专题2.1 等式性质与不等式性质（6类必考点）--2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质 【知识梳理】 1 【考点1：用不等式表示不等关系】 2 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 5 【考点3：作差法比较大小】 7 【考点4：作商法比较大小】 10 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 12 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 14 【知识梳理】 1、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 2、两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3、比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 4、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 6、倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 7、有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】经过年后，方案B的投入为，则“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为． 方法总结  用不等式（组）表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语； 2．适当地设未知数表示变量； 3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）． 2．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件，则． 故不等关系表示为． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】由不等式的性质和特殊值逐个判断即可. 【详解】对于A，等时，不成立，错误； 对于B，取，不成立，错误， 对于C，取，不成立，错误； 对于D，因为，不等式两端同除，可得，正确， 故选：D 2．（24-25高三·四川资阳·阶段练习）已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则 C．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2 【答案】D 【分析】对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论． 【详解】A．错误，比如，便得不到； B．错误，比如，便得不到； C．错误，比如，得不到； D．正确，，则，根据不等式的性质即可得到． 故选D． 【点睛】考查若，对求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变． 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）对于实数a，b，c，给出下列命题： ①若，，则，；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由不等式的性质逐一判断即可. 【详解】若a，b同号，不可能，则，，所以①错误； 若，则，所以②错误； 由，知，即③成立； 由，知，，所以④成立. 故选：B. 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数a，b，c，d满足a>b，c>d，那么下列式子一定成立的是（    ） A．a－d>b－c B．a+d>b+c C．ac>bd D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质及反例即得. 【详解】对于A，由a>b，c>d，得即，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，令，则，故C错误； 对于D，令，则，故D错误. 故选：A 5．（24-25高一上·吉林通化·期中）若，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，对各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：对A：因为，所以，故选项A错误； 对B：因为，所以，故选项B正确； 对C：因为，，所以，故选项C错误； 对D：因为，所以，故选项D错误. 故选：B. 6．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若a＜b＜0，则 【答案】B 【分析】利用举反例进行排除，以及利用不等式的性质进行判断. 【详解】对于A，当时不成立，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以，所以， 不等式两边同时乘以，，所以，故B正确； 对于C，取，时，，，则不成立，故C错误； 对于D，若a＜b＜0，则，所以，又， 所以，因此D不正确． 故选：B． 【考点3：作差法比较大小】 1．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】．当时，结合，可得．反之，如，亦成立，却推不出．故“”是“”的充分不必要条件． 2．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 6．（2025高三·全国·专题练习）如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 【考点4：作商法比较大小】 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 2．（2025高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 3．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 4．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 5．（24-25高一·全国·课后作业）设，且，比较：与的大小 【答案】. 【解析】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小. 【详解】 ，， ，， ， 故 【点睛】本题考查利用作商法比较代数式的大小，属基础题. 6．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（云南省2024~2025学年高二秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知，，都是实数.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，当时，，都无意义，CD错误. 故选：A 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】若，则，则，即； 若，则，则，即， 故“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（24-25高一·全国·课后作业）设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知可得，可推出，反向推不出，故A满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故B不满足题意；由，得或或，推不出，反向可推出，故C不满足题意；由，得，推不出，反向可推出，故D不满足题意. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 5．（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】应用作差法计算比较判断A，应用不等式性质计算判断C，D，应用特殊值法计算判断B. 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 6．（24-25高一·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 1．（24-25高一上·天津河西·期中）若实数，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质来求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为： 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）实数x，y满足，，那么的取值范围是 【答案】 【分析】结合已知条件，利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】解：令，，则，， 由已知可得，， 则，，， 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，，则的取值范围是 【答案】 【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 则，即. 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 易错警示 题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质 【知识梳理】 1 【考点1：用不等式表示不等关系】 2 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 4 【考点3：作差法比较大小】 4 【考点4：作商法比较大小】 6 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 7 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 8 【知识梳理】 1、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 2、两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3、比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 4、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 6、倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 7、有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 3．（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 1．（2025高一·全国·专题练习）对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25高三·四川资阳·阶段练习）已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则 C．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）对于实数a，b，c，给出下列命题： ①若，，则，；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数a，b，c，d满足a>b，c>d，那么下列式子一定成立的是（    ） A．a－d>b－c B．a+d>b+c C．ac>bd D． 5．（24-25高一上·吉林通化·期中）若，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若a＜b＜0，则 【考点3：作差法比较大小】 1．（24-25高一·全国·课后作业）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，设，，则与的大小关系为 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）如果，比较与的大小并证明． 【考点4：作商法比较大小】 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 2．（2025高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 3．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 4．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 5．（24-25高一·全国·课后作业）设，且，比较：与的大小 6．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（云南省2024~2025学年高二秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知，，都是实数.若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一·全国·课后作业）设a，b为实数，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一·全国·课后作业）已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 1．（24-25高一上·天津河西·期中）若实数，满足，则的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）若，，则的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）实数x，y满足，，那么的取值范围是 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，，则的取值范围是 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$