精品解析：上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

嘉定二中2024学年第二学期期末考试 高一年级 数学学科试卷 命题人：高二数学备课组   2025年6月 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 两个平面最多可以将空间分成__________部分. 【答案】4 【解析】 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 2. 复数的虚部是__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用复数的相关概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以复数的虚部是-1， 故答案为：-1 3. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 【答案】 【解析】 【分析】由扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为. 故答案为：. 4. 向量在方向上的数量投影为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影概念直接计算即可. 【详解】由题， 所以向量在方向上的数量投影为. 故答案为：. 5. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构角，再利用正切的差角公式和条件即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 6. 若是关于的方程的一个虚数根，则___________. 【答案】25 【解析】 【分析】把代入方程，结合复数相等的条件进行求解. 【详解】因为是方程的一个虚数根， 所以，整理得， 所以且，解得，； 故答案为：25. 7. 已知，若、满足，且的最小值为，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可. 【详解】若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得. 故答案为：4. 8. 若为奇函数，则__________.（填写符合要求的一个值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据为奇函数，可得，求解可得答案. 【详解】依题意，， 当为奇函数， 此时，则. 故答案为：（答案不唯一）. 9. 若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有________条. 【答案】 【解析】 【分析】在空间取一点，经过点分别作，，分析直线满足它的射影在、所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，，设直线、确定平面， 当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与、所成角为， 因为直线、所成角为，得、所成锐角为， ①当直线的射影在、所成锐角的平分线上时， 则与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有条直线与、所成角都是； ②当直线的射影在、所成钝角的平分线上时， 与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有且仅有条直线（即时）与、所成角都是. 综上所述，过点且与、所成角都是的直线有条. 故答案为：. 10. 图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 11. 设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 12. 已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设从而可得即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解即可. 【详解】设 因为,所以, 即 化为 故、对应平面内距离为的点，如下图中,    因为, 所以与、对应点的距离为或 即构成了点共个点， 故的最大值为 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分） 13. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合充分必要条件求解 【详解】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”； ∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件， 故选：A. 14. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 【答案】A 【解析】 【分析】设原直角三角形的三边分别为，，（为最大边），则，设增加同样的长度为，则新三角形中为最大边，其对应角最大，设为，利用余弦定理得到，即可判断. 【详解】设原直角三角形的三边分别为，，（为最大边），则， 设增加同样的长度为， 则新的三角形的三边长为、、，显然为最大边，其对应角最大，设为， 显然，即， 所以， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值， 又，所以，即为锐角，所以新三角形为锐角三角形． 故选：A 15. 在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【解析】 【分析】利用图像求出函数的解析式，对于A代入解析式即可判断，对于B利用诱导公式即可判断，对于C利用，得，即可求得的值域，进而即可判断，对于D利用图象的变换即可判断. 【详解】由图可知，所以， 且，所以， 又因为，所以只能，所以， 对于A， ，故A错误； 对于B．，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，若把图象上所有点右平移个单位，则所得函数是，故D错误． 故选：B. 16. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，已知长方体中，，． （1）求证：与是异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合异面直线的判定定理分析证明； （2）连接，分析可知为异面直线与所成的角（或其补角），结合余弦定理运算求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，直线，平面， 由异面直线的判定定理可得与是异面直线． 【小问2详解】 如图，连接， 因为，，可知四边形为平行四边形， 则，即为异面直线与所成的角（或其补角）， 连接，由已知可得，， 则． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 18. 已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和. （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，求解不等式即可得答案； （2）由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解. 【小问1详解】 解：因为关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和， 所以，解得， 所以k的取值范围为； 【小问2详解】 解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为， 所以，所以，解得. 19. 在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． （1）若，用，表示； （2）若点为的外心，求、的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出. （2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值. 【小问1详解】 因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. 【小问2详解】 取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 20. 某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且. （1）观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值. 【答案】（1）定值，百米，理由见解析 （2）元. 【解析】 【分析】（1）设百米，则，在中，由正弦定理，求得，同理求得，进而求得的值，得到答案. （2）根据余弦定理，求得，结合二次函数的性质，求得的最小值为百米，进而求得花费的最小值. 【小问1详解】 解：由题意知，和为相似三角形，所以， 设百米，则， 在中，因为，，所以， 由正弦定理，可得， 同理可得：， 所以， 所以观光步道的总长度为定值米. 【小问2详解】 解：由（1），根据余弦定理，可得 ， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为百米， 所以建设步道花费最小值为元. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉定二中2024学年第二学期期末考试 高一年级 数学学科试卷 命题人：高二数学备课组   2025年6月 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 两个平面最多可以将空间分成__________部分. 2. 复数的虚部是__________． 3. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________. 4. 向量在方向上的数量投影为________. 5. 已知，，则______． 6. 若是关于的方程的一个虚数根，则___________. 7. 已知，若、满足，且的最小值为，则________. 8. 若为奇函数，则__________.（填写符合要求的一个值） 9. 若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有________条. 10. 图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 11. 设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 12. 已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________. 二、选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分） 13. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 15. 在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数是 16. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，已知长方体中，，． （1）求证：与是异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和. （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值. 19. 在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． （1）若，用，表示； （2）若点为的外心，求、的值. 20. 某镇计划在一处紫藤花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且. （1）观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）为吸引了众多周围的游客，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $