湖北省孝感市安陆市第一高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学模拟卷

2024-2025湖北省安陆一直高一下学期期末数学模拟卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.样本101，98，102，100，99的平均数为(    ) A. 101 B. 100 C. 99 D. 2.设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为    A. 2 B. 3 C. 5 D. 2或3 3.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为(    ) A. B. C. D. 4.已知平面向量，且，则  A. B. C. D. 5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 6.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩满分100分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为(    ) A. a的值为 B. 估计这组数据的众数为75分 C. 估计这组数据的第85百分位数为85分 D. 估计成绩低于60分的有250人 7.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的最大值为      A. B. C. D. 8.如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10.已知虚数，，则    A. B. C. D. 是方程的一个根 11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且，下列命题正确的是        A. 周长为 B. C. 的外接圆半径为 D. 中线CD的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，若向量与垂直，则          . 13.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为，再由D向塔前进米后到E，测得塔顶的仰角为，则          ，塔高为          米. 14.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面底面ABCD，且，则该四棱锥的外接球的表面积为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知复数z和它的共轭复数满足 求 若z是关于x的方程的一个根，求复数的模长. 16.本小题15分 已知为三个内角的对边，且 求A； 若，的面积为，求 17.本小题15分 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上. 若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值； 若，，求的取值范围. 18.本小题17分 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 求频率分布直方图中a的值； 估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； 从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 19.本小题17分 三余弦定理：如图1，设A为平面外一点，过A点的斜线AB在平面上的正投影为直线为平面上的一条直线，记斜线BA与正投影线BO的夹角即BA与平面所成角为，正投影线BO与直线BP的夹角为，斜线BA与直线BP的夹角为，则三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． 证明三余弦定理； 如图2，已知四面体ABCD的各条棱长均相等，E，F分别是棱AD，BC的中点．G为直线BD上的一动点，求直线EF与直线AG所成角的余弦值的最大值； 如图3，已知平行六面体，记平行六面体体积为V，表面积为S，棱长总和为l，求证： 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 根据平均数的计算公式，属于基础题. 直接计算平均数，即可得出结果． 【解答】 解： ； 故选： 2.【答案】B  【解析】解：由是纯虚数， 得，解得， 即实数a的值为 故选： 3.【答案】D  【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 则由题意可得， 解得， 所以圆锥的体积为 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了平面向量坐标运算及平行向量的性质，考查了计算能力，属于基础题. 由向量平行的性质，可推出m的值，进而由平面向量的坐标运算求出 【解答】 解：因为，，由， 可得：故， 因而 所以 ， 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了列表法求概率，属于基础题． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】 解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲，乙 锤 剪子 包袱 锤 锤，锤 锤，剪子 锤，包袱 剪子 剪子，锤 剪子，剪子 剪子，包袱 包袱 包袱，锤 包袱，剪子 包袱，包袱 由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：锤，锤、剪子，剪子、包袱，包袱 甲和乙平局的概率为： 故选： 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查频率分布直方图，平均数，中位数，众数，百分位数等问题，属于中档题. 由频率分布直方图面积之和为1可计算a从而判断A，由众数定义可判断B，计算低于分的人数即可判断D，根据百分位数的定义计算即可判断 【解答】 解：根据频率分布直方图可知：，即，故A正确； 由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确； ，故成绩低于分的有250人，即D正确； 由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第85百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第85百分位数为m， 则有， 故，即估计这组数据的第85百分位数为86分，故C错误． 故选： 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及利用基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力，属于较难题． 由正弦定理和条件得，由余弦定理及基本不等式得到，根据面积公式求出面积的最大值．  【解答】 解：， ，又， 则，， 由余弦定理及， 得，  ， 又，得，当且仅当时取等号， 的面积 当时，的面积S有最大值，  故选  8.【答案】A  【解析】解： ，M为BC的中点， ，故， 设，则点M到地面的距离为， ，， 射影是以A为直角顶点的， ， 在直接梯形中，， 即， 设AM与平面所成角为， 则当时取等， 当平面ABC与平面垂直时，，此时投影在一条线上，不符合题意， 所以 故选： 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理和性质定理是解题关键，属于基础题. 根据线面的位置关系对每个选项进行判断． 【解答】 解：由，，得，又由，得，A正确； 由，，得，又由，得，B正确； 若，，，m，n可能平行也可能是异面直线，C错误； 由面面垂直的性质定理知D正确． 故选： 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查复数的模，共轭复数，复数的乘法、除法运算，属于中档题. 利用复数的四则运算，结合复数的模和共轭复数，逐项计算得结论. 【解答】 解：对于A选项：因为，， 所以， 因此，故A选项错误； 对于B选项：因为，， 所以，， 因此，即，故B选项正确； 对于C选项：因为，， 所以，故C选项正确； 对于D选项：因为， 所以是方程的一个根，故D选项正确. 故选 11.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，向量的数量积，属于中档题. 利用正弦定理得，设，，，利用三角形面积的新公式得，从而得，，，计算三角形周长得A不正确，利用余弦定理求得，再利用三角形内角和判定得B正确，再利用正弦定理可求得外接圆半径长得C正确，再利用向量的数量积求得中线长得D不正确，从而得结论. 【解答】 解：因为满足， 所以由正弦定理得： 设，，， 因为的面积， 所以， 解得，即，， 对于A、的周长为：，因此A不正确； 对于B、由余弦定理得：， 而C是三角形内角，因此，因此B正确； 对于C、由正弦定理知：外接圆直径为， 则外接圆半径为，因此C正确； 对于D、因为CD是的中线， 所以， 因此 ， 即，因此D不正确. 故选 12.【答案】7  【解析】【分析】 本题主要考查向量垂直的充要条件及向量的坐标运算的应用，属于基础题. 根据向量的坐标运算法则和向量垂直的充要条件可得结果. 【解答】 解：因为向量， 所以， 又向量与垂直， 则有， 解得 故答案为 13.【答案】 ；  ； 15  【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的实际应用，关键是将实际问题转化为解三角形的问题解答，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 先根据题目的条件计算边长，再结合余弦定理求解角的大小，最后结合三角函数求解塔的高度即可. 【解答】 解： ， 故，故，  ， 在中，， ， ， ，则， 在中，， ，即塔高为15米， 故答案为； 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于较难题． 由题意球的底面外接圆的半径及圆心，过圆心做垂直于底面的垂线，求出三角形PAB外接圆的半径及圆心G，进而求出圆心到AB的距离GE，则再过G做面PAB的垂线交于O，则O为外接球的球心，连接，OC，在三角形中求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【解答】 解：如图分别作出正方形的中心， 三角形PAB的外心G，取AB的中点E，连EG，， 因为， 所以P，G，E共线，且， 又侧面底面ABCD，侧面底面，侧面PAB， 所以平面ABCD， 又平面ABCD， 所以， 以EG，为邻边作一个矩形，如图， 其中点O就是该外接球的球心， 中，，， 又余弦定理得： ， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 在中 ， 即可求得外接圆的表面积为， 故答案为： 15.【答案】解：设， 则， 则3z， 所以，解得，， 故； z是关于x的方程的一个根， 是关于x的方程的另一个根， ，解得，，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：在中，， 利用正弦定理可得，，，代入上式并约去2R得： ， 而， ， ， 为三角形内角，，， ，即， ， 为三角形内角，， 若，的面积为， 则， ①， 又由余弦定理可得， ②， 由①②解得  【解析】本题考查正、余弦定理和三角形的面积公式，涉及两角和与差的三角函数公式和辅助角公式，属于中档题. 用正弦定理将已知式子中的边转化成角的正弦，利用两角和与差的正弦公式化简整理，并结合辅助角公式求解，注意角的范围； 先通过三角形的面积公式求出bc，再借助余弦定理求得，进而求解. 17.【答案】解：由题意知， 因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点， 所以， 在矩形ABCD中，，， 所以， 即，， 则 以AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设，其中； 则：，；，； 所以，其中； 当时取得最小值为， 或时取得最大值为2， 所以的取值范围是  【解析】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 由题意用、表示出，求出、的值，求和即可． 建立平面直角坐标系，用坐标表示、，计算的取值范围即可． 18.【答案】解：因为， 所以 由所给频率分布直方图知， 50名受访职工评分不低于80的频率为 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 受访职工中评分在的有：人，记为，，； 受访职工中评分在的有：人，记为，， 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 它们是 又因为所抽取2人的评分都在的结果有1种，即， 故所求的概率为  【解析】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率，属于中档题． 利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a； 对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率； 求出评分在的受访职工和评分都在的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答． 19.【答案】证明：如图，引于C点，连接AC， 平面，，平面，， ，OC、平面AOC，平面AOC， 平面AOC，， 、、均为直角三角形， ，，， 易知，得证; 把四面体放入如图所示的正方体，由三余弦定理知， 直线EF与直线AG所成角最小值为直线EF与平面ABD所成的角，连接BE，由正方体性质知平面BCE， 平面ABD，平面平面BCE，平面平面， 在平面ABD内的正投影为BE，即直线EF与平面ABD所成的角为，在中，， 令，得，， 证明：设，，，，， 由平行六面体的对称性，不妨令，，直线与底面ABCD所成角为， 由三余弦定理可得，，即，， 由题意得， ， ， ， ， ， 当且仅当且时等号成立. 即   【解析】本题考查立体几何新定义，涉及直线与平面所成的角，直线与直线所成角，线面垂直的判定与性质，平行六面体的体积与表面积，属于较难题. 不妨设O在平面的射影为B，则，过点B作交直线AC于点C，连接OC，利用线面垂直的判定与性质得，利用直角三角形可得； 利用三余弦定理可得直线EF与直线AG所成角最小值为直线EF与平面ABD所成的角，从而求得直线EF与直线AG所成角的余弦值的最大值； 设，，，，，，由平行六面体的对称性，不妨令，，直线与底面ABCD所成角为，由三余弦定理可得，，即，，由题意得，，，化简证明可得. 第2页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$