精品解析：河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

汝阳县2024~2025学年第二学期期中学科素养检测卷 八年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内，每小题3分，共30分．） 1. 计算的结果是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行计算即可. 【详解】，故选D. 【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答的关键. 2. 无论取什么数，总有意义的分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次幂具有非负性可得x+3>0，再由分式有意义的条件可得答案． 【详解】∵x⩾0， ∴x+3>0， ∴无论x取什么数时,总有意义的分式是， 故选A. 【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质. 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 4. 一次函数y=2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数y=2x+1中k=2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式． 【详解】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图像上有一点(6,8)， 故设反比例函数解析式为I=， 将(8,6)代入函数解析式中， 解得k=48， 故I= 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键． 6. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数的解析式是 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 C. 正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大 D. 当或时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式和，可判断A错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，D正确，即可选出答案． 【详解】解：根据正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，即可设，， 将分别代入，求得，， 即正比例函数，反比例函数，故A错误； 另一个交点与关于原点对称，即，故B错误； 正比例函数随x的增大而减小，而反比例函数在第二、四象限的每一个象限内y均随x的增大而增大，故C错误； 根据图像性质，当或时，反比例函数均在正比例函数的下方，故D正确． 故选D． 【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键． 7. 在中（如图），连接，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ABCD ∴∠DCA＝∠CAB， ∵∠DCA+∠ACB，， ∴40º+80º=120º， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用． 8. 如果把中x和y都扩大5倍，那么分式的值(　　) A. 扩大5倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】将原分式中x、y都扩大5倍后再与原分式比较即可. 【详解】将原分式中的x、y扩大5倍后得，因此把原分式中的x和y都扩大5倍，分式的值不变. 【点睛】本题主要考查分式的化简，熟练掌握分式的化简方法是解答本题的关键. 9. 如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求-kx-b<0的解集，即为kx+b>0，就是求函数值大于0时，x的取值范围． 【详解】∵要求−kx−b<0的解集，即为求kx+b>0的解集， ∴从图象上可以看出等y>0时，x>−3. 故选B 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象进行解答. 10. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先可由y随x的增大而增大确定 x 的系数 ，再根据函数图象经过点，写出符合题意的函数表达式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为 ， ∵y 随 x 的增大而增大， ∴， ∵函数图象经过点， ∴ ∴函数表达式可以是 ， 故答案为： （答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 12. 随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相关书籍的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该书籍，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握利用“进价 = 总花费÷购进数量” ，结合等量关系列方程是解题的关键．先分别表示出第一次和第二次购进书籍的进价，再根据“两次进价相同”这一条件来列方程．第一次进价是用第一次的总花费除以第一次购进的数量，第二次进价是用第二次的总花费除以第二次购进的数量，利用进价相等建立等式． 【详解】解：设该书店第一次购进套， ∵第一次用2000元购进，数量为套， ∴第一次进价为 ∵第二次数量比第一次多50套， ∴第二次数量是套， ∵第二次用3000元购进， ∴第二次进价为 ∵两次进价相同， ∴ 故答案为： ． 13. 小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为__________km． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得，小明从图书馆回家用的时间是：55﹣（10+30）=15（分钟）， 则小明回家的速度为：， 故他离家50分钟时离家的距离为：， 故答案为：0.3； 14. 如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15. 已知为实数，，．【分析】以上关系式．下列结论正确的序号为_______．①；②；③；④ 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】先将代入和的表达式，分别化简计算，再判断与的大小关系．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： 对化简： 则 对化简： 则 故答案为：②④ ． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）-12；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的求法，负整数指数幂定义，零指数幂的定义依次化简后计算即可； （2）先去分母化为一元一次方程，求解后验根即可得到原方程的解． 【详解】（1）原式 （2）方程两边同时乘以，得． 解这个整式方程，得， 检验：把代入，得， 所以，是原方程得解． 【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握平方根的求法，负整数指数幂定义，零指数幂的定义，解分式方程的方法是解题的关键. 17. 已知直线与双曲线交于点P()． （1）求m的值； （2）若点、在双曲线上．且，试比较的大小． 【答案】（1）m=2；（2）y1＜y2． 【解析】 【详解】（1）根据点P（-1，n）在直线y=-3x上求出n的值，然后根据P点在双曲线上求出m的值； （2）首先判断出m-5的正负，然后根据反比例函数的性质，当x1＜x2＜0，判断出y1，y2的大小． 解：（1）∵点P（-1，n）在直线y=-3x上， ∴n=-3×（-1）=3， ∵点P（-1，3）在双曲线y=上， ∴m-5=-3， 解得：m=2； （2）∵m-5=-3＜0， ∴当x＜0时，图象在第二象限，y随x的增大而增大， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y=上，且x1＜x2＜0， ∴y1＜y2． 18. 先化简，再求值： (1)，其中a＝2，b＝； (2)先化简：，然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值． 【答案】（1）6（2）4 【解析】 【分析】（1）将a＝2，b＝代入原式，计算求解即可；（2）先化简原式然后根据题意选取一个合适的x值代入计算即可. 【详解】(1)== 将a＝2，b＝ 代入，得原式＝=6. (2)原式＝ 其中即x≠1.又∵－2<x≤2且x为整数， ∴x＝2. 当x＝2时，原式＝＝4. 【点睛】本题主要考查分式的化简和分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则和完全平方公式是解题的关键. 19. 一方有难，八方支援．武汉疫情牵动着全国人民的心．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两车沿同一路线向武汉运送救援物资，乙车需要携带一些医疗设备，比甲车晚出发1.25小时（从甲车出发时开始计时）．图中的折线（OABD）、线段（EF）分别表示甲、乙两车所走的路程 （千米）、 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系，出发地距武汉480千米．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了 小时； （2）请直接写出点C的坐标，并解释C点所表示的实际意义； （3）求直线BD的表达式（不写x的取值范围）． 【答案】（1）1.9；（2），甲乙两车在距出发地380千米处第二次相遇．（答案不唯一，合理即可）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据图中AB段的横坐标即可求解； （2）两直线交汇处表示两车相遇，首先根据题意求得乙的速度，然后计算4.75个小时行走的路程即可获得C点的纵坐标； （3）根据待定系数法求直线BD的表达式，代入B、D两点坐标即可求解． 【详解】（1）停留时段为AB所在时段：4.9-3=1.9（小时） （2）乙车的速度为：km/h ∴在6-1.25=4.75个小时，行走的路程为：km ∴C点坐标为 ∴C点表示的实际意义为：甲乙两车在距出发地380千米处第二次相遇．（答案不唯一，合理即可） （3）设直线BD的表达式为， 由（2）可知点C得坐标为，由图象可知点D得坐标为， ∵点C、D均在直线BD上， ∴ 解得 ∴直线BD得函数表达式是． 【点睛】本题考查了一次函数实际应用中的路程问题，待定系数法求函数解析式，属于基础题型，关键是读懂函数图像，并提取有效信息． 20. 如图，分别延长的边到，使，连接，分别交于，连接．求证： （1） （2） （3） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，熟练掌握平行四边形性质和全等三角形判定方法是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得到角相等，结合已知边相等，通过全等三角形（和 ）证明对应边相等． （2）依据平行四边形性质得出角和边的关系，结合（1）中结论，通过全等三角形（和 ）证明对应角相等． （3）由平行四边形对边平行得角相等，再结合（2）中角相等，通过角的运算证明内错角相等，进而证两直线平行． 【小问1详解】 证明：在中，， ， 又 ， 【小问2详解】 证明：在中，， 又 ， ． 【小问3详解】 证明： ． 又 ， 21. 四个角都是直接的四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． （1）直接写出三点的坐标； （2）将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、坐标平移、反比例函数的性质，熟练掌握矩形对边平行且相等、坐标平移规律、反比例函数的应用是解题的关键． （1）求、、三点坐标：根据矩形性质，垂直轴，平行轴，结合点坐标、和的长度确定坐标． （2）求平移距离和反比例函数解析式：先得出平移后、坐标，利用反比例函数（、在反比例函数上，值相等）列方程求，再代入求． （3）求的面积：确定、坐标，用三角形面积公式（以为底，纵坐标为高 ）计算． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，轴，，，垂直于轴 点的横坐标与相同，纵坐标为，即 ，轴， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 四边形是矩形，， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 【小问2详解】 解：矩形向右平移个单位，平移后，平移后 、在上， 即 两边同乘得： 展开： 移项： 合并：，解得 ， 则， 反比例函数解析式为 【小问3详解】 解：由平移知平移后，即，， 在轴投影长度纵坐标 在轴投影长度为，纵坐标为 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，分别连接． （1）； （2）求面积； （3）若在平面内存在一点P，使以点为顶点的四边形为平行四边形，请在图中画出平行四边形（不写画法），并直接写出点P的坐标（写出一个即可）． 【答案】（1），， （2） （3）图见解析，P点坐标为或或（写出一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质，熟练掌握函数与几何图形性质，运用坐标分析图形关系是解题关键． （1）利用函数图象上点的坐标满足函数表达式，将点代入对应函数求未知参数．把点代入一次函数和反比例函数，求出与，再将点代入一次函数求 ； （2）先找一次函数与轴交点，得长度，把拆成和，依据三角形面积公式，结合、横坐标绝对值计算面积； （3）依据平行四边形对边平行且相等的性质，通过平移、等线段，结合、、坐标确定点可能位置 ． 【小问1详解】 解：把代入一次函数，得， 代入得，， 把代入，解得． 【小问2详解】 解：对于，当时， 又∵ ； 【小问3详解】 解：点如图所示， 当、为邻边时，平移使与重合，平移后得； 当、为邻边时，平移使与重合，平移后得； 当、为邻边时，平移使与重合，平移后得 ． 故点坐标可为或或（写出一个即可） 23. 有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；……第n个数是． （1）经过探究，我们发现：．设这列数的第5个数为a，你认为下列三个式子正确的是_______． ①，②，③； （2）请你观察第1个数，第2个数，第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数n表示第n个数），并且证明“第n个数与第个数的和等于”； （3）设，求证：． 【答案】（1）② （2）第个数为，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分规律、数列的规律探究以及不等式的放缩证明，熟练掌握分式拆分技巧和数列规律推导、放缩法的运用是解题的关键． （1）根据数列规律得出第5个数表达式，再结合已知的拆分形式判断． （2）先根据数列规律猜想第个数的表达式，再通过分式拆分、化简证明第个数与第个数的和的等式． （3）通过对进行放缩，利用相邻分式差的形式累加，推导的范围． 【小问1详解】 解：第5个数，又已知，当时，，即， ∴②正确． 故答案为：②； 【小问2详解】 解：由题意猜想第个数为， 由(1)可知第n个数为， ， 即第n个数与第个数的和等于； 【小问3详解】 解：， ， ， …… ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汝阳县2024~2025学年第二学期期中学科素养检测卷 八年级数学 （总分120分，时间100分钟） 一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内，每小题3分，共30分．） 1. 计算的结果是(　　) A. B. C. D. 2. 无论取什么数，总有意义的分式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数y=2x+1图象不经过下列哪个象限（　　） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知蓄电池电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数的解析式是 B. 两个函数图象的另一交点坐标为 C. 正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大 D. 当或时， 7. 在中（如图），连接，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如果把中的x和y都扩大5倍，那么分式的值(　　) A. 扩大5倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 9. 如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个经过点，且y随x增大而增大的一次函数___________． 12. 随着电影《哪吒2》的热映，其哪吒相关书籍的销量也急剧上升．某书店分别用2000元和3000元两次购进该书籍，第二次数量比第一次多50套，两次进价相同．设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程为_______． 13. 小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为__________km． 14. 如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则的度数为______． 15. 已知为实数，，．【分析】以上关系式．下列结论正确的序号为_______．①；②；③；④ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 已知直线与双曲线交于点P()． （1）求m的值； （2）若点、在双曲线上．且，试比较的大小． 18 先化简，再求值： (1)，其中a＝2，b＝； (2)先化简：，然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值． 19. 一方有难，八方支援．武汉疫情牵动着全国人民的心．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两车沿同一路线向武汉运送救援物资，乙车需要携带一些医疗设备，比甲车晚出发1.25小时（从甲车出发时开始计时）．图中的折线（OABD）、线段（EF）分别表示甲、乙两车所走的路程 （千米）、 （千米）与时间x（小时）之间的函数关系，出发地距武汉480千米．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲车在途中停留了 小时； （2）请直接写出点C的坐标，并解释C点所表示的实际意义； （3）求直线BD的表达式（不写x的取值范围）． 20. 如图，分别延长的边到，使，连接，分别交于，连接．求证： （1） （2） （3） 21. 四个角都是直接四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． （1）直接写出三点的坐标； （2）将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，分别连接． （1）； （2）求的面积； （3）若在平面内存在一点P，使以点为顶点的四边形为平行四边形，请在图中画出平行四边形（不写画法），并直接写出点P的坐标（写出一个即可）． 23. 有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；……第n个数是． （1）经过探究，我们发现：．设这列数的第5个数为a，你认为下列三个式子正确的是_______． ①，②，③； （2）请你观察第1个数，第2个数，第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数n表示第n个数），并且证明“第n个数与第个数的和等于”； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$