1.2 空间向量基本定理（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.2 空间向量基本定理 （两课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 了解空间向量基本定理,会判断空间向量的基底,培养数学抽象的核心素养. 能用空间的一个基底表示空间的任意向量,提升数学运算的核心素养 理解平面向量基本定理与空间向量基本定理的异同与联系 新知导入 你还记得平面向量基本定理吗？ 如果 1，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使＝λ11＋λ22. 若2 不共线，我们把{2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 它的作用是什么？ 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量，来表示. 类似地，空间中任意一个向量能否用任意三个向量，来表示呢？ 三个向量共面 三个向量不共面 新知导入 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. O P Q 新知探究 追问1 对于刚刚得到的结论，你能证明它的唯一性吗？ O P Q 证明： 新知探究 问题1 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗? 证明： 过P'作直线P'A'平行于直线OB， 作直线P'B'平行于直线OA， 作直线PC'平行于直线OP'， P ′ A′ B′ C′ 如图，设 不共面. 过点O作 过P'作直线PP'平行于直线OC交平面OAB于点P' 存在三个实数x，y，z满足 p P O A C B 定义新知 类比平面向量基本定理，我们就可以得出空间向量基本定理： 平面向量基本定理 如果 1，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 λ1，λ2，使＝λ11＋λ22． 空间向量基本定理 如果三个向量不共面， 那么对于任意一个空间向量 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 ＝x＋y＋z． 定义新知 O B A 空间向量间的运算 基向量间的运算 转化 新知探究 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，下面我们来对比一下这三个定理： 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 典例分析 方法技巧 用基底表示向量(分解向量)的步骤： 定基底→找目标 →下结论 例1 如图示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 A B M N P O C 课后练习 课本练习 1. 已知向量 是空间的一个基底，从 中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底? 课后练习 课本练习 2. 已知O, A, B, C为空间的四个点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O, A, B, C是否共面? 课后练习 课本练习 A C O B C′ O′ B′ A′ G 3.如图，已知平行六面体OABC-O′A′B′C′. 点G是侧面BB′C′C的中心，且 (1) 是否构成空间的一个基底? (2) 如果 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量: 方法归纳 提分笔记 1.基底的判断：若三个向量不共面，则可作为空间向量的一个基底． ①存在一个向量可以另外两个向量表示，则三向量共面； ②假设三向量共面，建立x,y的方程组，若无解，则不共面，若有解，则共面. 2.基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量． 3.用基底表示向量：结合向量的加减法运算法则寻找目标向量与基向量的关系. 典例分析 例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中, AB＝4,AD＝4, AA1＝5, ∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°, ∠DAA1＝60°, M,N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1． A C D B C1 D1 B1 A1 N M 证线线垂直(向量数量积为0) 典例分析 例3 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 证明线线平行(共线定理) 典例解析 例3 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 求异面直线所成角(向量夹角) 课后练习 课本练习 1. 已知四面体OABC，OB = OC, ∠AOB =∠AOC = θ. 求证: OA⊥BC . C O B A 课后练习 课本练习 2. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB = 2，AD = 2，AA' = 3，∠BAD =∠BAA' = ∠DAA' = 60°. 求BC'与CA'所成角的余弦值. A C D B C′ D′ B′ A′ 课后练习 课本练习 3. 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO. 求证：AO⊥CD'. B D C A′ B′ C′ D′ A O 空间向量基本定理 题型一 题型探究 【例1】(1)若 为空间向量的一个基底,则下列各项中,能作为空间向量的一个基底 的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于,即共面,故 不能作 为空间向量的一个基底,A错误; 对于,即共面,故 不能作为空间向量的一个基底,B错误; 对于C,假设,共面,则存在实数 ,使 ,则 ,则共面,这与 为空间向量的一个基底矛盾,故不共面, 则 可作为空间向量的一个基底,C正确; 对于,故共面,故 不能作为 空间向量的一个基底,D错误.故选C. C 空间向量基本定理 题型一 题型探究 【例1】(2)若 是空间的一个基底,且向量 不能构成空间的一个基底,则 ( ) A. -1 B. 1 C. 0 D. -2 [解析] 由于所以 不共线, 由于不能构成空间的一个基底,所以存在使得, 即 , 所以解得 故选B. B 空间向量基本定理 题型一 题型探究 提分笔记 判断基底的基本思路 （1）若向量中存在零向量,则不能构成基底;若存在一个向量可以用另 外的向量线性表示,则不能构成基底. （2）假设,运用空间向量基本定理,联立关于 的方程,若 有解,则共面,不能构成基底;若无解,则不共面,能构成基底. 空间向量基本定理 题型一 题型探究 【例2】如图,在平行六面体中,设 分别 是 的中点. (1)用基底表示, ; (2)若,求实数 的值. [解析](1) 在平行六面体 中, 由分别是 的中点, 得 (2) 所以 空间向量基本定理 题型一 题型探究 解题感悟 用基底表示向量的步骤 空间向量基本定理的应用 题型二 题型探究 【例3】如图,在正方体中,是 与的中点,构建空间的一个正交 基底,证明: 平面 O1 证明：设,则 是空间的一个正交基底, , 设线段的中点为,连接 ,如图,则 , 所以,,是共线向量,且 不共线, 所以 , 又平面平面 , 所以平面 空间向量基本定理的应用 题型二 题型探究 解题感悟 利用空间向量基本定理证明线面平行的思路 （1）选取基向量构建一个空间的基底,优先考虑构建正交基底. （2）若能在平面内发现或猜想出一条直线与所证的直线平行,则利用基底分别 表示这两条直线的方向向量,通过空间向量共线的充要条件证明两直线平行,从 而进一步证明线面平行. （3）若在平面内不好确定哪条直线与所证的直线平行,则在平面内寻找两条相交 直线,用基底表示两条相交直线和所证的直线的方向向量,利用空间向量共面的充 要条件证明这三个向量是共面向量,从而证明线面平行. 空间向量基本定理的应用 题型二 题型探究 【例4】如图,在平行六面体 中, ,证明: 证明 设 , 则 , 于是 , 因此,即 空间向量基本定理的应用 题型二 题型探究 解题感悟 证明垂直问题的步骤 （1）利用空间向量基本定理,找到基底,表示所求向量; （2）利用向量数量积等于0判定垂直. 空间向量基本定理的应用 题型二 题型探究 【例5】如图所示,在平行四边形 中,平面 ,求线段 的长. [解析] 以,, 作为空间的一个基底, 则 , ,即线段 的长为7. 空间向量基本定理及其应用 题型二 题型探究 【例6】如图,三棱锥 的棱的长度分别为1,2,3,并且 ,则直线与直线 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. [解析] 设, 所以 , 所以, , 所以直线OC与直线AB所成角的余弦值为 . A 空间向量基本定理及其应用 题型二 题型探究 解题感悟 1.求空间线段长度（两点间距离）的步骤 （1）选取基向量,将以线段两端点为起点和终点的向量用基向量线性表示; （2）利用空间向量的数量积运算求该向量的模,从而求得线段的长度. 2.求线线角的方法: 由数量积的定义可得 ,求出的大小,进而求得线线角. 课堂小结 空间向量基本定理 基 底 基向量 单位正交基底 正交分解 4.最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角. 基向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 1.设出基向量． 2.用基向量表示出直线的方向向量 3.①用||＝求长度， ②用＝λ ⇔∥， ③用·＝0⇔⊥， ④用cos θ＝||||(·)求夹角． 感谢聆听! $$