3.2.2第2课时 超几何分布学案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2课时　超几何分布 学习目标 通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题． 课前预习 要点　超几何分布 一般地，若N件产品中有M件次品，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，l，其中l＝min{M，n}，且M≤N，n≤N－M，n，M，N∈N＋，称分布列 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作________． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)超几何分布的模型是有放回的抽样．(　　) (2)二项分布与超几何分布是同一种分布．(　　) (3)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.(　　) 2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A.N＝10，M＝4，n＝6 B．N＝10，M＝6，n＝4 C.N＝14，M＝10，n＝4 D．N＝14，M＝4，n＝10 3．盒中有4个白球、5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是(　　) A.　　　B．　　　C．　　　D． 4．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语．现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________． 题型探究·课堂解透——强化创新性 题型1　超几何分布的概念辨析 例1　盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5 C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5 (2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________； (3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________． 方法归纳 超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成． 巩固训练1　(1)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 (2)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X表示任选4个球中不是红球的个数，则X服从超几何分布，其参数N＝________，M＝________，n＝________． 题型2　超几何分布的分布列 例2　共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4，若从这些共享电动车中任意抽取3辆． (1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率； (2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列． 方法归纳 超几何分布的求解步骤 巩固训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 题型3　超几何分布与二项分布的区别 例3　一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个． (1)若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数X的分布列； (2)若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数Y的分布列． 方法归纳 超几何分布与二项分布的区别 巩固训练3　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的分布列； (2)放回抽样时，抽取次品数η的分布列． 第2课时　超几何分布 课前预习 要点 X～H(N，M，n) [基础自测] 1．(1)×　(2)×　(3)× 2．解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6. 答案：A 3．解析：p＝＝. 答案：C 4．解析：设选出的4人中，会说日语的人数为X，则X服从N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布．所以有两人会说日语的概率为P(X＝2)＝＝. 答案： 题型探究·课堂解透 例1　解析：(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4. (2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3. (3)P(Z＝2)＝＝. 答案：(1)A　(2)0，1，2，3　(3) 巩固训练1　解析：(1)由超几何分布的定义可知B正确． (2)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4. 答案：(1)B　(2)9　5　4 例2　解析：(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆． 记A为“从中任取3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色”，则P(A)＝＝. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 巩固训练2　解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人． 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝， 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝； (2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 例3　解析：(1)由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3， ∴P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝＝； P(X＝2)＝＝＝；P(X＝3)＝＝； ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由题意知：Y所有可能的取值为0，1，2，3，且Y～B(3，)， ∴P(Y＝0)＝(1－)3＝；P(Y＝1)＝＝； P(Y＝2)＝×()2×(1－)＝；P(Y＝3)＝()3＝； ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 巩固训练3　解析：(1)由题意知随机变量ξ服从超几何分布， ∴P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2)， ∴P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝， ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (2)由题意，知每次取到次品的概率为＝， ∴η～B(3，)， ∴P(η＝0)＝)3＝， P(η＝1)＝··＝， P(η＝2)＝×()2·＝， P(η＝3)＝×()3·＝， ∴随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $$