精品解析：黑龙江省实验中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第三次月考高二（数学）试卷 命题人：孙启勇 校对人：郭玲玲 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 【答案】B 【解析】 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B；正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断D. 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确． 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故D错误. 故选：B． 2. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的项的性质化简求解. 【详解】在等比数列中，， 则 则 故选：B. 3. 技术在我国已经进入调整发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 C. 线性回归方程中 D. 可以预测时，该商场手机销量约为1.72（千只） 【答案】D 【解析】 【详解】根据已知数据，分析变量增大时，变量的变化趋势，判断A选项；根据已知数据得到样本中心点， 代入回归方程求解即可判断C选项；根据回归方程判断BD选项. 【分析】对于选项A：从数据看，随的增加而增加，故变量与正相关，故A错误； 对于选项B：根据线性回归方程，可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故B错误； 对于选项C：由已知数据得， 代入中得到，故C错误； 对于选项D：将代入中得到，故D正确. 故选：D. 4. 在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先从10人中选出3人上早班，从剩下的7人中选出3人上中班，再从剩下的4人中选出3人上中班，即可得到答案. 【详解】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 5. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 7. 用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，记事件从中任取一个数，这个数能被整除，利用排列计数原理求出的值，利用列举法求出的值，再利用条件概率公式可求出的值. 【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为， 所以， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由奇偶性定义判断为偶函数，再由导数结合得出其单调性，最后由单调性以及奇偶性比较大小即可. 【详解】解：令， 对于任意的实数都有，即为偶函数； ； 当时，， 当时，为增函数； 又， ，即. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. （多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 的单调递增区间是 B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减.故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 设，若，则 C. 已知随机变量的方差为，则 D. 若，则当时概率最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布对称性和概率的计算，可判定A正确；根据二项分布的期望与方差的计算公式，列出方差组，可得判定B正确.根据方差的性质，可判定C不正确，根据二项分布的概率计算公式，求得相应的概率，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，由且，可得，所以A正确； 对于B中，设，且，可得， 解得，所以B正确. 对于C中，根据方差的性质，可得，所以C错误. 对于D中，因为，则， 因为，若， 当时，； 当时，， 即， 所以当时概率最大，所以D正确. 故选：ABD. 11. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则_________． 【答案】##0.48 【解析】 【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】记学生先从甲箱中取出的1个球恰有个红球放入乙箱为事件， . 学生先从甲箱中随机取出1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时. 学生先从甲箱中随机取出1个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 则. 故答案为：. 13. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为______ ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可. 【详解】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知， 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，又，所以， 所以二项式为， 则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，故①错误； 对②，由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大， 即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1， 则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确； 对③，若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故③正确； 对④，由通项可得，解得，所以系数为，故④正确. 故答案为：②③④. 14. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为，其一组数据如下表所示： 1 2 3 4 若，则预测y的值可能为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质将题意中的等式变形为，列出x，z的取值对应的表格，分别求出，，代入回归方程求出即可求解. 【详解】将式子两边取对数，得到， 令，得到，列出x，z的取值对应的表格如下： 1 2 3 4 1 3 4 6 则，. ∵满足，∴，解得， ∴，∴，当时，. 故答案：. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）已知式两边取倒数后根据等差数列的定义证明，由等差数列通项公式可得； （2）用裂项相消法法求和． 【小问1详解】 证明：显然， 将两边同时取倒数得， 即，所以数列是公差为2的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 由已知得， 那么数列的前n项和. 16. 为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只. （1）完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效. 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 （2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用X表示服药的只数，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见解析，有效 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据数据完善列联表，提出零假设，由公式计算的值，比较其与临界值的大小即可判断； （2）由题意可得X的所有可能取值，根据超几何分布的概率计算方法求解概率，进而得出分布列，再结合期望公式即可求解. 【小问1详解】 因为患病小白鼠的比例为，所以患病小白鼠有只， 则不患病的小白鼠有100-45=55只，又未服药小白鼠的比例为， 所以未服药小白鼠有，从而完善2×2列联表，如下表： 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 20 20 40 服用 35 25 60 合计 55 45 100 零假设为：该药物对预防流感无关联. 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 没有充分证据表明该药物对预防流感有效. 【小问2详解】 由题意X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 所以X的数学期望为. 17. 如图1，等腰梯形AECD是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示. （1）求证：； （2）求直线BD与平面BCP所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果. 【小问1详解】 在图1连接交于O点，在图2中，知、都是等边三角形，得， ，又，平面，可得平面； 又直线平面，所以. 小问2详解】 因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为H，连接， 得，∴， 如图，以的中点O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因此，，， ， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为， 则，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知在时有极值0. （1）求常数a，b的值； （2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）利用函数的极值点的意义，列出方程组，求得，回代入导函数，判断函数的单调性，检验极值点即得； （2）利用导数，求得函数在区间上的最值，根据题意，须使，即在上恒成立，即得满足条件的最大整数. 【小问1详解】 由可得， 因在时有极值0，可得，即， 解得：，（因，故舍去）或， 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极小值，符合题意. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， ， 1 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 且， 如果存在使得成立， 等价于．而. 故得， 因时，， 所以，即满足条件的最大整数为20． 19. 双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. （1）求双曲线的方程； （2）点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴以及离心率求解的值，即可得解， （2）联立直线与曲线方程可得韦达定理，结合相似比可得，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式，求解，由三角形面积公式求解，即可利用相似比求解四边形的面积. 小问1详解】 由直线与轴垂直时，，故，故， 又离心率为，则，所以， 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设直线l的方程是，，. 由得， ，. 因为，所以，从而. 所以，，消去得，解得， 它满足，. , 故到直线的距离为， 所以， 由于，所以, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第三次月考高二（数学）试卷 命题人：孙启勇 校对人：郭玲玲 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 2. 在等比数列中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 技术在我国已经进入调整发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 08 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 由题中数据可知，变量与负相关 B. 当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 C. 线性回归方程中 D. 可以预测时，该商场手机销量约为1.72（千只） 4. 在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（ ） A. B. C. D. 5. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. （多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 的单调递增区间是 B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 设，若，则 C. 已知随机变量的方差为，则 D. 若，则当时概率最大 11. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则_________． 13. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为______ ①展开式中奇数项的二项式系数和为256 ②展开式中第6项的系数最大 ③展开式中存在常数项 ④展开式中含项的系数为45 14. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为，其一组数据如下表所示： 1 2 3 4 若，则预测y的值可能为_____. 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 为考察某种药物预防和治疗流感效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只. （1）完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效. 药物 流感 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 （2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用X表示服药的只数，求X的分布列和数学期望. 附：，其中 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 如图1，等腰梯形AECD是由三个边长为2等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示. （1）求证：； （2）求直线BD与平面BCP所成角的正弦值； 18. 已知在时有极值0. （1）求常数a，b的值； （2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 19. 双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. （1）求双曲线的方程； （2）点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$