精品解析：河南省郑州市新郑市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年第二学期期中教学质量检测 七年级数学北师大版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. “翻开北师大版数学七年级下册的课本，恰好翻到第80页”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的知识，根据在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件判断即可． 【详解】解：“翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第80页”，这个事件是随机事件， 故选：A． 2. 小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【详解】解：小峰同学的家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段去公路边，是因为垂线段最短； 故选：B． 3. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行作答即可． 【详解】解： 故选：C 4. 如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等、两直线平行解答即可． 【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故选C． 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 6. 下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据平方差公式，判断各选项是否符合“两数和与两数差的乘积”结构，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、第二个括号可变形为，原式化简为，属于完全平方式，不能用平方差公式，故该选项不符合题意； B、第二个括号变形为，原式即，符合的结构，应用平方差公式得，可用平方差公式，该选项符合题意； C、两因式相同，属于完全平方式，不能用平方差公式，故该选项不符合题意； D、两因式相同，变形为，属于完全平方式，不能用平方差公式，故该选项不符合题意； 故选：B 7. 一副扑克牌是54张，随意摸到一张是10的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式知，共54张，其中有4张10，即可得出摸到一张是10的概率． 【详解】解：在一副扑克牌中，共54张，其中有4张10， 则随意抽取一张是10的概率为． 故选：C． 8. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补 ）以及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质，准确找到角之间的关系是解题的关键．利用平行线的性质，结合直角三角形的角的关系，先求出与相关角的度数，进而得出的度数 ． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴在中，， ∵，（两直线平行，内错角相等 ）． ∴， 故选：A ． 9. 多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行解答即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴加上的单项式可以是， 故选：D． 10. 如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. ①②③ B. ②③⑤ C. ③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，分解析图中五种情况，分别列式求出L的面积即可得到答案． 【详解】解：①如图， 的面积左边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的长方形的面积横着的长方形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误； 如图， 的面积长方形的面积由辅助线构成的小长方形的面积，故正确， 综上可得：正确， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据（为正整数，）进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 13. 一个角比它的余角少，则这个角的度数为___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键．设这个角的度数为，表示它的余角，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 14. 已知，，则的值为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 运用完全平方公式展开得到，，即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，杠杆与上臂重合．使用时，刚好至点，当时，恰好平分，的对顶角为___________．若，则___________． 【答案】 ①. ②. ##22度 【解析】 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，根据对顶角的定义得的对顶角为，根据平行线的性质求出，由角平分线定义即可求出的度数． 【详解】解：的对顶角为， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，积的乘方，单项式与单项式相乘，单项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用积的乘方的逆运算法则进行计算，即可作答． （2）先运算积的乘方，再运算单项式与单项式相乘，单项式除以单项式，最后合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，直线被直线所截，且，于点F，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，先由平行线的性质推出，再由垂线的定义推出，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 【答案】 解：选择规则一． 卡片上的数字中不大于5数字有1，2，3，4，5，共5个，所以选择规则一闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中偶数数字有2，4，6，8，共4个，所以选择规则二闯关成功的可能性为． 卡片上的数字中是3的倍数的数字有3，6，9，共3个，所以选择规则三闯关成功的可能性为． 因为， 所以选择规则一闯关成功的可能性最大． 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据概率公式进行求解即可． 【详解】略 19. （1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 20. 如图，已知，，且，． （1）写出的内错角； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）求的度数． 【答案】（1）和； （2） ．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． （1）根据内错角的定义即可得到答案； （2）证明，结合，可得结论； （3）先证明，，从而可得答案． 【小问1详解】 由内错角的定义得：的内错角是和； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：__________； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1） （2）13 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）大正方形的边长为，则面积为，而大正方形面积又等于两个小正方形面积加上两个长方形面积，据此求解即可； （2）根据（1）的结论可得，据此代值计算即可； （3）求出，则根据完全平方公式得到的结果即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，正方形的面积等于， 这个正方形分成两个小的正方形和两个小的长方形， 根据面积不变，得； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ． ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为8． 22. 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”． （1）请判断与是否是“幸福数对”，并说明理由； （2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请问，，，应满足怎样的数量关系，并说明理由； 【答案】（1） 解：与是“幸福数对”，理由如下： ∵，， ∴， 与是“幸福数对”； （2） 解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键； （1）分别计算出和的结果，再根据“幸福数对”的定义进行判断即可； （2）分别求出和的结果，再根据“幸福数对”的定义可得，据此求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合运用 【问题情景】 如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ． 【问题解决】 （1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． （3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：．理由如下： 如图，过K作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过P作， 同理可得，， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （2）根据解析（1）的思路进行求解即可； （3）过K作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过K作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过P作， 同理可得，， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中教学质量检测 七年级数学北师大版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. “翻开北师大版数学七年级下册的课本，恰好翻到第80页”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 2. 小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 3. 可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 一副扑克牌是54张，随意摸到一张是10的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，那么加上的单项式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤ A. ①②③ B. ②③⑤ C. ③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为___________． 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 13. 一个角比它的余角少，则这个角的度数为___________． 14. 已知，，则的值为__________． 15. 图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，杠杆与上臂重合．使用时，刚好至点，当时，恰好平分，的对顶角为___________．若，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，直线被直线所截，且，于点F，求的值． 18. 在某个闯关游戏中，选手需从3个游戏规则中任选一个，再从标有数字1，2，3，…，9的9张卡片中任意抽取一张，根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手是否闯关成功，三个游戏规则如下： 规则一：如果抽到卡片上的数字不大于5，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则二：如果抽到卡片上的数字是偶数，那么选手闯关成功，否则闯关失败； 规则三：如果抽到卡片上的数字是3的倍数，那么选手闯关成功，否则闯关失败． 请你通过计算判断，如果你闯这一关，你会选择哪个规则进行闯关呢？并说明理由． 19. （1），，求的值； （2）若，，求． 20. 如图，已知，，且，． （1）写出的内错角； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）求的度数． 21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：__________； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 22. 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和与和都是“幸福数对”． （1）请判断与是否是“幸福数对”，并说明理由； （2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，请问，，，应满足怎样的数量关系，并说明理由； 23. 综合运用 【问题情景】 如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ． 【问题解决】 （1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． （3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $