减法 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 4．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）数列的通项公式为，则的前项和为 （用含的式子表示）. 6．（24-25高二下·四川内江·期中）设为数列的前项和，已知，，则 . 7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则 ． 8．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设数列的前项和为，且，则数列的前项和为 . 9．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 10．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 11．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 12．（2025·河南许昌·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 13．（24-25高二下·广西来宾·期中）在数列中，，且满足，数列的前项和为，且． (1)求和的通项公式； (2)令，记的前项和为，求． 14．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 15．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)若，数列的前项和为， （i）求； （ii）若，求的最大值. 16．（24-25高二下·陕西·阶段练习）已知数列的前项和为且 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和 考点三 分组与并项求和 1．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是数列的前n项和，，则（    ） A．2575 B．3435 C．4345 D．5135 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列满足，且，则的前50项的和为（    ） A．36 B．39 C．41 D．45 3．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等差数列中，，，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习·多选）数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 6．（23-24高二下·重庆·阶段练习·多选）已知数列满足，，则（    ） A．当为奇数时， B．当为偶数时， C． D．数列的前项和为 7．（24-25高二下·云南昭通·期中·多选）已知数列的首项，且满足，则（   ） A． B．数列为等比数列 C．数列的前项和为 D．数列的通项公式为 8．（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，，，则 ． 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，，，，则满足 的正整数的所有取值集合为 . 10．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列满足：． (1)若，求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求． 11．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求出与实数m的取值范围． 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记. (1)若数列为等差数列，求的公差. (2)设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 13．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且，. (1)设，求数列的通项公式； (2)探究数列的单调性； (3)证明：. 14．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）已知数列的前n顶和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前n项和. 15．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（24-25高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$