专题2.4 对数运算及对数函数（五类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题2.4 对数运算及对数函数 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 10 【课程标准】 10 【考情分析】 10 【2026考向预测】 10 三、知识点•逐点夯实 10 知识点1、对数式的运算 10 知识点2、对数函数的图像与性质 11 【常用结论】 12 四、重点难点•分类突破 12 考点1 指、对、幂的计算与化简 12 考点2 指、对、幂的实际应用 14 考点3 对数函数的图像与性质 17 考点4 对数型复合函数（单调性与最值） 20 考点5 对数函数的综合问题 22 五、必考题型•分层训练 27 A、基础保分 27 B、综合提升 36 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 7．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 10．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】求函数值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 11．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：； 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. （2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. （3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性 一般 2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 较难 2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用 很难 2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 较难 【2026考向预测】 从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题. 三、知识点•逐点夯实 知识1、对数式的运算 (1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)、常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 、对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 知识点2、对数函数的定义及图像 (1)、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【常用结论】 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 四、重点难点•分类突破 考点1 指、对、幂的计算及化简 例1、（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 例2、（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、比较正弦值的大小、比较余弦值的大小 【分析】由指数与根式的互化和三角函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】由题得 . 故选：A 例3、（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】利用对数的运算法则计算即可求解. 【详解】依题意，，故. 故答案为：. 【变式训练1】、（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【详解】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 【变式训练2】、（2025·广东深圳·三模）已知实数，且满足，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据与的倒数关系，列式求值. 【详解】设，则，因为，所以. 由或（舍去）. 所以. 故答案为：2 【变式训练3】、（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选题）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、比较函数值的大小关系、对数函数单调性的应用 【分析】对于AB，由已知条件得，构造函数，利用其单调性进行判断，对于C，由幂函数的单调性结合进行判断，对于D，由已知可得，再结合的单调性分析判断. 【详解】对于AB，由得，， 所以， 设，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以，所以A正确，B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确； 对于D，因为，所以，因为， 所以， 由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确. 故选：ACD. 考点2 指、对、幂的实际应用 例4、（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 例5、（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 【变式训练4】、（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算 【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解. 【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为， 当时，，代入得，解得， 当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，， 则，即， 则， 所以所需的训练迭代轮数至少为79． 故选：C. 【变式训练5】、（2025·安徽合肥·模拟预测）在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意代入数据计算即可求解. 【详解】由题意可得：． 故选：C． 考点3 对数函数的图像与性质 例6、（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 例7、已知函数，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以AD选项错误， ，所以C选项错误. 综上所述，B选项正确. 故选：B 【变式训练6】、已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】利用函数的单调性可得，由，可求得. 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 【变式训练7】、（2024·安徽马鞍山·模拟预测）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为, 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 考点4 对数型复合函数（单调性与最值） 例8、（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 例9、（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】将三个数化为的形式，即可根据对数函数的单调性与图像进行判断. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A 例10、（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】令，即可判断在上的单调性，依题意可得在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】令，则在为减函数， 所以由复合函数的单调性可知在上为减函数，则，解得， 即的取值范围为． 故答案为： 【变式训练8】、（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式训练9】、（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算性质的应用 【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得. 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 【变式训练10】、（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】令，由复合函数可知，内层函数在上为减函数，且对任意的，恒成立，即可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增， 所以内层函数在上为减函数， 且对任意的，恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点5 对数函数的综合问题 例11、（2024·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数函数的最值 【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以对恒成立. 记，，只需. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以. 故答案为： 例12、（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】利用单调性确定最小值后可得． 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 例13、（2021·陕西安康·三模）若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、求对数函数的最值、对勾函数求最值 【分析】先求出，从而得到， 再利用函数的单调性求出的值域为，比较端点值，列出不等式组， 求出m的最小值. 【详解】因为，所以，则为对勾函数， 在处取得最小值，， 又因为，， 所以． 由，得． 又函数在上单调递增，则的值域为， 即的值域为， 则，解得． 所以m的最小值为. 故选：B 【变式训练11】、（2024·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得， 令的根为、且，，， 若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去； 若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以； 故选：A 【变式训练12】、（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】由结合对数的运算性质可得，利用基本不等式1的代换即可求得最小值. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得； 则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 所以； 故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式训练13】、已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、求对数函数的最值、研究对数函数的单调性 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 五、分层训练 1．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数的运算 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 2．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据对数的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 所以 ，当且仅当，即、时等号成立. 故选：A 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2） 【分析】设动物标本中碳含量初始值是个单位，由题意得出，解方程，求出的值，即可得出结果. 【详解】不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位， 则经过年动物标本中碳含量为， 令，则年. 故选：C. 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用 【分析】对比选项中的图象，再分别计算和时，的取值情况，即可作出选择． 【详解】当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数函数图象的应用、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、指数函数图像应用 【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可. 【详解】因为图象过，故由图象可得， 又图象过，故由图象可得， 又图象过，故由图象可得. 故，，，故. 故选：B 6．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由指数函数的单调性和对数函数的单调性，且，即可比较大小. 【详解】由指数函数的单调性可知， 由对数函数的单调性可知． 又，所以，即． 故选:D． 7．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 8．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、与二次函数相关的复合函数问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 9．（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【详解】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减， 可得： , 又对于恒成立， 所以， 解得：， 综上所述：. 故选：A 10．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可. 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 11．（2025·安徽六安·模拟预测）（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】利用对数式与指数式的互化，换底公式，对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，，因，则，故A正确； 对于B，由，，可得，则，故，故B正确； 对于C，由B项可得，则，故C错误； 对于D，因，故D正确. 故选：ABD. 12．（2025·湖北孝感·三模）（多选题）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性即可得的范围即可判断AB，利用单调性即可判断CD. 【详解】的定义域为． 设，可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得， 又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 故选：AC． 13．（2025·江苏·三模）（多选题）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】运用换底公式化简计算、对数函数单调性的应用、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】对数函数的单调性判断符号可判断A。利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的运算可判断CD. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误； 因为 ，故D正确. 故选：ABD 14．（2025高三·全国·专题练习）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为 .（参考数据：） 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2） 【分析】设飞行器的运动速率在启动反冲装置时的原始量为1，经过个单位时间后，该飞行器的运动速率为，可得，结合指数函数的单调性、换底公式可求得的最小值. 【详解】设飞行器的运动速率在启动反冲装置时的原始量为1，经过个单位时间后，该飞行器的运动速率为， 则由题意可得函数模型， 因为当经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的， 所以， 故， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递增， 依题意，，，且在上单调递增， 因此，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 16．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在区间上的范围结合可得答案. 【详解】令，则， 函数在区间上严格递增， 由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递减，且， 则由在区间上恒成立，得在区间上恒成立， 因为时，，所以. 且由，得， 则实数取值范围是. 故答案为：. 17．（2025·广西南宁·模拟预测）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题. 【详解】函数的定义域是， 当，得，，得， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则， 由，得，则， 所以，当，时，的最小值为. 故选：B 18．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的应用、对数的运算 【分析】根据为奇函数、为偶函数推出函数的周期，再结合已知条件求出与的值，最后代入的表达式计算. 【详解】因为为奇函数，则，用代替可得，. 因为为偶函数，则，用代替可得，， 所以. 故， 再用代替，则， 所以，即函数的一个周期为. 因为函数的一个周期为，所以. 由，令，可得. 又，令，则，所以，即. 因为函数的一个周期为，所以. 由，令，可得，即，所以，即. 已知，则，. 所以. 故选：D. 19．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、研究对数函数的单调性 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可. 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 20．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、对数函数图象的应用、求幂函数的值域 【分析】根据幂函数、对数函数的性质，讨论、、结合已知零点个数确定参数范围即可. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 对数运算及对数函数 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 10 【课程标准】 10 【考情分析】 10 【2026考向预测】 10 三、知识点•逐点夯实 10 知识点1、对数式的运算 10 知识点2、对数函数的图像与性质 11 【常用结论】 12 四、重点难点•分类突破 12 考点1 指、对、幂的计算与化简 12 考点2 指、对、幂的实际应用 14 考点3 对数函数的图像与性质 17 考点4 对数型复合函数（单调性与最值） 20 考点5 对数函数的综合问题 22 五、必考题型•分层训练 27 A、基础保分 27 B、综合提升 36 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 7．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 10．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 11．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 12．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. （2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. （3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性 一般 2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 较难 2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用 很难 2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 较难 【2026考向预测】 从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题. 三、知识点•逐点夯实 知识1、对数式的运算 (1)、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的 ，其中叫做对数的 ，叫做 ． (2)、常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为 ； ③自然对数：以为底，记为 ； (3) 、对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 知识点2、对数函数的定义及图像 (1)、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【常用结论】 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 四、重点难点•分类突破 考点1 指、对、幂的计算及化简 例1、（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 例2、（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 例3、（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 【变式训练1】、（2025·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式训练2】、（2025·广东深圳·三模）已知实数，且满足，则 ． 【变式训练3】、（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选题）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 考点2 指、对、幂的实际应用 例4、（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 例5、（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【变式训练4】、（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【变式训练5】、（2025·安徽合肥·模拟预测）在跳水运动中，水花半径（单位：米）与运动员入水速度、入水时身体倾斜角度（弧度）、入水截面积相关．实验表明，当入水速度时，水花半径满足公式：，其中为实验常数．某次比赛中一位运动员完成动作时，入水速度、入水时身体倾斜角度、入水截面积，则入水产生的水花半径是（   ）（注：结果保留3位小数，其中） A．0.026m B．0.027m C．0.028m D．0.029m 考点3 对数函数的图像与性质 例6、（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例7、已知函数，则函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练6】、已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练7】、（2024·安徽马鞍山·模拟预测）函数的部分图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   考点4 对数型复合函数（单调性与最值） 例8、（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9、（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 例10、（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【变式训练8】、（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】、（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10】、（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 考点5 对数函数的综合问题 例11、（2024·江西宜春·模拟预测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 例12、（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 例13、（2021·陕西安康·三模）若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】、（2024·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】、（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式训练13】、已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 五、分层训练 1．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·海南·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 8．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽六安·模拟预测）（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·湖北孝感·三模）（多选题）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏·三模）（多选题）已知，则（ ） A． B． C． D． 14．（2025高三·全国·专题练习）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为 .（参考数据：） 15．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 16．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 17．（2025·广西南宁·模拟预测）设函数．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，，为奇函数，为偶函数.若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．（2025·甘肃白银·二模）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 20．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$