精品解析：湖北省孝感高级中学2024-2025学年高二下学期期末数学模拟卷

湖北省孝感高中2024-2025学年下学期高二期末数学模拟卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 2. 已知等比数列是其前项和，，则（ ） A. B. 8 C. 7 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，结合等比数列前项和的定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，所以， 所以. 故选：C. 3. 已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m，具体数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y m 若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由回归方程可得，设去掉数据后，新数据为， 注意到，结合相关系数计算公式可得答案. 【详解】由题可得原数据，因过点， 则，从而. 设去掉数据后，新数据为，则 ，又因，， 则，，从而. 故选：A 4. 已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率约为，和.若某校高一年级名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（     ） A. 780人 B. 763人 C. 655人 D. 546人 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数. 【详解】依题意，所以，， 则，， 所以 ， 所以此次考试成绩在区间内的学生大约有（人）. 故选：C 5. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】定义域为R， ， 所以函数为偶函数，又因为， 时，， 时，， 故， 所以在上单调递增， 则不等， 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选：C. 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 7. 若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算. 【详解】圆：的圆心，半径， 双曲线：则，，， 设左焦点为，则，即， 所以， 当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号. 故选：A 8. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得及. 【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得， ， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在常数项 B. 二项式系数和1 C. 第4项和第5项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为128 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得. 【详解】因为展开式的通项公式为， 对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确； 对B，二项式系数和为，故B错误； 对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确； 对D，令，得所有项的系数和为，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值点为 B. 的极大值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，求出定义域，求导得到函数单调性，进而得到的极大值点为，极大值为；C选项，根据函数单调性和特殊点函数值判断出零点个数；D选项，设切点，根据切线斜率得到方程，求出为方程的一个根，进而求出是曲线的一条切线. 【详解】AB选项，的定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为，极大值为，AB正确； C选项，由于极大值为，当时，恒成立， 趋向于0时，趋向于， 故在上存在一个零点，在上无零点， 综上，函数只有1个零点，C错误； D选项，设切点，，， 故，显然，故为方程的一个根， 故切点为， 故切线方程为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数据可得关于的经验回归方程为，若，则_____________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据给定条件，利用经验回归方程必过样本的中心点求解即得. 【详解】依题意，，由，得，解得， 所以. 故答案为：32 13. 某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有__________种用数字作答 【答案】360 【解析】 【分析】相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，据此可得答案. 【详解】由题可得相当于先从9人中选取2人，再从5人中选取3人，则安排方法有： . 故答案为：. 14. 已知点为椭圆上两点，且点A在第一象限，点B在第二象限，，射线的斜率分别为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】采用设线法，设直线．直线，联立椭圆方程得到，同理得，再求出点到直线OA的距离，写出面积表达式，求得，再代入斜率差表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【详解】设， 设直线．直线， 由，所以，同理得，（显然判别式大于零） 点B到直线OA的距离， 所以． 平方得，所以， 因为点A在第一象限，所以，所以． 当且仅当时取等号． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 （1）求答完前两道题后两人各得1分的概率； （2）设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设事件为第i道题甲得1分，事件为第j道题乙得1分，由题可得，，据此可得答案； （2）由题可得随机变量X的取值为，由（1）可得，然后可得分布列及对应期望. 【小问1详解】 由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得1分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”. 设事件为第i道题甲得1分， 事件为第j道题乙得1分， 事件为答完前两道题后两人各得1分，则. 则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥， 所以，, ； 【小问2详解】 随机变量X的取值为. ； ； . 所以随机变量X的分布列为 X 3 5 7 P 所以. 16. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 【答案】（1） （2）证明如下： 设直线MN的方程为：，，，， 不妨设， 联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得， 由，且，解得且， 则，， 因为，则， 整理可得，即， 又因为点Q在直线MN上，则，消m得， 且且，可得得且， 所以点Q在定直线：（且）上． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程； （2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果. 【小问1详解】 由题意可得，则，解得， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. （1）若 ，求 ； （2）证明： 数列 为等差数列. 【答案】（1） ，， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件 ，证明，结合等差数列定义证明结论. 【小问1详解】 当时 ，由已知， ，知 ， 又由，可知， 所以，又， 所以符合题意， 同理，由 ，，得或， 又，所以， 由 ，，得， 又， 符合题意. 【小问2详解】 因为 ，所以 ， 所以或， 即或， 因为， 所以，， 所以，， 所以或或， 又，所以， 则， 所以， 所以数列 是公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 19. 已知函数，.的导函数为. （1）当时.求函数的最小值； （2）若. ①证明：恰有3个零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 【答案】（1）0 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数判断函数单调性求出极值得解； （2）①由题设，由导数知识结合零点存在性定理可得在R上的零点情况，进而可得单调性，最后再由零点存在性定理可完成证明； ②令，可利用奇函数性质证明该函数零点之和为0，再由图象平移得证. 【小问1详解】 由题意， 令 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. ； 【小问2详解】 ① 令； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 又，所以，且当时，；时，； 所以在与上各有一个零点，不妨分别记为， 所以时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 且，所以； 则，，又当时，；时，； 所以与上各有一个零点，且， 所以有且仅有三个零点. ②令 令，，. 令， 为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以所有零点和为0； 所有零点和为0. 由于的图象可由向右平移一个单位长度得到， 所以所有的零点和为定值3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省孝感高中2024-2025学年下学期高二期末数学模拟卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知等比数列是其前项和，，则（ ） A. B. 8 C. 7 D. 14 3. 已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m，具体数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y m 若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 4. 已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率约为，和.若某校高一年级名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（     ） A. 780人 B. 763人 C. 655人 D. 546人 5. 已知，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为1 C. 第4项和第5项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为128 10. 如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值点为 B. 的极大值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由数据可得关于的经验回归方程为，若，则_____________. 13. 某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有__________种用数字作答 14. 已知点为椭圆上两点，且点A在第一象限，点B在第二象限，，射线的斜率分别为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 （1）求答完前两道题后两人各得1分的概率； （2）设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望. 16. 已知抛物线的焦点F在直线上． （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. （1）若 ，求 ； （2）证明： 数列 为等差数列. 19. 已知函数，.的导函数为. （1）当时.求函数的最小值； （2）若. ①证明：恰有3个零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $